精品解析：江苏省常州市武进区前黄初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025年秋学期初三数学第一次大单元评估 一、选择题：（共8题，每小题2分，共计16分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意； B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案. 【详解】原式= 故答案选B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键. 3. 在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】设图中小正方形的边长为，则用含的式子表示出各点与点的距离，与半径比较即可． 【详解】解：设图中小正方形的边长为， 则， ，， ， ，，， ∴点、、在内，点在外， 因此、、三棵树需要被移除， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于半径，则点在圆外． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 开方得：或， ∵，即， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 6. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 7. 如图，将⊙O沿弦折叠，点C在弧上，点D在弧上，若，则（ ） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】作出弧所对的圆周角，求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角 ∵ ∴ ∵⊙O沿弦折叠 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是. 【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点， 当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D， 点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q， 中，OA=3,OB=3, . 半径为2, 是的中点, 是的中点, 即半径为1, 故选D. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点 二、填空题：（共10题，每小题2分，共计20分） 9. 方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把方程两边开方得到即可求解． 【详解】解：， 开方得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解． 10. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中、、是常数且），其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项． 先把原方程化为一般式，然后根据一元二次方程的相关定义即可解答． 【详解】解：把化为一般式得， ∴把方程化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是． 故答案为：． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 某种型号的电脑，原售价元台，经连续两次降价后，售价为元台，则平均每次降价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去） 故答案为：． 13. 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质，首先连接并延长，交于点D，连接、，根据圆周角定理可知，，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点D，连接、， ∴，， 由网格可知， ， ． 故答案为：． 14. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 15. 已知实数a、b满足，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，将已知方程整理为关于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y的值，即可确定出的值． 【详解】解：设，则原方程变形为， 解得，， ∴2或-1， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 16. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 17. 如图，在坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与x轴、y 轴的交点，直线 l 过点 P 且与AB垂直，点 C 为l 与y 轴的交点．若A、B、C 的坐标分别为、、，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理可得直线l为的垂直平分线，因此，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 、， ， ，P为圆心，且P在直线l上， P到点A、B的距离相等， 直线l为的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了圆与几何综合，圆的相关性质定理，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，垂径定理的推论；熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；利用圆周角定理推论可得结论①不正确；利用题中条件推出，可得故结论②正确；设与相交于点G，证明四边形是平行四边形，可得，再利用圆周角定理推论和等腰三角形的判定可得，故结论③正确；利用垂径定理的推论可得结论④正确． 【详解】解：为的直径，点C在圆上， ，而的度数无法确定，故结论①不正确； ， ， ， ，故结论②正确； 如图，设与相交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， 又在中，，， ， ，故结论③正确； 当时， 由，可得， 垂直平分， 经过圆心O， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴， 又∵ ∴，故结论④正确； 结论正确的是：②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题：（共计64分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． （3）利用配方法解方程即可． （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ，． 20. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 21. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 【答案】（1） 如图，点O即为所求： （2） 如图，点D即为所求： （3） 如图点E即为所求： 【解析】 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D； （3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键． 22. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 23. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 24. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】（1） （2）54元或56元 （3） 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： 【小问2详解】 解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 【小问3详解】 解∶略． 25. 如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． （1）当时,的面积为__________； （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 【答案】（1） （2） 在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为， （3）6或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、一元二次方程的判别式及应用、勾股定理与圆的性质（直径所对圆周角为直角），解题的关键是根据运动时间表示出各线段长度，再结合相关几何性质与代数知识建立关系式求解． （1）先根据运动速度和时间，计算出、，进而求出、；再分别计算矩形的面积，以及、、的面积；最后利用“”求出的面积． （2）先根据运动时间表示出各相关线段长度，进而列出面积为时的方程；整理方程得，计算判别式；根据判别式小于可知方程无实数根，从而判断的面积不能为． （3）由可知、、三点在以为直径的圆上，若、、、四点共圆，则；根据勾股定理分别表示出、、；利用时建立方程，求解方程得，． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴，， ∴，，， ∴（）； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵， ∴A、P、D三点在以为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ∵，，， 当， ∴， 解得，， ∴或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期初三数学第一次大单元评估 一、选择题：（共8题，每小题2分，共计16分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 3. 在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 6. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 1 7. 如图，将⊙O沿弦折叠，点C在弧上，点D在弧上，若，则（ ） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 二、填空题：（共10题，每小题2分，共计20分） 9. 方程的解是____________． 10. 一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数是______． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 12. 某种型号的电脑，原售价元台，经连续两次降价后，售价为元台，则平均每次降价的百分率为______． 13. 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为______． 14. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 15. 已知实数a、b满足，则________． 16. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 17. 如图，在坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与x轴、y 轴的交点，直线 l 过点 P 且与AB垂直，点 C 为l 与y 轴的交点．若A、B、C 的坐标分别为、、，则_______． 18. 如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：（共计64分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 21. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 22. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 23. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 24. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 25. 如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． （1）当时,的面积为__________； （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $