专题01 期中复习压轴21类题型归纳（考试范围：第20章 二次根式～第22章 图形的相似）（举一反三讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题01 期中复习压轴21类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第20章 二次根式~第22章 图形的相似） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 利用二次根式非负性求参数】 1 【题型2 二次根式的估算】 3 【题型3 根据取值范围化简二次根式】 5 【题型4 二次根式大小比较】 7 【题型5 数轴结合二次根式化简】 9 【题型6 由根与系数的关系求代数式的值】 11 【题型7 一元二次方程中的含参问题】 13 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求值】 16 【题型9 利用相似三角形的判定与性质求最值】 23 【题型10 相似三角形中的动点分类讨论问题】 29 【解答压轴】 34 【题型11 分母有理化阅读探究题】 34 【题型12 整体代入求二次根式的值】 38 【题型13 化简二次根式】 43 【题型14 找二次根式运算规律并计算】 45 【题型15 一元二次方程实际应用题】 52 【题型16 一元二次方程与几何图形综合】 56 【题型17 一元二次方程中的新定义问题】 62 【题型18 相似三角形综合证明】 68 【题型19 相似动点存在性问题】 79 【题型20 相似探究问题】 92 【题型21 坐标系中利用相似求解】 104 【选填压轴】 【题型1 利用二次根式非负性求参数】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）把的根号外的因式移到根号内等于________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件确定的符号，再将根号外的因式变形后移入根号，化简即可得． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）要使，实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别判断等式两边二次根式成立的条件，右边要求被开方数非负，验证该条件下等式成立，即可得到的取值范围． 【详解】解：等式左边，对任意实数都有意义． 要使原等式成立，需先使等式右边有意义． ∵ 二次根式的被开方数必须为非负数， ∴ ， 解得． 当时，左边，右边， 左边等于右边，原等式成立． 因此的取值范围是． 【题型2 二次根式的估算】 【例2】（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 【变式2-1】（2026·重庆渝中·三模）满足的整数是________． 【答案】 【分析】先估算不等式左右两边无理数的取值范围，再根据范围找出符合条件的整数． 【详解】解： ， ， ， 又， ，即， ， ，即， 为整数， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，若整数满足，则__________． 【答案】 【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围． 【详解】解： 为整数 为 故答案为：5． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出的取值范围是解此题的关键． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【详解】由原式得：   所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 【题型3 根据取值范围化简二次根式】 【例3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质和绝对值的定义，二次根式的乘法，结合给定条件化简即可． 【详解】解： ． ，， ，， 原式， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方根的性质进行简化． 【详解】解：原式 = 由于除以一个数等于乘以它的倒数， ∴原式 = 又∵ ， ∴ ∴原式 = 而 ， ∴原式 = 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，那么可化简为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 二次根式大小比较】 【例4】（25-26七年级下·上海·期末）已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 【变式4-2】比较大小：①_______②_______（填＞、＜或=） 【答案】 ＜ ＜ 【分析】本题考查了，二次根式的大小比较，分母有理化，求倒数分母有理化是解题的关键． ①求倒数分母有理化，计算比较即可． ②求倒数分母有理化，计算比较即可． 【详解】①∵， ， ∴ ∴， 故答案为：＜． ②， ， ∴ ∴， 故答案为：＜． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 数轴结合二次根式化简】 【例5】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键； 先根据数轴推出，，，据此计算算术平方根、乘方和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：有数轴得，， ∴，， ∴， ． 故选∶B． 【变式5-1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的化简，由数轴得到，，则，再根据二次根式的性质与绝对值进行化简即可． 【详解】解：由实数在数轴上对应的点的位置可得，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 【题型6 由根与系数的关系求代数式的值】 【例6】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 【变式6-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 2027 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求多项式降次，再结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， 对所求式子变形得：， 将代入得： 原式 ． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 【变式6-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子： ． 【题型7 一元二次方程中的含参问题】 【例7】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【答案】 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 【变式7-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 【变式7-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 【变式7-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求值】 【例8】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，折叠矩形，使点落在边上点处，线段为折痕，连接，．线段与，分别交于点，．若，，则矩形的边长为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得出为等腰直角三角形，从而求得且；利用相似三角形性质，分别用表示出与的比值、与的比值，结合建立方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 由折叠性质可知：， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ， ∴， ． 设，则， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，解得， ， ， 即的长为． 【变式8-1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ∴， ，， ，， ， 设， ∵ ∴，即， ， ∵， ∴，即， ， ， 解得 ，， ∴， ， 在中， ． 【变式8-2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识． 根据折叠的性质确定，，进而求出，再结合折叠的性质证明，进而证明，即可求出，则可得，最后利用两直线平行内错角相等以及折叠对应的角相等，即可证明，根据等角对等边得，同理可得，问题随之得解． 【详解】解：∵正方形纸片的面积为16， ∴正方形纸片的边长， ∵折叠，点、点均落在点处， ∴，， ∴，，，，，，， ∴，，即点B、G、F共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，正方形纸片中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同理可证：， ∴． 【变式8-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 【答案】 或或 【分析】分三种情况：如图1，当点在上，点在上时，如图2，当点在上，点在上时，如图3，当点在上，点在上时，分别求解即可． 【详解】解：如图1所示，当点在上，点在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点在上，点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作的平行线交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴； 同理可证明四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点， ∴， ∴； ∵与平行，与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵， ∴与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴； 如图3所示，当点在上，点在上时， 当图3中的与图2中的关于点对称时，此时在图3中一定满足， 故此时，则； 综上所述，的长为3或7或11． 【题型9 利用相似三角形的判定与性质求最值】 【例9】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．利用有两个角对应相等的两个三角形相似，可得出，由点是边上一动点（不与点重合）以及垂线段最短求出的取值范围，依据得出：，进而求出的取值范围，最后根据即可求解． 【详解】解：设的长为， ， ， ， ， ， ； 由勾股定理得：， 点是边上一动点（不与点重合）， ， 垂线段最短， 当时，取得最小值， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 的最大值为2， 故答案为：2． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线交射线于点，可证明，则，化简得，而，得到，取中点，连接，则，则，由勾股定理得，由得当点三点共线时，取得最大值，即． 【详解】解：过点作轴的垂线交射线于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵，当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，解题的难点在于构造相似三角形． 【变式9-2】（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点F作交于点M，交于点N，证明，设，根据相似三角形的相似比，用x表示，并求得，进而根据勾股定理，用x表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：如图，当点F在左侧时，过点F作交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴， 如图，当点F在右侧时，过点F作交延长线于M，交延长线于点N， 同理可得， ∴， 当时，的最小值为5， ∴的最小值是． 【变式9-3】（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【答案】 【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 【题型10 相似三角形中的动点分类讨论问题】 【例10】（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 【变式10-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 【变式10-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，边长为的正方形，，分别从，两点同时出发，以速度沿射线，射线运动，连结，交于点，为中点，连结，，若与相似，，则运动时间的值为 _______． 【答案】或 【分析】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质；分两种情况：①点在上；②点在延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间即可． 【详解】解：如图1中， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，都是钝角，与相似， ， ， ， 解得，， 经检验，的方程的解． 如图2中，当点在的延长线上时， 有两种情形：或， 或， 或， 解得（不合题意舍去）或， 综上所述，满足条件的的值为5或10． 故答案为：5或10 【解答压轴】 【题型11 分母有理化阅读探究题】 【例11】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 【变式11-1】（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若．求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对每一项分母有理化，即形如的项，可以分母有理化为，再裂项相消求和即可； （2）先对分母有理化，构造的表达式，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ， ， ． ． 【变式11-2】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． (1)下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 【答案】(1)①③ (2) 有理数的值为 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义得到，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，； ∴关于9的“和谐二次根式”的是①③； （2）解：由题意，， 即， ， ∴. 【变式11-3】（26-27八年级上·江西·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____（因式分解）． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子中的每一项的分母先进行二次根式化简，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②． （2）解：∵ ， ∴ ． （3）解： ． 【题型12 整体代入求二次根式的值】 【例12】（25-26八年级下·广东中山·期中）已知，． (1)_____________，_____________． (2)求代数式的值． 【答案】(1)，13 (2)33 【分析】（1）根据二次根式的加减运算、乘法运算法则以及平方差公式求解即可； （2）先运用完全平方公式变形原式，然后将（1）的结论代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解： ． 【变式12-1】（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段检测）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题例解答即可； （）由已知求出，再利用完全平方公式可得，进而即可求解； （）由已知得，进而可得，把代数式转化为，代入即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，正确对所求式子进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 【变式12-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【答案】(1) (2)①1，；② (3)8 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ； ②∵， ∴， 解得； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式12-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）仿照材料中方法求解即可； （2）先分母有理化，再合并即可； （3）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：①， ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 故答案为：1． 【题型13 化简二次根式】 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】 解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】略 【变式13-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【答案】， 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，先根据题意求出的整数部分为，的整数部分为1，，，再利用二次根式的运算法则进行计算得到化简结果，再把，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴原式 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 【变式13-3】（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：．（，，） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴原式 . 【题型14 找二次根式运算规律并计算】 【例14】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）对二次根式进行通分、化简，最终开方得到整式或分式形式，并观察规律得出下一个等式的表达形式. （2）通过观察等式的分子、分母、结果的变化规律，用含的代数式表示第个等式，并进行分式的混合运算，化简得出结论． （3）利用前面的规律，将多个二次根式的乘积转化为分式的连乘，通过 “中间项全部抵消” 的连锁约分简化计算，得到答案． 【详解】（1）解：根号内的分子为：是连续奇数，第个为， 根号内的分母为：，第个为， 等式右边为：，第个为， ∴第个等式为：，即； （2）解：根号内的分子：是连续奇数， ∴第个为， 根号内的分母：， ∴第个为， 等式右边:， ∴第个为， ∴第个等式为：， 证明：左边， 为正整数， ， 原等式成立； （3）解：， ， 根据（2）中结论可得， 上式． 【变式14-1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 【变式14-2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 【变式14-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由如下： ， ， ， 故． 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： . 【题型15 一元二次方程实际应用题】 【例15】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式15-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 【变式15-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【题型16 一元二次方程与几何图形综合】 【例16】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 【变式16-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)当或时，面积为 (2)存在，时，是等腰直角三角形 (3)当时，． 【分析】(1)利用直角三角形面积公式，把代入得到关于的一元二次方程，解方程，筛选落在取值范围内的，即可解答； (2)直角在点，等腰直角三角形则两条直角边相等，列等式求，判断结果是否在运动时间区间，即可解答； (3) 在中，用勾股定理，建立含方程，求根后舍去负根，验证剩余根是否符合时间范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 点到达终点时间：，点到达终点时间：， 运动时间取值范围：． 四边形是矩形， ， 当的面积为时，， ， 整理得：， ，均符合题意． 当或时，面积为． （2）解：存在，使是等腰直角三角形，理由如下： ，为等腰直角三角形， ， ， 解得， ，符合取值范围． 存在，时，是等腰直角三角形． （3）解：，由勾股定理得： ， ， 解得，（舍去）， ，符合题意． 当时，． 【变式16-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式16-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 【题型17 一元二次方程中的新定义问题】 【例17】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2026或2028 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． （3）解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 【变式17-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 【变式17-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式17-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数 (3)或 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． （3）解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 【题型18 相似三角形综合证明】 【例18】（2026·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1) ； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：点、关于点对称， 是的中点， 是等腰直角三角形，即， ； (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质即可得出； （3）设，则，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长； （4）分两种情况讨论，点在上方和下方时，根据已知条件得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）略 （3）解：当点落在上时， 连接，如图： ∵，且为的中点，即垂直平分， ∴，， ∴设，则， 在中，， ∴，解得， 即， 在中，， ∵在中，是斜边上的中线， ∴； （4）解：如图，当在的下方时，设，交于点，由（3）可得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴； 如图，当在的上方时，延长交于点， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，或． 【变式18-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)45 (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得：， ∴在和中，，， ∴， 由翻折知， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由翻折的性质可得：，，，证明，即可求出； （2）利用（1）的结论可得出，再加上公共角，即可证明； （3）将绕点旋转至，使与重合，连接，证明，可得，由，可得，进而得出，再利用，，可求出，，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折的性质可得：，，， ∴，， ∵在与中， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：如图，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式18-2】（2025·浙江杭州·二模）【证明体验】 (1)如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，求证：． 【思考探究】 (2)如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，得到，推出，可得结论； （2）连接，交于点，先计算，得到，推出，证明，可得，即可求解； （3）设与交于点，通过证明，可求，由菱形的面积公式可求，由锐角三角函数可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是矩形，，， ，，，， ，，, ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正方形边长为6，若点为边上一动点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交射线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当经过中点时，连结．求证：； (3)当、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：由翻折的性质可知，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； (3)2或3 【分析】（1）由翻折的性质可知，，，，为正方形的对角线，则是等腰直角三角形，，由，即可求解的长； （2）可证得， 且相似比为，则是的中点，得出，得到，，再利用三角形内角和定理即可证明； （3）分情况讨论，由三角形相似可解得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴，， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当是的中点， 在四边形中，， ， ∴， 在正方形中，， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 当是的中点， 如图，延长，交于点， ∵，是的中点， ∴，且相似比为， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，即点为的中点， ∴； 当是的中点，此情况不存在； 综上所述，或． 【题型19 相似动点存在性问题】 【例19】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 【变式19-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)（） (3) (4)或 【分析】本题是四边形的综合问题，主要考查矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，割补法求三角形的面积， （1）当运动时，，，，由可得，从而得到．当时，四边形是矩形，因此，即，求解即可； （2）用含t的式子分别表示出梯形，，的面积，由可得函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得，由得，再由（2）中求得，可得方程，求解即可； （4）由，，可得，由勾股定理在中，求得，进而．当为等腰三角形时，分三种情况讨论：①，②，③，分别求出满足条件的t值即可． 【详解】（1）解：当运动时，，， ∵在矩形中，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∵在矩形中，， ∴当时，， ∴四边形是矩形， ∴，即， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； （2）解：∵，，，， ∴， ， ∴， 即S与t之间的函数关系式为（） （3）解：当时，，理由如下： ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）求得 ∴， 解得， ∴ 当时，； （4）∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴． 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①若，如图， 又， ∴， 解得； ②若，如图， 过点E作于点N，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； ③若， 连接， ∵在中，点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴点E与点B重合，， ∴， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当为等腰三角形时，或． 【变式19-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，在上取一点D，使，连接，分别过点A，点C，作，，交点为E．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点F，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使得垂直平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再求出的长，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）过点D作，垂足为M，，垂足为N，证明，求出的长，证明四边形是平行四边形，可求出，证明，可求出，根据可得答案； （3）可证明，则可推出，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； 由题意得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：如图，过点D作，垂足为M，，垂足为N， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即； （3）解：如图，连接， ， ∴要使垂直平分，只需， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴当时，垂直平分． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式19-3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，长度的最小值为 【分析】在上截取，连接，可证得，从而，进而得出结果； 在上截取，连接，可证得，从而，根据平行四边形的性质得出，进一步得出结果； 在BC的延长线上截取，连接WF，取AW的中点，作射线，交的延长线于点V，可证得，从而，根据三角形中位线的性质得出，从而得出，从而得出点M在过定点，且与成的直线上运动，作于M，则当点M在处时，DM最小，进一步得出结果； 【详解】（1）解：如图1， 在上截取，连接， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为； （2）解：如图2， 在上截取，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：如图3， 在的延长线上截取，连接，取的中点，作射线，交的延长线于点V， ，， （含的等腰三角形，底是腰的倍），， ， ， 是的中点， ， ， 点M在过定点，且与成的直线上运动， 作于M，则当点M在处时，最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， （含的等腰三角形，底是腰的倍）， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型20 相似探究问题】 【例20】（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ； ②直线与直线之间的位置关系是 ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)不成立，新结论为：；成立． 证明： 四边形和四边形都是矩形， ， ， 即 ， ， ， ， ，， 即， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． 综上，不成立，新结论为：；成立． (3) 【分析】（1）通过证明 ，得出线段相等和垂直关系． （2）利用两边对应成比例且夹角相等证明 ，从而探究线段的数量和位置关系． （3）先求出，结合得四边形为平行四边形，得。再由勾股定理求，最后由（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：①四边形和四边形都是正方形， ， 在 和 中： ， ， . ② 由①知 ， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． （2）略 （3）由（2）知，． ， ， 在 中，由勾股定理： ， ， ， 点在上方，且， 四边形为平行四边形， ， ， 在 中，由勾股定理： ， 由（2）中结论，可得． 【变式20-1】（2026·广东深圳·三模）定义：在平行四边形中，若有一边长是一条对角线长的一半，则称这个平行四边形为半随四边形，其中这条边叫做半随边，这条对角线叫做半随对角线． (1)【概念理解】如图，四边形是半随四边形；对角线与交于点，是半随边，是半随对角线． ①的形状是________三角形； ②若，则=________； (2)【问题探究】如图，四边形是矩形，对角线与交于点，，． ①当时，请利用尺规作图，在射线上作出点，使四边形为半随四边形，并请说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） ②若四边形是半随四边形，则______； (3)【应用拓展】如图，四边形与四边形均为半随四边形，其中与分别是半随边，和分别是半随对角线，，，请求出的值． 【答案】(1)等腰； (2)①作图如下： 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴为半随边，为半随对角线，四边形是半随四边形． ②或； (3)． 【分析】（1）①根据平行四边形对角线互相平分与半随四边形定义得到，判断三角形形状；②直接利用半随边与半随对角线数量关系计算长度． （2）①根据平行四边形判定作出图形，再结合半随四边形定义完成证明；②分类讨论矩形的边作为半随边的两种情况，利用勾股定理求出． （3）结合平行四边形性质、半随四边形定义推导角相等，证明三角形全等，再通过勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是半随边，是半随对角线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②∵，， ∴． （2）解：①在射线上取点，使，作图略； ②情况1：为半随边，对应对角线， ∵矩形，，，， ∴，即， 解得（负值舍去）； 情况2：为半随边，对应对角线， ∵矩形，， ∴，即， 解得（负值舍去）； ∴或． （3）解：∵四边形是半随四边形，是半随边，是半随对角线， ∴，，为中点， ∴，， ∴， ∵四边形是半随四边形，是半随边，是半随对角线， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， 过作于，设， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 在中： ， 在中， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【变式20-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【变式20-3】（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【答案】(1) (2)解：，证明如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； （4）解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时． 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 【题型21 坐标系中利用相似求解】 【例21】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，矩形在坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，，矩形周长为18，面积为18． （1）求点坐标； （2）如图2，、、分别在、、上，连、，若于，，设点横坐标为，求的长（用含的代数式表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，是中点，连并延长至，连交于，若，，求的值． 【答案】（1）B（6，3）（2）CG＝2t（3）t＝ 【分析】（1）设B点坐标为（m，n），根据矩形周长和面积的值列方程组求解． （2）作DH⊥OC于H，可证△DHE△OCG，由相似比可得CG＝2HE＝2AD． （3）作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD，设DE与OQ交于点R．先证DMKF四点共圆，进而得出∠KFM＝45，再导角推出OP是∠AOG的角平分线，然后可以导出△DRQ和△EOR均为等腰三角形，于是DE的长可用t表示出来．注意到∠AOD与∠NOK相等，可推出OD＝DE，最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值． 【详解】（1）设B点坐标为（m，n）(m＞n) 由题意可知： 解得：或（舍去） ∴B点坐标为（6，3）． （2）如图2，作DH⊥OC于H． 则∠DHE＝90， ∴∠HDE＋∠DEH＝90， ∵DH⊥OG于F， ∴∠GOC＋∠DEH＝∠OFE＝90， ∴∠HDE＝∠COG， ∵∠OCG＝90＝∠DHE， ∴△DHE△OCG， ∴ ∵B（6，3）， ∴AB＝OC＝6，AO＝DH＝BC＝3， ∴＝2， ∴CG＝2HE， ∵D点横坐标为t， ∴OH＝AD＝t， ∴OE＝2AD， ∴HE＝OH＝t， ∴CG＝2HE＝2t． （3）如图3，作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD． ∵M为AB中点， ∴AM＝BM＝ON＝CN＝AO＝BC＝MN＝3，KN＝CG＝t， ∴KN＝AD，所以DM＝KM， ∵∠DFK＝∠DMK＝90， ∴DFKM四点共圆， ∴∠DFM＝∠KFM＝45， ∵∠KFM＝∠OPF＋∠FOP， ∴∠FOP＋＝45， ∴2∠FOP＋2＝90°， ∵∠AOC＝90， ∴∠AOQ＋∠FOP＋∠COG＝∠AOQ＋∠FOP＋2＝90， ∴∠AOQ＝∠FOP， ∵∠AOQ＝∠OFR＝90， ∴∠ORF＝∠OQA， ∵∠ORF＝∠DRQ，∠OQA＝∠ROE， ∴∠DRQ＝∠OQA，∠ROE＝∠ORF， ∴DR＝DQ＝，RE＝OE＝2t， ∴DE＝DR＋RE＝＋2t， ∵，∠OAD＝∠ONK， 所以△OAD≌△ONK， ∴∠AOD＝∠NOK， ∵∠AOD＋∠DOE＝∠NOK＋∠OEF＝90， ∴∠DOE＝∠OEF， ∴OD＝DE＝＋2t， 在Rt△AOD中：OA2＋AD2＝OD2， ∴9＋t2＝(＋2t)2， 解得t＝． 【点睛】本题为四边形综合题，主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（3）问是本题的难点，证明OP是∠AOG的角平分线进而得出△DRQ、△EOR、△DOE均为等腰三角形是解答的要点所在． 【变式21-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知：如图，在平面点角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． (1)求过点A、B的直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，P、Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请直接写出m的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当或或或时，与相似 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，相似三角形的相似与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而得到，则，由此利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得当与相似时，只存在和两种情况，当 时，则此时点D与点C重合，即点D的坐标为；当时， 则，由此可证明，得到，即，解得，求出，则点D的坐标为：； （3）当点D的坐标为时，如图，当时，则，根据相似三角形的性质可得，解得：；如图，当时，则，根据相似三角形的性质可得，，解得：；同理求出点D坐标为时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， （2）解：∵点D在x轴上， ∴， ∴当与相似时，只存在和两种情况， 当 时，则此时点D与点C重合，即点D的坐标为； 当时，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为：； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：当点D的坐标为，如图，当时， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：； 如图，当时，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 同理当点D的坐标为，m的值为或； 综上所述：当或或或时，与相似． 【变式21-2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，在直角平面坐标系中，已知，点C在y轴的正半轴上，且． (1)求点C的坐标． (2)过点作于点E，连接． ①当D在线段上时，是否存在点D使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，则说明理由． ②当D在点B的右侧时，设交直线于点F，若，请直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)①4或或6， ② 【分析】（1）根据求出，结合勾股定理即可求解； （2）①分类讨论（i）若，（ii）若，（iii）若即可求解；②过E作于M，过F作于N，可推出，再证 ，设，则，证，最后证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵． ∴， 在中， = ， ∴； （2）解：在线段上存在点D，使得是等腰三角形，理由如下： ①∵， ∴， （i）若，则， ∴， ∴， ∴， ∴，此时； （ii）若， 在和中 ， ∴ ∴， 而 =， ∴ ， ∴ ，此时 ， （iii）若，过E作于H，如图： ∴ ， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令得， ∴ ∴， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，满足条件的m的值为4或或6， ②过E作于M，过F作于N，如图： ∵， ∴， 而 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 而， ∴， ∴ ，即 ①， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入得②， 由①②解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的存在性问题、一次函数的解析式求解等知识点．综合性较强，需要学生具备较强的逻辑推理能力． 【变式21-3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． 如图1，是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标． (1)如图2，已知斜坐标系中，，试在该坐标系中作出点，并求点O、A之间的距离； (2)如图3，在斜坐标系中，已知点、点，是线段上的任意一点，试求、之间一定满足的一个等量关系式； (3)若问题（2）中的点在线段的延长线上，其它条件都不变，试判断上述、之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)如图所示； 2 (2) (3) 解：如图，当点在线段的延长线上时，上述结论仍然成立． 理由如下：这时，， 与（2）类似，，， 又 ， ，即． 【分析】（1）作轴，与轴交于点，轴，与轴交于点，构建菱形，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求的长度； （2）过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，则，，易证和，从而得到关于、的比例式和，再由线段的和差关系求得，从而得到、之间的关系式； （3）当点在线段的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时，，证明过程同（2）． 【详解】（1）解：作轴，与轴交于点，轴，与轴交于点， 则四边形为平行四边形，且， 是菱形，， 平分， 又， ， 是等边三角形， ． （2）解：如图，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、， 则，， ， ， ， 即， ， ， ， 即， ， 即． （3）略 【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题关键是作辅助线构建平行四边形（或菱形）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴21类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第20章 二次根式~第22章 图形的相似） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 利用二次根式非负性求参数】 1 【题型2 二次根式的估算】 2 【题型3 根据取值范围化简二次根式】 2 【题型4 二次根式大小比较】 2 【题型5 数轴结合二次根式化简】 3 【题型6 由根与系数的关系求代数式的值】 3 【题型7 一元二次方程中的含参问题】 4 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求值】 4 【题型9 利用相似三角形的判定与性质求最值】 5 【题型10 相似三角形中的动点分类讨论问题】 6 【解答压轴】 7 【题型11 分母有理化阅读探究题】 7 【题型12 整体代入求二次根式的值】 9 【题型13 化简二次根式】 10 【题型14 找二次根式运算规律并计算】 10 【题型15 一元二次方程实际应用题】 12 【题型16 一元二次方程与几何图形综合】 14 【题型17 一元二次方程中的新定义问题】 15 【题型18 相似三角形综合证明】 16 【题型19 相似动点存在性问题】 18 【题型20 相似探究问题】 20 【题型21 坐标系中利用相似求解】 22 【选填压轴】 【题型1 利用二次根式非负性求参数】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【变式1-1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）把的根号外的因式移到根号内等于________． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）要使，实数x的取值范围是______． 【题型2 二次根式的估算】 【例2】（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·重庆渝中·三模）满足的整数是________． 【变式2-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，若整数满足，则__________． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3 根据取值范围化简二次根式】 【例3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简__________． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，那么可化简为_________． 【题型4 二次根式大小比较】 【例4】（25-26七年级下·上海·期末）已知，，，，比较、、的大小___________． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【变式4-2】比较大小：①_______②_______（填＞、＜或=） 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【题型5 数轴结合二次根式化简】 【例5】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 【题型6 由根与系数的关系求代数式的值】 【例6】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【变式6-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【题型7 一元二次方程中的含参问题】 【例7】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【变式7-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【变式7-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求值】 【例8】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，折叠矩形，使点落在边上点处，线段为折痕，连接，．线段与，分别交于点，．若，，则矩形的边长为(     ) A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 【变式8-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 【题型9 利用相似三角形的判定与性质求最值】 【例9】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式9-3】（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【题型10 相似三角形中的动点分类讨论问题】 【例10】（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【变式10-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式10-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，边长为的正方形，，分别从，两点同时出发，以速度沿射线，射线运动，连结，交于点，为中点，连结，，若与相似，，则运动时间的值为 _______． 【解答压轴】 【题型11 分母有理化阅读探究题】 【例11】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【变式11-1】（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若．求的值； 【变式11-2】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． (1)下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 【变式11-3】（26-27八年级上·江西·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____（因式分解）． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 【题型12 整体代入求二次根式的值】 【例12】（25-26八年级下·广东中山·期中）已知，． (1)_____________，_____________． (2)求代数式的值． 【变式12-1】（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段检测）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【变式12-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【变式12-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 【题型13 化简二次根式】 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【变式13-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【变式13-3】（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：．（，，） 【题型14 找二次根式运算规律并计算】 【例14】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 【变式14-1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【变式14-2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【变式14-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【题型15 一元二次方程实际应用题】 【例15】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式15-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【变式15-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【题型16 一元二次方程与几何图形综合】 【例16】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【变式16-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【变式16-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【变式16-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【题型17 一元二次方程中的新定义问题】 【例17】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【变式17-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【变式17-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【变式17-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【题型18 相似三角形综合证明】 【例18】（2026·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1) ； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 【变式18-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【变式18-2】（2025·浙江杭州·二模）【证明体验】 (1)如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，求证：． 【思考探究】 (2)如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正方形边长为6，若点为边上一动点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交射线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当经过中点时，连结．求证：； (3)当、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，求的长． 【题型19 相似动点存在性问题】 【例19】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式19-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【变式19-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，在上取一点D，使，连接，分别过点A，点C，作，，交点为E．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点F，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使得垂直平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式19-3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【题型20 相似探究问题】 【例20】（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ； ②直线与直线之间的位置关系是 ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【变式20-1】（2026·广东深圳·三模）定义：在平行四边形中，若有一边长是一条对角线长的一半，则称这个平行四边形为半随四边形，其中这条边叫做半随边，这条对角线叫做半随对角线． (1)【概念理解】如图，四边形是半随四边形；对角线与交于点，是半随边，是半随对角线． ①的形状是________三角形； ②若，则=________； (2)【问题探究】如图，四边形是矩形，对角线与交于点，，． ①当时，请利用尺规作图，在射线上作出点，使四边形为半随四边形，并请说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） ②若四边形是半随四边形，则______； (3)【应用拓展】如图，四边形与四边形均为半随四边形，其中与分别是半随边，和分别是半随对角线，，，请求出的值． 【变式20-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【变式20-3】（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【题型21 坐标系中利用相似求解】 【例21】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，矩形在坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，，矩形周长为18，面积为18． （1）求点坐标； （2）如图2，、、分别在、、上，连、，若于，，设点横坐标为，求的长（用含的代数式表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，是中点，连并延长至，连交于，若，，求的值． 【变式21-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知：如图，在平面点角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． (1)求过点A、B的直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，P、Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请直接写出m的值；如不存在，请说明理由． 【变式21-2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，在直角平面坐标系中，已知，点C在y轴的正半轴上，且． (1)求点C的坐标． (2)过点作于点E，连接． ①当D在线段上时，是否存在点D使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，则说明理由． ②当D在点B的右侧时，设交直线于点F，若，请直接写出m的值． 【变式21-3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． 如图1，是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标． (1)如图2，已知斜坐标系中，，试在该坐标系中作出点，并求点O、A之间的距离； (2)如图3，在斜坐标系中，已知点、点，是线段上的任意一点，试求、之间一定满足的一个等量关系式； (3)若问题（2）中的点在线段的延长线上，其它条件都不变，试判断上述、之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $