专题05 一次函数的应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（重） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（高频） 题型3 一次函数的应用之行程问题（高频） 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的应用之分配方案问题 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 (2)①（且a为整数）；②最优的采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉 【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20棵”列出不等式求出的范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克， 依题意得：，解得． 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． （2）解：①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， ∴与的函数关系式为：（且a为整数）． ②依题意得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， （棵）． ∴最优采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉． ◆题型2 一次函数的应用之最大利润问题 4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 6．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； （2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． ◆题型3 一次函数的应用之行程问题 7．（25-26八年级下·河北沧州·期末）在一场跑步比赛中，甲、乙两个机器人同时从起点出发，沿直线赛道匀速驶向终点．甲机器人到达终点后停留1分钟，然后沿原路以原速返回起点，甲机器人到起点的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数图象如图所示，乙机器人的速度是40米/分钟． (1)乙机器人到起点的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数解析式为：_____并在图中画出乙机器人跑完全程的函数图象； (2)在（1）的基础上，与交于点，求点的坐标，并写出点所表示的实际意义； (3)请直接写出乙机器人出发多长时间后，两个机器人相距240米． 【答案】(1)；如图，函数图象即为所求； (2)；实际意义为：出发分钟时，甲机器人在返回起点的途中与乙机器人相遇，此时两机器人距离起点米 (3)或 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系即可建立函数表达式，即可补全函数图象； （2）先求出直线的表达式，再与联立求解即可； （3）分段求出甲机器人的函数表达式，再根据相距240米建立方程求解． 【详解】（1）解：∵乙机器人的速度是40米/分钟， 全程，则跑完全程用时 ∴ （2）解：可得，， 设直线 则 解得， ∴直线， 与联立可得， 解得, ∴， ∴， 实际意义见答案； （3）解：当时，可得甲的速度为， 则， 由题意得，，解得，符合题意； 当时，， 由题意得，，解得，不符合题意； 当时，，解得（不符合题意）或，符合题意； 当时，， 由题意得，，解得，不符合题意， 综上：乙机器人出发或后，两个机器人相距240米． 8．（25-26八年级下·江西宜春·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的倍．慧慧将餐品送至客人餐桌时，聪聪距离出发地．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． (1)慧慧比聪聪晚出发______秒． (2)求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)求聪聪和慧慧相遇的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】（1）根据图像信息直接得出答案即可； （2）先求出慧慧原来的速度，然后求出点的坐标，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求得段对应的函数表达式，令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：慧慧比聪聪晚出发； （2）解：慧慧开始运动的速度为：， 慧慧从点运动到点所用的时间为：， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：根据图象可知，点的坐标为， 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 解得， ∴； 令，即， 解得； 答：秒时，慧慧和聪聪相遇． 9．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）国家卫健委启动为期三年（2024-2026年）的“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)出发点到山庄的路程_____，小丽的骑行速度_____，小明的速度为_____． (2)求线段所在直线的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） (3)请直接写出小明第二次追上小丽的时间及他们距离山庄的路程． 【答案】(1)30；10；20； (2) (3)小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为 【分析】（1）根据图象中数据信息，结合速度路程时间求解即可； （2）先求出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，出发点到山庄的路程， 小丽的骑行速度为， ∵小丽到达点A用时， ∴小明到达点A用时， ∴小明的速度为； （2）解：小明在段用时，则， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得，解得， ； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得，解得， ， ，解得， ∴ 答：小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为． ◆题型4 一次函数的应用之梯度计费问题 10．（25-26八年级下·山西大同·期末）为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 11．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】(1) (2)某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格中两组对应值求出一次函数解析式，再代入总费用计算超出流量即可． 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 2．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题图中横坐标代表时间、纵坐标代表路程，直线的倾斜程度代表甲、乙的速度，直线越陡，说明相同时间内行驶的距离越长，即速度越快；如果是水平线，说明时间在流逝而距离没有增加，即处于停留状态． 【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意； 说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意； 说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意； 说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意； 说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意； 由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B． 3．（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 二、填空题 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）某玉米种子的价格为40元，若一次购买不超过的种子，其价格不变；若一次购买超过的种子，超过部分的种子价格打6折．购买玉米种子，需付款元，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】根据当购买玉米种子时，不超过的部分按原价计算，超过的部分按6折计算，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：． 5．（25-26八年级下·北京通州·期末）某小区对小区内的电动汽车充电，每月收费（元）与充电时间（小时）的函数关系如图所示，其中是线段，且轴，是射线．5月份由于外出旅游，张阿姨的充电费用为120元，则她在5月份的充电时间是__________小时． 【答案】50 【分析】求出直线的解析式，进而求出时的自变量的值即可. 【详解】解：设直线的解析式为， 把和代入，得，解得， ∴， 当时，解得. 故她在5月份的充电时间是50小时. 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【答案】①②③④ 【分析】由函数图像即可判断①③，再根据函数图像可知出发小时，小汽车到达A地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断②④． 【详解】解：由函数图象可得：A、B两地相距120千米，出发1小时，货车与小汽车相遇，故①③正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达A地， ∴小汽车的速度为（千米/小时）， ∵两车相遇时，速度之和为120千米/小时， ∴货车的速度为（千米/小时）， ∴出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（千米），故②正确； ∵小汽车的速度为80千米/小时，货车的速度为40千米/小时， ∴小汽车的速度是货车速度的2倍，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 三、解答题 7．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 8．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． (1)分别直接写出，关于x的函数解析式； (2)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 【答案】(1)， (2)当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可； （2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 即． （2）解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示， 当时，， 解得， 则， ∴与的交点坐标为， 即当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 11．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 12．（25-26八年级下·江西上饶·期末）随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为，小仓和小库行走的路程分别为；与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小库提速前的速度为______； (2)求m的值(m为小库到达货架的时间)； (3)求小仓行走的路程．与行走时间x之间的函数解析式； (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 【答案】(1) (2)55 (3) (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有，小库比小仓提前45秒到达 【分析】（1）根据路程与速度，时间的关系，进行求解即可； （2）求出提速后行走的时间，再结合小仓先出发的时间，以及小库提速前所走的时间，即可解答； （3）先求出点A的坐标，再结合小仓出发的时间与速度进行求解即可； （4）当小库到达货架时，小仓所走的路程为，相减即可，求出当时，，再用小仓到达货架的时间减去小库到达货架的时间，即可解答． 【详解】（1）解∶由题图可知，小库从时开始出发，到时走了， 此阶段时间为， 则提速前的速度为； （2）解：结合小库提速后的路程计算到达时间m： 小库提速后行走的路程为总路程， 提速后的速度为， ∴提速后行走的时间为； ∴总时间为， 即． （3）解：由(2)可知，点A的坐标为， 则小仓行走的速度为， 且从时出发， ∴函数解析式为； （4）解：∵， ∴当小库到达货架时，小仓距离货架还有， 当时， ， 解得， ∴， 即小库比小仓提前45秒到达． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值． 【答案】(1)采购费用与的函数关系式为 (2)商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 (3)将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围． （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据个球全部卖出获得的最低利润是元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 【详解】（1）解：设该商场采购个篮球，则商场采购个排球 根据题意得， 解得： 答：采购费用与的函数关系式为． （2）解：设总利润为元，根据题意得： ， 随的增大而增大． 时，元 答：商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 （3）解：由题意得： ①当时，即时，随的增大而增大 ， 当时， 即：． 解得：舍去 ②当时，． ，不合题意． ③当时，即时，随的增大而减小． ， 当时，． 即：， 解得：， 综上所述，将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3． 14．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 15．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（重） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（高频） 题型3 一次函数的应用之行程问题（高频） 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的应用之分配方案问题 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． ◆题型2 一次函数的应用之最大利润问题 4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 6．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． ◆题型3 一次函数的应用之行程问题 7．（25-26八年级下·河北沧州·期末）在一场跑步比赛中，甲、乙两个机器人同时从起点出发，沿直线赛道匀速驶向终点．甲机器人到达终点后停留1分钟，然后沿原路以原速返回起点，甲机器人到起点的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数图象如图所示，乙机器人的速度是40米/分钟． (1)乙机器人到起点的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数解析式为：_____并在图中画出乙机器人跑完全程的函数图象； (2)在（1）的基础上，与交于点，求点的坐标，并写出点所表示的实际意义； (3)请直接写出乙机器人出发多长时间后，两个机器人相距240米． 8．（25-26八年级下·江西宜春·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的倍．慧慧将餐品送至客人餐桌时，聪聪距离出发地．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． (1)慧慧比聪聪晚出发______秒． (2)求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)求聪聪和慧慧相遇的时间． 9．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）国家卫健委启动为期三年（2024-2026年）的“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)出发点到山庄的路程_____，小丽的骑行速度_____，小明的速度为_____． (2)求线段所在直线的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） (3)请直接写出小明第二次追上小丽的时间及他们距离山庄的路程． ◆题型4 一次函数的应用之梯度计费问题 10．（25-26八年级下·山西大同·期末）为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 11．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 二、填空题 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）某玉米种子的价格为40元，若一次购买不超过的种子，其价格不变；若一次购买超过的种子，超过部分的种子价格打6折．购买玉米种子，需付款元，则与的函数关系式为_______． 5．（25-26八年级下·北京通州·期末）某小区对小区内的电动汽车充电，每月收费（元）与充电时间（小时）的函数关系如图所示，其中是线段，且轴，是射线．5月份由于外出旅游，张阿姨的充电费用为120元，则她在5月份的充电时间是__________小时． 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 三、解答题 7．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 8．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． (1)分别直接写出，关于x的函数解析式； (2)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 11．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 12．（25-26八年级下·江西上饶·期末）随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为，小仓和小库行走的路程分别为；与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小库提速前的速度为______； (2)求m的值(m为小库到达货架的时间)； (3)求小仓行走的路程．与行走时间x之间的函数解析式； (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值． 14．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 15．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的应用 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（重） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（高频） 题型3 一次函数的应用之行程问题（高频） 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的应用之分配方案问题 1． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 2． 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 3． 【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 (2)①（且a为整数）；②最优的采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉 【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20棵”列出不等式求出的范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克， 依题意得：，解得． 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． （2）解：①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， ∴与的函数关系式为：（且a为整数）． ②依题意得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， （棵）． ∴最优采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉． ◆题型2 一次函数的应用之最大利润问题 4． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 5． 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 6． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； （2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． ◆题型3 一次函数的应用之行程问题 7． 【答案】(1)；如图，函数图象即为所求； (2)；实际意义为：出发分钟时，甲机器人在返回起点的途中与乙机器人相遇，此时两机器人距离起点米 (3)或 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系即可建立函数表达式，即可补全函数图象； （2）先求出直线的表达式，再与联立求解即可； （3）分段求出甲机器人的函数表达式，再根据相距240米建立方程求解． 【详解】（1）解：∵乙机器人的速度是40米/分钟， 全程，则跑完全程用时 ∴ （2）解：可得，， 设直线 则 解得， ∴直线， 与联立可得， 解得, ∴， ∴， 实际意义见答案； （3）解：当时，可得甲的速度为， 则， 由题意得，，解得，符合题意； 当时，， 由题意得，，解得，不符合题意； 当时，，解得（不符合题意）或，符合题意； 当时，， 由题意得，，解得，不符合题意， 综上：乙机器人出发或后，两个机器人相距240米． 8． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】（1）根据图像信息直接得出答案即可； （2）先求出慧慧原来的速度，然后求出点的坐标，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求得段对应的函数表达式，令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：慧慧比聪聪晚出发； （2）解：慧慧开始运动的速度为：， 慧慧从点运动到点所用的时间为：， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：根据图象可知，点的坐标为， 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 解得， ∴； 令，即， 解得； 答：秒时，慧慧和聪聪相遇． 9． 【答案】(1)30；10；20； (2) (3)小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为 【分析】（1）根据图象中数据信息，结合速度路程时间求解即可； （2）先求出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，出发点到山庄的路程， 小丽的骑行速度为， ∵小丽到达点A用时， ∴小明到达点A用时， ∴小明的速度为； （2）解：小明在段用时，则， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得，解得， ； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得，解得， ， ，解得， ∴ 答：小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为． ◆题型4 一次函数的应用之梯度计费问题 10． 【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 12． 【答案】(1) (2)某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．B 3．B 二、填空题 4． 5．50 6．①②③④ 三、解答题 7． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 8． 【答案】(1)， (2)当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可； （2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 即． （2）解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示， 当时，， 解得， 则， ∴与的交点坐标为， 即当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 9． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 10． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 11． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 12． 【答案】(1) (2)55 (3) (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有，小库比小仓提前45秒到达 【分析】（1）根据路程与速度，时间的关系，进行求解即可； （2）求出提速后行走的时间，再结合小仓先出发的时间，以及小库提速前所走的时间，即可解答； （3）先求出点A的坐标，再结合小仓出发的时间与速度进行求解即可； （4）当小库到达货架时，小仓所走的路程为，相减即可，求出当时，，再用小仓到达货架的时间减去小库到达货架的时间，即可解答． 【详解】（1）解∶由题图可知，小库从时开始出发，到时走了， 此阶段时间为， 则提速前的速度为； （2）解：结合小库提速后的路程计算到达时间m： 小库提速后行走的路程为总路程， 提速后的速度为， ∴提速后行走的时间为； ∴总时间为， 即． （3）解：由(2)可知，点A的坐标为， 则小仓行走的速度为， 且从时出发， ∴函数解析式为； （4）解：∵， ∴当小库到达货架时，小仓距离货架还有， 当时， ， 解得， ∴， 即小库比小仓提前45秒到达． 13． 【答案】(1)采购费用与的函数关系式为 (2)商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 (3)将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围． （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据个球全部卖出获得的最低利润是元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 【详解】（1）解：设该商场采购个篮球，则商场采购个排球 根据题意得， 解得： 答：采购费用与的函数关系式为． （2）解：设总利润为元，根据题意得： ， 随的增大而增大． 时，元 答：商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 （3）解：由题意得： ①当时，即时，随的增大而增大 ， 当时， 即：． 解得：舍去 ②当时，． ，不合题意． ③当时，即时，随的增大而减小． ， 当时，． 即：， 解得：， 综上所述，将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3． 14． 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 15． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $