专题特训1 二次根式比较大小的方法&专题特训2 二次根式的化简求值-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第20章二次根式 专题特训一二次根式比较大小的方法 类型一平方法 1.比较大小：√23+√7 √27十3（填“>”“<”或“=”）. 类型二作差/作商法 2题多照比较6一5与22的大小 √3 2 类型三分子/分母有理化法 3多醒比较十与牛2的大小 3+√2√2+1 类型四倒数法 4.比较/2026-√2025与√2025-√2024的大小. 类型五定义法 5.比较/6-a与a-7的大小(a≤6). 卜“答案与解析”见P4 9 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 专题特训二。 二次根式的化简求值 类型一先化简代数式，再代入求值 1.先化简，再求值：(1十x)2一2x,其中x=√5. 2.[2024通辽中考]先化简，再求值：(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b),其中a=一√2，b=2. 类型二运用数形结合法化简 3.实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简/(a一4)+√(a一11)2的结果为 () 05a10 (第3题) A.7 B.-7 C.2a-15 D.15-2a 4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示.化简：√b2一J(c+a)十√(b一a) c160。十 (第4题) 类型三巧用乘法公式化简 1 5.若√元+. 1 =6,0<x<1,则元-的值是 Nx A.-√2 B.-2 C.±2 D.士√2 6.已知x=√3+1，y=√3-1，则x2-y2= 10 第20章二次根式 7.已知a一b=23,ab=1,求下列代数式的值. (1)a2+b2. (2)(a+b)2. 类型四巧用整体代入化简求值 8.已知a一b=2√3-1，ab=√3，则(a+1)(b-1)的值为 A.-√3 B.3√3 C.3√2-2 D.√5-1 9.已知a=3+22,b=3-2√2，则a2b-ab2= 10.已知a= 1 ,求a2一4a一1的值.可以这样解答：. 1 5+2 5-21 =√5+2， W5-2(/5-2)(/5+2) ∴a-2=5..(a-2)2=5,即a2-4a十4=5..a2-4a=1.∴.a2-4a-1=1-1=0. 请你根据以上解题方法和过程，解决以下问题： (1)填空： 1 2-5 @+2a+ 1 十…十 √400+√399 (⑧当a后产时求2a--1a5的值 >“答案与解析”见P5 114.102+2√5①若腰长为25,2×2√3<5√2， ∴.此情况不合题意，舍去.②若腰长为5√2,23+ 5√2>52，∴.此情况符合题意.∴.这个等腰三角形的周 长为2X5√2+2W3=10W2+23. 51原武-2×2后-5+8×-后-5+85 35.(2)原式=25-3原-2×45+45=35- 2√5.(3)原式=√2×18-3×√2×3+2×√2X3 6-36+2W6=6-√6.(4)原式=2+(3-45+4) (2-25)=2+3-45+4-2+23=7一2√5 6.A√6X23-√12÷6=218-√12÷√6，.甲负 责的一步没有错误2√18一√12：√6=6√2一√2，∴.乙负 责的一步出现错误.(2一1)√18一12：√6=√6：√6，∴.丙 负责的一步没有错误.√6：√6=1，∴.丁负责的一步没有 错误。 7.C当n=2时，n(n+1)=√2×(W2+1)=2+√2<15： 当n=2十√2时，n(n+1)=(2+√2)×(3+√2)=6+ 5√2+2=8+5√2>15.∴.最后输出的结果为8+5√2. 8.√10-3（√/10+3）2021×（√10-3）2025=[（√/10+ 3)×(√10-3)]2021×（√10-3）=(10-9)221×（√10 3)=√/10-3. 9.19:√2000=205，√1999<205，∴.在1、√2、 √3W4、…、√1998、√1999这1999个式子中，与√2000 可以合并的有√5、25、35、45、…、195，共19个. 10.(1)2-1. 1 2-1 √2+1(2+1)(2-1) =√2-1. √2-1 √3-√2 (2)9.原式= X (2+1)(W2-1)(W5+2)(W5-√2) √4-√3 100-√99 十…十 W4+3)4-3) (100+√/99)(100-/99) 2-1+√3-2+√4-√3+…+√100-√99=√100- 1=10-1=9.(3):a= 1 √5+2 5-2(W5-2)(W5+2) 5+2,.a-2=√5..(a-2)2=5,即a2-4a+4=5. ∴.a2-4a=1.∴.3a2-12a-1=-3(a2-4a)-1=3X1- 1=2. 11.:x=5+2 =5-2,.a.x3+br2+cx+d= (W3-√2)3a+(5-2)b+(3-√2)c+d=(95- 112)a+(5-26)b+(W3-2)c+d=√5.∴.(9a+c 1)W3-(11a+c)W2-2√6b+5b+d=0.:a、b、c、d为有 9a+c-1=0, a=-2 11a+c=0, b=0, 理数， 解得 .这个三次多项 b=0, c= 2 5b+d=0, d=0. 式为+号 专题特训一二次根式比较大小的方法 1.>(√23+√7)2=30+2√16i,(√27+5)2=30+ 2√8I,且√23+√7>0，√/27+3>0,30+2√/161> 30+2√81，.√23+√7>√27+5. 2解法-（作差法）：5-5_2-2 6-52=2-25-6-而<0.：6=5< √6 √6 2-2 √2 解法二（作商法）“6=5÷2一2- 3 √2 6-5.1-6-6<16-5>0 2270, √5√2-1√6-√5 :6-52-2 3解法-（分母有理化），十2 _(1十√2)(3-√2) 3+√2 (3+√2)(3一√2) 22+1,E-2+5-D-2,“22+中<2， 7 '√2+1(2+1)(W2-1) 7 :1+2 2+√2 解法二（分子有理化）： 1+√2 3+√2√2+1 3+√2 (1+2)(1-√2) 1 22+√2 (3+√2)(1-√2)22-14√2-2'2+1 8后5-反 02 42-2√2 :1+22+2 3+√2√2+1 1 4. √2026-√/2025 =√2026+√2025， =√2025+√2024，.√2026+ √2025-√2024 1 √2025>√2025+√2024，∴. √2026一√2025 1 .√2026-√2025>0，√2025- √/2025-√2024 √/2024>0，∴.√2026-√/2025<√2025-√2024. 5.a≤6..a-7≤-1<0..a-7<0.又 :6-a≥0，∴.W6-a>3a-7. 专题特训二二次根式的化简求值 1.原式=1+2x十x2-2x=x2+1.当x=√5时，原式= (W5)2+1=5+1=6. 2.原式=4a2-b2-(4a2-ab+4ab-b2)=4a2-b2- 4a2+ab-4ab+b2=-3ab.当a=-√2，b=2时，原 式=-3×(-√2)×2=6√2. 3.A由数轴，可知5<a<10,∴.a-4>0,a-11<0. ∴.原式=|a-4+|a-11=(a-4)-(a-11)=a-4- a+11=7. 4.思路导引 观察数轴 c<b<0<a lel>lal =b|=-bcta<0 b-a<0 ctal=-c-ab-al=a-b 合并同类项 由数轴上各点的位置，可得c<一1<b<0<a<1,则a十 c<0,b-a<0.∴.原式=lb|-|c+a|+|b-al=-b十 a+c+a-b=2a-26+c. 5A(-F)-(G+）-4=6)-4= 2.:0<x<1,>1,即x<:< -√任<0后-=- 6.45x2-y2=(x+y)(x-y)=2√3×2=43. 7.(1)a2+b2=(a-b)2+2ab=(2√3)2+2×1=14. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab=(23)2+4×1=16. 8.A(a+1)(b-1)=ab-(a-b)-1=3-(23 1)-1=-√3. 9.4J2a2b-ab2=ab(a-b)=(3+2√2)(3-2/2)· [(3+2W2)-(3-2√2)]=(9-8)X42=42 10.(1)2+5. 1 1×(2+3) 2-√5(2-√5)X(2+√5) =2+5. 1 1 1 (2) 十十 1 ”√2+13+2√4+5 √400+√399 (W2-1) (W3-√2) 十 (2+1)(2一1)(5+√2)(5-√2) W4-3) 十…十 (W√400-√399) W4+5)W4-3) (√J400+√/399)（√/400-√/399） 2-1+ 5-√2 4-3 十…十 (√2)2-12 (5)2-(2)2 (4)2-(5)2 40o-39-巨-1+8-2+压-3+十 (√400)2-（√399）21 1 1 400-√398-2-1+3-2+-5+…+ 1 √400-√399=-1+√400=-1+20=19. (3)a= 2 26+2)-26+2 6-2（√6-2）（√6+2）（√6）2-22 2w6+2_26+2=6+2,a-2=6.（a- 6-4 2 2)2=6,即a2-4a+4=6.∴.a2-4a=2..2a1-8a3- 16a-5=2a2(a2-4a)-16a-5=2a2×2-16a-5= 4a2-16a-5=4(a2-4a)-5=4×2-5=8-5=3. 综合与实践1通过数形结合的 方法探究代数式的值 (1)√5.在Rt△ABP中，AP=√AB2+BPz= √1+xZ;在Rt△CDP中，DP=√CD+CP= √1+(1-x)..√1+x+√1+(1-x)7=AP+DP. 如图①，延长AB至，点A',使A'B=AB=1,连结A'P,则 易得AP=A'P.连结A'D.当P在A'D与BC的交点处 时，A'P+DP的长最短，即AP+DP的长最短，最小值为 线段A'D的长.在Rt△AA'D中，AA'=2,AD=1, ∴.A'D=√AA+AD=√22+1℉=5.∴.√1+x2+ √1+(1一x)的最小值为5.(2)如图②，构造两个边 长为3的正方形ABFE和CMEF,P为BC边上的动点， 点D在边CM上，且CD=1.设BP=x,则CP=6一x.在 Rt△ABP中，AP=√AB2+BP=√g+x;在 Rt△CDP中，DP=√CD+CPz=√I+(6-x).