专项突破05 平方根和立方根（知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破05 平方根和立方根 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 3 知识点梳理04：立方根的定义 3 知识点梳理05：立方根的特征 3 知识点梳理06：立方根的性质 3 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 3 优选题型 考点讲练 3 题型1 求一个数的算术平方根 3 题型2 利用算术平方根的非负性解题 6 题型3 估计算术平方根的取值范围 7 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 10 题型5 算术平方根的实际应用 13 题型6 平方根概念理解 17 题型7 求一个数的平方根 19 题型8 求代数式的平方根 21 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 23 题型10 利用平方根解方程 24 题型11 立方根概念理解 27 题型12 求一个数的立方根 30 题型13 已知一个数的立方根，求这个数 33 题型14 与立方根有关的规律探索 34 题型15 立方根的实际应用 37 题型16 算术平方根和立方根的综合应用 40 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 知识点梳理04：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理05：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理06：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型1 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【规范解答】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 2．（24-25八年级上·全国·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【规范解答】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵，， ； （3）∵， ∴ （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即，， ， ， ，， ， 即． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据算术平方根的定义、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂分别运算，再合并即可； 本题考查了单项式乘以多项式，实数的混合运算，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知，则 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式变形，然后根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解． 【规范解答】解：∵， 即， ， ∴，， ， ， 故答案为：9． 5．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）已知x、y是实数，，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解． 根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 代入， ， 故． 故答案为：． 6．（21-22八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【思路引导】先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项法则对原式进行化简，再根据完全平方式和二次根式的非负性求出x、y的值，最后代入化简以后的式子中求值即可． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，以及掌握完全平方式和二次根式的非负性． 【规范解答】解：原式      ，                                  由题意得， 解得 ，               代入得，原式． 题型3 估计算术平方根的取值范围 7．（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 8．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【规范解答】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【规范解答】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 10．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【思路引导】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【规范解答】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【规范解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【思路引导】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得 ，即可求解； ②根据关系得 ，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 题型5 算术平方根的实际应用 13．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【思路引导】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【规范解答】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______dm； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为______； (2)小明同学想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)能裁出这样的长方形，理由见解析 【思路引导】本题考查算术平方根的应用，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键． （1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得x的值，发现的值比正方形的边长小，故可能． 【规范解答】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为； 时，则正方形的面积为，边长为； 总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为； 故答案为：；；；； （2）解：能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为， ∴， 解得：（负值已舍）， ∴， ∴能裁出这样的长方形． 15．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1）；；（2）2，2；（3）；（4）纸的宽约为，则长约为． 【思路引导】本题主要考查正方形面积公式、无理数的估算、折叠的性质、算术平方根的应用，等面积转换等知识点；掌握这些和数形结合思想是解决本题的关键． （1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长的2倍； （3）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （4）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． 【规范解答】解：（1）两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是， 故答案为：； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长2倍； 故答案为：2，2； （3）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （4）解：由（3）可知：纸的长与宽之比是 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． 题型6 平方根概念理解 16．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题：没有公共点的两条直线平行；若，则；被开方数越大，对应的平方根越大；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；与是同一个正数的平方根，则其中真命题有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用平行的定义、绝对值的意义、平方根的定义及平行的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【规范解答】解：平面内没有公共点的两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 若，则，正确，是真命题，符合题意； 被开方数越大，对应的算术平方根越大，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 与是同一个正数的平方根，则或，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 真命题有个， 故选：． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①两边及其中一边的对角对应相等的两三角形全等；②成轴对称的两个图形全等；③的算术平方根是4；④是的平方根；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定方法，平方根、算术平方根，根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、算术平方根的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：①不能判断三角形全等，故原说法错误；②成轴对称的两个图形全等，此项正确；③的算术平方根是，故原说法错误；④是的平方根，此项正确；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误； 正确的有②④； 故选：C． 18．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【思路引导】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可； （2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 题型7 求一个数的平方根 19．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）动手操作：如图①，将一个大长方形沿虚线剪开分成四个全等的小长方形，然后按照图②所示拼成一个“回形”正方形． 问题探究： （1）观察图②，请用两种不同的式子表示阴影部分的面积______，______； （2）观察图②，三个代数式，，之间的等量关系为______； 问题解决： （3）根据（2）中的等量关系，请解决问题：若，，求的值． 【答案】（1），；（2）（或）；（3）或 【思路引导】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，平方根： （1）第一种方法为：大正方形面积4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积； （2）由面积相等可得等量关系为：； （3）利用（2）中得出的关系式可求解． 【规范解答】解：（1）图②中，阴影部分的面积可以表示为：或， 故答案为：或； （2），或； （3）由（2）得， 将，代入，得：， ， 则， 即或 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 【答案】(1)14 (2)6或 【思路引导】本题主要考查了幂的运算，求一个数的平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算将原式化为，根据同底数幂的乘除法运算法则得到，再解方程即可； （2）由条件可得，再由平方根的定义求解，由幂的乘方逆运算得到，再求解，即可求解的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴，， ∴， ∴， ∴或， ∴值为6或． 21．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 题型8 求代数式的平方根 22．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【思路引导】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【规范解答】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 23．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 【答案】(1)5； (2) 【思路引导】（1）根据算术平方根与立方根的性质即可求解； （2）先求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根与平方根的性质． 【规范解答】（1）∵4是的算术平方根，的立方根是3， ∴，， 解得，， 故答案为：5；； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 24．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【规范解答】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【考点剖析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可； （2）求出的值，进而根据平方根的定义作答即可． 【规范解答】（1）由题意可得，， 解得， 所以， 则； （2） 则的平方根为． 26．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）若与是同一个正数a的平方根，则a为 【答案】4或 【思路引导】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据与是同一个正数a的平方根，所以或，解得或，即可得或，最后平方得到a的值． 【规范解答】由与是同一个正数a的平方根， 或， 解得或， 或， 或， 故答案为：4或． 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）一个正数的平方根为和，求的值及这个正数． 【答案】，这个正数为． 【思路引导】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，由题意得，可求，则这个正数是，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 【规范解答】解：因为一个正数的平方根为和， 所以，所以， 这个正数为， 故的值为，这个正数为． 题型10 利用平方根解方程 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】本题主要考查了利用平方根求一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和平方根的运算法则． （1）利用平方根求一元二次方程的解即可； （2）利用平方根求一元二次方程的解即可． 【规范解答】（1）解： 移项，得． ， 即或， 或； （2）解： 移项，得． 两边同除以，得． ， 即或， 或． 29．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用平方根解方程，正确构造全等三角形是解题的关键．延长至点，使得，连接，延长交于点，先证明，再证明，得到，设，则，由，得到，再根据平方根的意义解方程求出，即可求解． 【规范解答】解：延长至点，使得，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴，而， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴； 故选：B． 30．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【规范解答】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 题型11 立方根概念理解 31．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知 ，且与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，立方根，相反数，平方根，解题的关键是熟练掌握以上知识点；根据非负数的性质求出a，b，再根据两个数的立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数求出c，再求出代数式的值，最后根据平方根的定义求值即可． 【规范解答】解：， ，， ， 与 互为相反数， ， ， ， 的平方根为． 32．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【思路引导】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 33．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【思路引导】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型12 求一个数的立方根 34．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) 或 ， (2) 【思路引导】本题主要考查了利用立方根及平方根解方程，解题的关键是熟记开立方及开平方的定义． （1）先移项，再在方程两边同除以9，再开平方，求出解即可； （2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出解． 【规范解答】（1）解： ， 解得： 或 ， （2） 35．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【思路引导】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 36．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）求下列x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了利用平方根解方程，以及立方根的应用，解题的关键是熟练掌握求立方根、平方根的方法． （1）先移项，然后开立方，即可求出x的值； （2）直接开平方，即可求出x的值； （3）先移项，然后开平方，即可求出x的值； 【规范解答】（1）解： ， ， 解得：； （2）解： ， ， ； （3）解： ， 解得：． 题型13 已知一个数的立方根，求这个数 37．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查立方根、算术平方根、平方根，运用立方根和算术平方根的定义求出a，b的值，进而求出的值，再求它的平方根即可． 【规范解答】解：因为的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，． 所以，． 所以． 因为， 所以的平方根为：． 38．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为， ， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 39．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值； （2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可． 【规范解答】（1）解：依题意得， 解得         故 ∴， 解得 由题意， 解得； （2）∵， ，6的平方根为 ， 所以的平方根为． 题型14 与立方根有关的规律探索 40．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【思路引导】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【规范解答】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 41．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【思路引导】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【规范解答】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 42．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【思路引导】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 题型15 立方根的实际应用 43．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，掌握平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）先求得，然后再根据平方根求解即可； （2），然后再根据立方根求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 或． （2）解：， ， ， ， ， ． 44．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【思路引导】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【规范解答】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 45．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【思路引导】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【规范解答】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． 题型16 算术平方根和立方根的综合应用 46．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【规范解答】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 47．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是4 【思路引导】本题考查的是平方根与立方根的综合应用，无理数的整数部分的含义，根据平方根与立方根可得，，再结合整数部分可得，从而可得答案； 【规范解答】解：正数x的两个不等的平方根分别是和， ，解得， 的立方根为， ，解得， c是的整数部分， ， ， 的算术平方根是4； 48．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【思路引导】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 平方根和立方根 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 3 知识点梳理04：立方根的定义 3 知识点梳理05：立方根的特征 3 知识点梳理06：立方根的性质 3 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 3 优选题型 考点讲练 3 题型1 求一个数的算术平方根 3 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5 题型3 估计算术平方根的取值范围 5 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 7 题型5 算术平方根的实际应用 8 题型6 平方根概念理解 11 题型7 求一个数的平方根 12 题型8 求代数式的平方根 13 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 13 题型10 利用平方根解方程 14 题型11 立方根概念理解 14 题型12 求一个数的立方根 16 题型13 已知一个数的立方根，求这个数 17 题型14 与立方根有关的规律探索 18 题型15 立方根的实际应用 19 题型16 算术平方根和立方根的综合应用 21 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 知识点梳理04：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理05：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理06：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型1 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 2．（24-25八年级上·全国·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知，则 ． 5．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）已知x、y是实数，，若，则 ． 6．（21-22八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中x，y满足． 题型3 估计算术平方根的取值范围 7．（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 8．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2） 你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 10．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 11．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3) 解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 题型5 算术平方根的实际应用 13．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______dm； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为______； (2) 小明同学想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？请说明理由． 15．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 题型6 平方根概念理解 16．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题：没有公共点的两条直线平行；若，则；被开方数越大，对应的平方根越大；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；与是同一个正数的平方根，则其中真命题有（    ）个． A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①两边及其中一边的对角对应相等的两三角形全等；②成轴对称的两个图形全等；③的算术平方根是4；④是的平方根；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 题型7 求一个数的平方根 19．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）动手操作：如图①，将一个大长方形沿虚线剪开分成四个全等的小长方形，然后按照图②所示拼成一个“回形”正方形． 问题探究： （1）观察图②，请用两种不同的式子表示阴影部分的面积______，______； （2）观察图②，三个代数式，，之间的等量关系为______； 问题解决： （3） 根据（2）中的等量关系，请解决问题：若，，求的值． 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 21．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 题型8 求代数式的平方根 22．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 23．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 24．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 26．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）若与是同一个正数a的平方根，则a为 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）一个正数的平方根为和，求的值及这个正数． 题型10 利用平方根解方程 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 29．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 30．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 题型11 立方根概念理解 31． （25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知 ，且与 互为相反数，求的平方根． 32．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 33．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3) 已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型12 求一个数的立方根 34．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）解方程 (1) (2) 35．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 36．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）求下列x的值． (1) (2) (3) 题型13 已知一个数的立方根，求这个数 37． （24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 38．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 39．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 题型14 与立方根有关的规律探索 40．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   41．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 42．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 题型15 立方根的实际应用 43．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 44．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 45．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 题型16 算术平方根和立方根的综合应用 46． （24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 47． （23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 48．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $