3.3.2 整式的加减 《知识解读·题型专练》-2026-2027学年苏科版七年级数学上册

3.3.2 整式的加减（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型·1 同类项的判断】 2 【题型·2·已知同类项求指数中字母或代数式的值】 2 【题型·3·合并同类项】 3 【题型·4·去括号与添括号】 3 【题型·5…整式的加减运算】 4 【题型·6·整式的加减中的化简求值】 5 【题型·7·整式加减中的无关型问题】 5 【题型·8··整式加减的应用】 6 【题型·9·带有字母的绝对值化简问题】 8 【随堂检测】 9 知识点1 同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【题型·1 同类项的判断】 【例1】下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】在下列式子中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列单项式中，与是同类项的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各组代数式中，是同类项的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型·2·已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若与可以合并成一个单项式，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式2-1】若与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】若与的差仍是单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【变式2-3】若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．5 【题型·3·合并同类项】 【例3】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】计算：＝______． 知识点2 去括号与添括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【题型·4·去括号与添括号】 【例4】下列去括号（或添括号）正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列各式添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】下列去括号(或添括号)变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】不改变式子的值，把式子中括号前的“-”变成“+”的结果应是（    ） A． B． C． D． 知识点3 整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【题型·5…整式的加减运算】 【例5】计算：． 【变式5-1】化简： (1) (2) 【变式5-2】化简： (1) (2) 【变式5-3】计算： (1) (2) 【题型·6·整式的加减中的化简求值】 【例6】先化简，再求值：，其中 ，． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】先化简，再求值：已知， 求的值． 【题型·7·整式加减中的无关型问题】 【例7】已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【变式7-1】已知：，． (1)若，，求的值． (2)若的值与x无关，求y的值． 【变式7-2】已知代数式，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式7-3】已知，． (1)化简：； (2)当、满足什么关系，代数式的值与无关． 【题型·8··整式加减的应用】 【例8】“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【变式8-1】如图所示的阴影部分是一个商标图案，其中点O为半圆的圆心，，（计算结果均保留π）    (1)用含有a，b的代数式表示该商标图案的面积； (2)当，时，求该商标图案的面积． 【变式8-2】某平台网约车计价规则如下表：15.3 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算：远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)若小红乘车里程为20公里，乘车时间为30分钟，则需付车费________元； (2)若小明乘车里程为a公里，乘车时间为b分钟，求小明应付车费（用含a、b的代数式表示，并化简）； (3)小王与小张各自乘车，里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？说明理由． 【变式8-3】小亮对家中客厅的窗户设计了两种窗帘，图1的窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，图2的窗帘是由一个半圆和两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图1所示的窗帘，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π）． (2)通过计算说明图1、图2哪种设计使窗户能射进阳光的面积更大？大多少？（结果保留π） 【题型·9·带有字母的绝对值化简问题】 【例9】已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：    (1)求a、b、c的值． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在之间运动时（即时），请化简式子：． 【变式9-1】有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：用“”号把，， 连接起来； (2)化简：． 【变式9-2】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【变式9-3】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 3．下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 5．若多项式与的和不含项，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D．2 6．化简的结果是________． 7．计算的结果等于________． 8．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 9．化简： 10．先化简，再求值：，其中． 11．如图所示，其中长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积；（用字母表示） (2)当时，求阴影部分的面积．（结果用表示） 12．某市为鼓励市民节约用水，水价实行阶梯计费制，其收费标准如下： 每月用水量 单价（元/） 不超过的部分 超过而未超过的部分 超过的部分 (1)某用户上月用水，则应缴水费______元（用含的代数式表示）． (2)某用户上月用水为，上缴水费元． ①若该用户本月用水为，求出上缴的水费； ②若该用户本月用水为，请直接用含的代数式表示本月支出的水费． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 整式的加减（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型·1 同类项的判断】 2 【题型·2·已知同类项求指数中字母或代数式的值】 3 【题型·3·合并同类项】 5 【题型·4·去括号与添括号】 7 【题型·5…整式的加减运算】 8 【题型·6·整式的加减中的化简求值】 10 【题型·7·整式加减中的无关型问题】 11 【题型·8··整式加减的应用】 14 【题型·9·带有字母的绝对值化简问题】 18 【随堂检测】 22 知识点1 同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【题型·1 同类项的判断】 【例1】下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项”这一概念，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A．与所含字母相同，但的指数分别为2和1，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，故不是同类项 B．与所含字母不同，前者含字母，后者不含，故不是同类项 C．与所含字母都是、，且的指数都是2，的指数都是1，符合同类项定义，故是同类项 D．与所含字母相同，但的指数分别为2和3，指数不同，故不是同类项， 故选：C． 【变式1-1】在下列式子中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，需根据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”这一概念对各选项进行判断． 【详解】解：A选项：所含字母为a，与题干的x不同，不是同类项； B选项：所含字母为x，且x的指数为3，与题干的字母和对应指数都相同，是同类项； C选项：x的指数为2，与题干中x的指数3不同，不是同类项； D选项：x的指数为2，与题干中x的指数3不同，不是同类项． 故选：B． 【变式1-2】下列单项式中，与是同类项的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，需根据“所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项”这一概念，逐一判断选项是否符合要求． 【详解】解：A、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； B、与是同类项，故该选项符合题意 ； C、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； D、与不是同类项，故该选项不符合题意 ； 故选：B． 【变式1-3】下列各组代数式中，是同类项的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是解题的关键． 根据同类项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．和，x指数分别为2和1，y指数分别为1和2，指数不同，故不是同类项，不符合题意； B．和，和等价，均为x和y的指数1，故是同类项，符合题意； C．即，不是整式，故不是同类项，不符合题意； D．和，整体次数分别为1和2，次数不同，故不是同类项，不符合题意． 故选：B． 【题型·2·已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若与可以合并成一个单项式，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键．根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同可得m的值，进而可得答案． 【详解】解：∵单项式与可以合并成一个单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得． 故选：A． 【变式2-1】若与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2-2】若与的差仍是单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义． 由于两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而建立方程求解m和n，再代入计算表达式值． 【详解】解；∵单项式与的差仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴相同字母的指数相等， 即且， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2-3】若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的定义，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过指数相等列方程求解n和m，再计算． 【详解】解：∵两个单项式是同类项， ∴， ∴， ∵， 代入，得， ∴， ∴， 故选：B． 【题型·3·合并同类项】 【例3】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意 【变式3-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】合并同类项法则：同类项合并时，系数相加，字母和字母的指数不变，非同类项不能合并，据此即可求解． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项合并时，系数相加，字母和字母的指数不变，非同类项不能合并， ∴A：，A错误； B：，B错误； C：，计算正确，C正确； D：与不是同类项，不能合并，D错误． 【变式3-2】下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并同类项时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立； B、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立； C、，故本选项等式成立； D、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立． 【变式3-3】计算：＝______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 知识点2 去括号与添括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【题型·4·去括号与添括号】 【例4】下列去括号（或添括号）正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号的规则，根据去括号和添括号的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】下列各式添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号，熟练掌握添括号法则是解题关键．根据添括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】下列去括号(或添括号)变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号的规则．根据规则：括号前是负号，去括号或添括号时，括号内的各项要变号；括号前是正号，则不变号．逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确． 故选：D． 【变式4-3】不改变式子的值，把式子中括号前的“-”变成“+”的结果应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则，熟记法则是解题关键，去括号法则：括号前是负号，括号内的各项都改变符号；括号前是正号，括到括号内的各项都不改变符号，根据去括号法则即可得． 【详解】解：， 故选：B ． 知识点3 整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【题型·5…整式的加减运算】 【例5】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，乘法分配律，正确去括号、合并同类项是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项化简整式； （2）先用乘法分配律去括号，再合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式5-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）首先去括号，然后合并同类项即可解答； （2）首先去括号，然后合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【题型·6·整式的加减中的化简求值】 【例6】先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】， 【分析】先去括号，合并同类项，再把，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后把，，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当， 时，原式． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先利用去括号法则去括号，再合并同类项化简整式，最后代入已知的的值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 【变式5-3】先化简，再求值：已知， 求的值． 【答案】，450 【分析】由非负数的性质可求得x与y的值，再将A和B代入中，去括号，合并同类项进行化简，再将x与y的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 把代入，原式． 【题型·7·整式加减中的无关型问题】 【例7】已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 【变式7-1】已知：，． (1)若，，求的值． (2)若的值与x无关，求y的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式加减无关型，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决问题的关键． （1）把，代入，通过去括号、合并同类项化简得，再把，代入计算即可； （2）将化简为，结合题意得出关于y的等式，即可求出y的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， 把，代入，得 ； （2） ， 的值与x无关， ， 解得：． 【变式7-2】已知代数式，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）直接将，代入计算即可； （2）根据的值与的取值无关得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 【变式7-3】已知，． (1)化简：； (2)当、满足什么关系，代数式的值与无关． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）将A和B代入，然后先去括号，再合并同类项，可得化简的结果； （2）将变形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由题意得， ， ∵代数式的值与无关， ∴． 【题型·8··整式加减的应用】 【例8】“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)按方案一购买较为合算； (3)先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值在销售问题中的应用． （1）方案一：买6台平板电脑，送6支智能手写笔，故费用为：6台平板电脑的费用加上支智能手写笔的费用；方案二：6台平板电脑的加上支智能手写笔的，即可得出答案； （2）将分别代入（1）中所得的两种方案并计算即可； （3）可先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，计算即可． 【详解】（1）解：∵方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔， ∴按方案一购买，需付款：元； ∵方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款， ∴按方案二购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）解：当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算； （3）解：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔， （元）， ， 答：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【变式8-1】如图所示的阴影部分是一个商标图案，其中点O为半圆的圆心，，（计算结果均保留π）    (1)用含有a，b的代数式表示该商标图案的面积； (2)当，时，求该商标图案的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式解决实际问题，掌握各图形的面积计算公式以及整式的代入求值计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用三角形的面积公式及圆的面积公式计算即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴阴影部分面积为 ； （2）解∶ 当，时， ． 答：该商标图案的面积是． 【变式8-2】某平台网约车计价规则如下表：15.3 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算：远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)若小红乘车里程为20公里，乘车时间为30分钟，则需付车费________元； (2)若小明乘车里程为a公里，乘车时间为b分钟，求小明应付车费（用含a、b的代数式表示，并化简）； (3)小王与小张各自乘车，里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：一样多，理由如下： 小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟， 小王应付车费：； 小张应付车费： 因此，小王与小张支付车费一样元． 【分析】（1）根据网约车的计价规则计算即可解答； （2）分a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可； （3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟，分别根据网约车的计价规则求出它们所付的车费，然后比较即可． 【详解】（1）解：小红需付车费（元）． 故答案为． （2）解：当时，小明应付费元； 当时，小明应付费元； 综上，小明应付车费或元． （3）略 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，弄清题意、列出代数式是解本题的关键． 【变式8-3】小亮对家中客厅的窗户设计了两种窗帘，图1的窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，图2的窗帘是由一个半圆和两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图1所示的窗帘，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π）． (2)通过计算说明图1、图2哪种设计使窗户能射进阳光的面积更大？大多少？（结果保留π） 【答案】(1) (2)图2所示的窗户能射进阳光的面积比图1能射进阳光的面积大，大 【分析】（1）根据窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成即可求得答案； （2）根据图形表示出图2所示的窗户能射进阳光的面积，比较出两个面积的大小后，再作差即可得到答案． 【详解】（1）解：窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，则窗户能射进阳光的面积是； 故答案为： （2）图2窗户能射进阳光的面积， ∵， ∴， ∴图2所示的窗户能射进的阳光更大， ， 即图2所示的窗户能射进阳光的面积比图1能射进阳光的面积大． 【点睛】此题考查了列代数式和整式加减的应用，读懂题意，熟练掌握法则是解题的关键． 【题型·9·带有字母的绝对值化简问题】 【例9】已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：    (1)求a、b、c的值． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在之间运动时（即时），请化简式子：． 【答案】(1)a的值为，的值为1，的值为5； (2) 【分析】本题考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． （1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， ， ，， ，， 的值为，的值为1，的值为5； （2）解：， ，，， ． 【变式9-1】有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：用“”号把，， 连接起来； (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的大小比较和整式的加减，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）根据数轴上右边的数总比左边的数法，判断大小； （2）原式各项利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可得：， ∴； （2）∵，，， ∴ ． 【变式9-2】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为． ①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）； ②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值． (3)直接写出代数式的最小值为______． 【答案】(1)6；4 (2)①  ②或 (3)5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，化简绝对值，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据数轴上两点间距离的求法列出代数式化简即可；②将代入由①所得的式子，求解即可； （3）根据绝对值的性质，分段讨论取值，即当时，当时，当时，分别化简，取最小值比较即可得出答案． 【详解】（1）解：表示4和两点间的距离是， 表示和两点间的距离是， 故答案为：6；4． （2）解：①数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为， 数轴上A、B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； ②若数轴上A、B两点间的距离为时， 则，解得或， 的值为或． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述得的最小值为5， 故答案为：5． 【变式9-3】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则 ； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解 随堂检测 【随堂检测】 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与所含字母种类不同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 2．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，运算错误． B．，运算错误． C．，运算正确． D．与不是同类项，不能合并，运算错误． 3．下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 4．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 5．若多项式与的和不含项，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】多项式的和不含项等价于和中项的系数为0，据此列方程求解. 【详解】解：， ∵ 和不含项， ∴ ， 解得. 6．化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 7．计算的结果等于________． 【答案】 【详解】解：． 8．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 9．化简： 【答案】 【分析】根据整式去括号运算及合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 11．如图所示，其中长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积；（用字母表示） (2)当时，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用及代数式求值，解题的关键是正确的表示出阴影部分的面积． （1）根据“阴影部分的面积长方形面积 以为半径的圆的面积以为直径的圆的面积”列式求解，即可解题； （2）将代入解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 12．某市为鼓励市民节约用水，水价实行阶梯计费制，其收费标准如下： 每月用水量 单价（元/） 不超过的部分 超过而未超过的部分 超过的部分 (1)某用户上月用水，则应缴水费______元（用含的代数式表示）． (2)某用户上月用水为，上缴水费元． ①若该用户本月用水为，求出上缴的水费； ②若该用户本月用水为，请直接用含的代数式表示本月支出的水费． 【答案】(1) (2)①元；②（）；（）；（） 【分析】（1）根据收费分段，找到需要的收费段以及对应单价，列式即可得到答案． （2）①根据用水的水费位于第一段单价收费，得到单价的值，进而根据用水的水费分三档：分别计算费用后相加即可． ②根据处于不同费用段列出关于的代数式即可． 【详解】（1）解：分为两部分：，单价元，超出部分：，单价元， ∴应缴水费为：元， 故答案为：； （2）解：用水，水费元， ∴（元/），第三档单价为：（元/）， ①用水的水费分三档： 水费：（元）， 水费：（元）， 水费：（元）， 总水费为：（元）， ②分三档水费列代数式： 当时，为元/，即元， 当时，前水费：元，超出部分元， 水费为：元， 当时：前水费：元，超出部分元/， 水费为：元， ∴用含的代数式表示本月支出的水费为：（）；（） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $