精品解析：辽宁盘锦市盘山县高级中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

2026—2027学年度上学期高二10月考试试题数学 时间：120分钟 满分：150分 说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，按要求答在试卷相应位置上． 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线的方向向量，且直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. C. D. 2. 直线和直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 或3 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 7. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 8. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全对得6分，漏选部分得分，多选、错选不得分． 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 11. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 13. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 14. 已知直线l：与曲线恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知圆经过，，并且圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 17. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期高二10月考试试题数学 时间：120分钟 满分：150分 说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，按要求答在试卷相应位置上． 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线的方向向量，且直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量求解斜率，根据垂直关系可求解. 【详解】由于是直线的方向向量，故直线的斜率为， 故直线的斜率为，进而可得倾斜角为， 故选：D 2. 直线和直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的充要条件计算即可. 【详解】因为直线和直线平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都是，两直线重合，舍去， 当时，两直线方程分别为，，两直线平行． ∴. 故选：C． 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 4. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 7. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值. 【详解】因为a，b是方程的两个实根， 所以，， 所以． 又，所以，所以． 由于直线与直线平行， 所以它们之间的距离， 所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，． 故选：C． 8. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答. 【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，设， 因，则，化简整理得：， 因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形， 当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大， 显然，点P到轴的最大距离为，此时，， 所以面积的最大值是． 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全对得6分，漏选部分得分，多选、错选不得分． 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确；  对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，空间中，三个不共面的向量构成基底，利用基底定义求解；对于B，由得到是钝角或求解；对于C，由关于平面对称的点，则横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数求解；对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或，若，则，从而得解. 【详解】对于构成空间的一个基底，则不共面， 因为，所以必共面，故A正确； 对于B，当时，则是钝角或，故B错误； 对于C，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； 对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或；若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC. 11. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弦长求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，又，所以. 故答案为： 13. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案. 【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得． 所以，所以． 故答案为： 14. 已知直线l：与曲线恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：①直线与半圆相切有一个交点；②直线与半圆相交于两个点，综合两种情况可得答案. 【详解】由，得（）， 其图象是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线l：是过点的直线， 作出图象，如图所示： 当直线l与半圆相切时，，解得， 当直线过时，直线PB的斜率为， 要使直线l与半圆有两个不同的公共点，由图可知，， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知圆经过，，并且圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，结合线段的中垂线的性质进行求解即可； （2）两个圆的方程相减得到相交弦方程，再结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 由于的中点为且， 所以的中垂线的斜率为． 所以的中垂线方程为． 因为圆心在的中垂线上且在轴上，所以令，则．所以圆心． 圆的半径，即圆的标准方程为； 【小问2详解】 将两圆方程联立， 两式相减得，所以公共弦所在方程为， 由于到直线的距离为， 所以公共弦的长为． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，将表示成，利用空间向量数量积的运算性质及向量模的求法求解即可； （2）根据异面直线所成角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， . 在平行六面体中，. 所以，. 所以，. 即线段的长度为. 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以. 所以直线和夹角的余弦值为. 17. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：设与相交于点，连接， 四边形为菱形，， 且为中点，，， 又，平面，平面，平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，利用菱形的性质可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得钝二面角的余弦值； （3）设，求出向量的坐标，利用空间向量法结合已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可求得结果. 【详解】（1）略 （2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形， 为的中点，， 又，，平面，平面，平面. 、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 因为，四边形为菱形，，，， 为等边三角形，， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 所以. 又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为； （3）设， 则， 所以， 化简，解得：或（舍）. 所以. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直接写出直线的方程，通过分析直线和的斜率确定的范围. （2）联立直线与，的方程，求出交点的坐标，再结合两点间距离公式和点到直线距离公式计算的面积． （3）先表示出的面积，通过换元法确定其取值范围，再将不等式进行变形，结合面积的取值范围求解的取值范围． 【小问1详解】 依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知， 可得直线方程为，直线方程为， 联立方程组，解得， 又由，解得， 由两点距离公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． 【小问3详解】 由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且，所以， 可得的最大值为，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $