专题10 一次函数相关拓展提升题（5种类型40道）2026-2027学年北师大版八年级数学上册高频考题单元专练（重庆专用）

专题10 一次函数相关拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 一次函数相关最值问题】 1 【类型2 一次函数图像与动点几何】 4 【类型3 一次函数性质相关综合题】 6 【类型4 一次函数相关折叠问题】 9 【类型5 一次函数相关规律性问题】 11 【类型1 一次函数相关最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【类型2 一次函数图像与动点几何】 9．如图1，在中，，，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作于点．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止，点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当 时，对应的x的值是（   ） A．4 B．4或12 C．4或16 D．54或12 11．如图1，在中，，是边的中点，动点从点出发，沿的路径匀速运动，当点运动到点时停止．过点作于点，设点的运动路程为，线段的长为，随变化的函数图象如图2所示，其中是函数图象上两点，且轴，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（    ） A． B． C． D． 13．如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 14．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．21 15．如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 16．如图①，在梯形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则梯形的面积是（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【类型3 一次函数性质相关综合题】 17．如图，将直线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象．对于函数的图象，有下列说法：①当时，函数的图象与轴的交点为；②若函数的图象经过点，则或；③函数的图象与轴的交点为；④若当时，随的增大而增大，则．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（   ） ①； ② ； ③； ④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的有（    ）    ①随x的增大而减小；    ②函数的图象不经过第二象限； ③；        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．下列说法中：①一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＜0，那么它的图象过第一、二、三象限； ②函数y＝－6x是一次函数，且y随着x的增大而减小； ③已知一次函数的图象与直线y＝－x+1平行，且过点（8，－2），那么此一次函数的解析式为y＝－x+6； ④若一次函数y＝（2m－6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m＞3； 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．关于的一次函数（k为常数且），①当时，此函数为正比例函数；②无论取何值，此函数图象必经过；③若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；④无论取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【类型4 一次函数相关折叠问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 26．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 27．如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为_____． 28．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是______． 29．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__________． 30．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将沿AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为_________． 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4）点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为 _____． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记得点C，折痕与y轴交于点D，则点D的坐标为______． 【类型5 一次函数相关规律性问题】 33．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 34．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 35．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 36．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 37．如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    38．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 39．如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 40．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数相关拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 一次函数相关最值问题】 1 【类型2 一次函数图像与动点几何】 12 【类型3 一次函数性质相关综合题】 19 【类型4 一次函数相关折叠问题】 26 【类型5 一次函数相关规律性问题】 36 【类型1 一次函数相关最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 2．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B两点坐标，得中点F的坐标，求得点E关于x轴的对称点，求出直线的解析式，交x轴于点P，则，当三点在同一条直线上时最小，最小值为，由两点间距离公式求出即可． 【详解】解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 3．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 4．如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键． 根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，点关于轴的对称点是点， ，即， 在中，，即是等腰三角形， 即， ， ， ， ， 直线交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，，解得， ，，即，， 在中， ， 根据点到直线的垂线段最短，可知:当时，最小， ， ， 的最小值为， 点与点关于轴对称， 的最小值就是的最小值， 最小值为： 故选：B 5．如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，最短距离问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，从而得到的周长，再证明，可得，从而得到轴，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故选：C 6．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合，涉及求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握知识点是解题的关键． 作直线于点，连接，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知的长是长的最小值，先求出，由勾股定理求得，再由等积法求解即可． 【详解】解：如图：作直线于点，连接，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知：的长是长的最小值 直线与轴、轴分别交于点、， 当， ， ∴ ，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴线段长的最小值为8， 故选：B． 8．如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是利用对称性在找到周长的最小时点、点位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交、于点、，此时三角形的周长最小， ∵直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴，， ∴， ∴， 由轴对称的性质，可得，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴， 的周长，此时周长最小， 在中，， 故选：B． 【类型2 一次函数图像与动点几何】 9．如图1，在中，，，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作于点．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：由题意和图象可知，当点与点重合时，点与点重合，为定值， 当，即时，，即， 此时， 当点与点重合时，此时，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得. 10．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止，点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当 时，对应的x的值是（   ） A．4 B．4或12 C．4或16 D．54或12 【答案】B 【分析】根据图象求出和，再分点P在上运动时、点P在上运动时和点P在上运动时两种情况，根据的面积求出x的值即可． 【详解】解：由图象可得，当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， 由长方形可得，， ∴当点P在上运动时，， ∴， ∵点P从点A出发， ∴； 当点P在上运动时，，不符合题意； 当点P在上运动时，， ∴， ∵点P从点A出发， ∴； 综上所述，x的值是4或12． 11．如图1，在中，，是边的中点，动点从点出发，沿的路径匀速运动，当点运动到点时停止．过点作于点，设点的运动路程为，线段的长为，随变化的函数图象如图2所示，其中是函数图象上两点，且轴，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点作于点、连接，当和时，长度相同，此时，根据矩形的性质得到，证明是边的中点，求出，，即可得到． 【详解】解：由题意，可知题图2中点对应的是题图1中点与点重合，过点作于点、连接，如解图．由题意，得点的纵坐标相同， 当和时，长度相同，此时， 因为四边形为矩形， ， 是边的中点， 是边的中点， ， ； ． 故选B． 12．如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，可证明，，分三个阶段：点P在上运动，S随t的增大而增大；点P在上运动，S保持不变；点P在上运动，S随t的增大而减小；根据，可得点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间，据此可得答案． 【详解】解：∵为直角， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而增大； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S保持不变； 当点P在上运动时，设点P到的距离为h， ∴， ∵h随t的增大而减小，S随h的减小而减小， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而减小， ∵，且点P匀速运动， ∴点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 13．如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．根据函数图象得出，，作于点H，利用勾股定理解和即可． 【详解】解：如图，作于点H， 由图2知，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 14．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．21 【答案】A 【分析】此题考查了动点问题和函数图象．根据函数图象和矩形的性质可求出、的值，即可求出矩形的面积． 【详解】解：由题意知：当点在边上时，随的增大而增大； 当点在边上时，不随的变化而变化； 当点在边上时，随的增大而减小． 结合一次函数的图象可知，，， ∴矩形的面积为：． 故选：A． 15．如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了动点与函数图形的综合，熟练掌握三角形面积公式，函数图象的增减性，是解题的关键． 根据题意可得点点P在边上时，的面积为0，由函数图象得，当点P在边上由B到C时，的面积由0增大到24，由函数图象得，由三角形面积公式求得A到的距离为． 【详解】解：∵点P从的点A处出发，沿边匀速运动， 当点P在边上时， 的面积为0， 由图2看出， 当点P在边上由B到C时， 的面积由0增大到24， 由图2看出， 则A到的距离为． 故选：C． 16．如图①，在梯形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则梯形的面积是（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了动点与函数图象，理解动点的运用，函数图形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意，，，如图所示，过点作于点，则，由够定理得到，由梯形面积的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，点从点到点的路程为，即，再由到的路程是，即， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴梯形的面积为， 故选：B ． 【类型3 一次函数性质相关综合题】 17．如图，将直线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象．对于函数的图象，有下列说法：①当时，函数的图象与轴的交点为；②若函数的图象经过点，则或；③函数的图象与轴的交点为；④若当时，随的增大而增大，则．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将代入直线方程，得，再令可得与x轴的交点坐标； ②将代入即可求解； ③令解答即可； ④根据函数图形与x轴的交点坐标，再根据当时函数的增减性解答即可． 【详解】解：将代入直线方程，得， 令，即，解得， 所以当时，直线与轴交点为， 故正确； 将代入，得， 解得或5； 故正确； 令，解得， 所以函数图象与轴交点为， 故正确； 由③知函数的图象与轴的交点为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大，则，解得， 故错误． 所以其中正确的有． 18．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 19．如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出直线与y轴的交点坐标为，然后观察图象，即可判定②结论正确；由图象可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴，， ∴，故①结论错误； ∵当时， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∴观察图象得，当时，，故②结论正确； ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，故③结论错误； 将，，代入直线解析式，得 ， ∴， ∴，故④结论错误． ∴正确的结论有②，共1个． 故选：A． 20．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（   ） ①； ② ； ③； ④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，故①选项不符合题意； 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴，故②选项不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点P，且P的横坐标为1， ∴，故③选项符合题意； 由图象可知，当时，，故④选项不符合题意； 综上，正确的选项只有③， 故选：A． 21．一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的有（    ）    ①随x的增大而减小；    ②函数的图象不经过第二象限； ③；        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象和即可判断①②；把和代入与即可判断③④． 【详解】解：由图象可得：随x的增大而减小，故①正确； 由图象可得：， ∴经过一、三、四象限，故②正确； 当时，，， 由图象可得：当时，，即，故，故③正确； 当时，，， 由图象可得：当时，，， ∴ ∴，故④正确； 正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 22．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 23．下列说法中：①一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＜0，那么它的图象过第一、二、三象限； ②函数y＝－6x是一次函数，且y随着x的增大而减小； ③已知一次函数的图象与直线y＝－x+1平行，且过点（8，－2），那么此一次函数的解析式为y＝－x+6； ④若一次函数y＝（2m－6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m＞3； 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数图象的性质和待定系数法逐项判断即可． 【详解】解：①∵一次函数，，， ∴它的图象过第一、三、四象限，故本小题错误； ②∵函数中，， ∴y随着x的增大而减小，故本小题正确； ③∵一次函数的图象与直线y＝－x+1平行， ∴设一次函数解析式为，把（8，－2）代入得， ，解得，一次函数的解析式为y＝－x+6；故本小题正确； ④∵一次函数中，y随x的增大而减小， ∴，解得，故本小题错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和待定系数法求解析式，解题关键是明确一次函数图象的性质，熟练运用待定系数法求解析式． 24．关于的一次函数（k为常数且），①当时，此函数为正比例函数；②无论取何值，此函数图象必经过；③若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；④无论取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：①当时，则，为一次函数，故①错误； ②整理得：， ∴时，， ∴此函数图象必经过，故②正确； ③把和代入中， 得：， 得：， 解得：，故③错误； ④当时，即， 则， ∴此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限， 故④正确； 故选：C． 【类型4 一次函数相关折叠问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 26．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 27．如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用；分两种情况讨论：当点落在轴正半轴上处时，在中，，当点落在轴负半轴上处时，连结，在中， ，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 28．如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理，学会利用勾股定理表示线段长度是解题的关键．利用直线求出点和的坐标，得到的长，再由翻折性质得到，推出，设，用表示出的长，最后在中利用勾股定理列方程求解的值即可解答． 【详解】解：代入到得，，即， 代入到得，， 解得：，即， ，， 在中，， 由翻折性质得，， ，， ， ， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 29．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 30．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将沿AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为_________． 【答案】 或 【分析】分当C在线段OB上和当C在射线BO上两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当C在线段OB上时，D为三角形AOC沿AC翻折O落到AB上的对应点，由翻折的性质可得CD=OC，∠BDC=∠ADC=∠AOB=90°，AO=AD， ∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OB=4，OA=AD=3， ∴， ∴， 设OC=CD=x，则BC=4-x， ∵， ∴， 解得， ∴C（0，） 如图所示，当C在射线BO上时，设OC=CD=x，则BC=4+x，BD=5+3=8， 同理可以得到， ∴， 解得， ∴C（0，-6）， 故答案为：（0，）或（0，-6）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4）点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为 _____． 【答案】(0,-6) 【分析】利用勾股定理可得AB=5，由折叠得：AD=AB=5，得出点D的坐标，设点C（0，m），则OC=-m，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵A(3,0)、B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∵∠AOB=90°， ∴AB=， 由折叠得：AD=AB=5， ∴OD=OA+AD=3+5=8， ∴点D（8，0）， 设点C（0，m），则OC=-m， 由折叠得：CD=BC=4-m， 在Rt∆OCD中， ， ∴， 解得：m=-6， ∴C（0，-6）， 故答案为：（0，-6）． 【点睛】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理及待定系数法确定函数解析式． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记得点C，折痕与y轴交于点D，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】由折叠的性质得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD=CD，AB=AC，由一次函数解析式求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，由BD+OD=OB，OC+OA=AC，在直角三角形COD中，设CD=x，表示出OD，利用勾股定理求出x的值，即可确定点D坐标． 【详解】解：如图，连接CD，AD，由折叠的性质得：△ADB≌△ADC， ∴AB=AC，BD=CD， 对于直线y=-x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4， ∴OA=4，OB=3， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=5， ∴OC=AC-OA=AB-OA=5-4=1， 在Rt△COD中，设CD=BD=x，则OD=3-x， 根据勾股定理得：， 解得：x=， ∴OD=，即D（0，）． 故答案为：（0，） 【类型5 一次函数相关规律性问题】 33．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 34．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 35．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 【答案】 【分析】根据题意分别算出的值得到，，，由此即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点的横坐标为， 在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴，则，， ∴， 同理，，，， ∴，则， ∴， ， ∴ ． 36．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 37．如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    【答案】 【分析】 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，    ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 38．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 39．如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】 64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 40．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $