1.2.2 有理数数轴及其应用 同步讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

数轴及其应用（同步巩固讲义） 一、学习目标 本讲目标 1. 熟练掌握有理数与数轴的关系，能由数轴上点的位置读出数的符号、大小与到原点的距离； 2. 会用数轴比较两个有理数的大小，掌握“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”； 3. 能解决数轴上点的平移（含双解）、整点覆盖、滚动与翻转等规律探究问题。 二、知识讲解 （一）数轴的复习与深化 【知识点】数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可。 数轴的三要素 【知识点】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示：表示数 的点位于原点左边、与原点的距离是 个单位长度；表示数 的点位于原点右边、与原点的距离是 个单位长度。 【易错】数轴上的点不都表示有理数（例如表示 的点），所以“有理数”与“数轴上的点”不是一一对应关系。 （二）用数轴比较有理数的大小 【知识点】数轴上右边的点表示的数总比左边的大；反过来，较小的数对应的点更靠左，较大的数对应的点更靠右。 数轴上越靠右的数越大 例1 （1）大于 且小于 的整数共有______个。 （2）、 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 、、、 按从小到大的顺序排列正确的是（　　） a、-a、b、-b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D.             练1 （1）绝对值不大于 的非正整数有（　　） A. 个　　B. 个　　C. 个　　D. 个 （2）有理数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） m、n 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. （3）数轴上坐标是整数的点称为整点。某数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画一条长为 厘米的线段 ，则线段 盖住的整点可能是（　　） 整点覆盖的两种情形 A. 或 个　　B. 或 个　　C. 或 个　　D. 或 个                     （三）用绝对值比较两个负数的大小 【知识点】两个负数比较大小：先求绝对值，绝对值大的反而小。 两个负数比较大小 例2 比较大小：______。           练2 比较大小：______（要求写出过程）。             例3 已知 ，，且 ，则 、 的大小关系为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定           练3 已知表示有理数 、 的点在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） a、b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D.           （四）数轴与点的移动 【知识点】点向右（正方向）移动 个单位：新数 原数 ；向左（反方向）移动 个单位：新数 原数 。 【知识点】到数轴上表示数 的点距离为 的点有两个，分别表示 与 。 【提示】“移动”有方向（左减右加），“距离”没有方向（双解），二者不要混淆。 例4 数轴上点的往返平移 一点 从数轴上表示 的点开始移动，第一次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位；第二次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位；第三次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位……按此规律继续移动。 （1）第一次移动后这个点表示的数为______； （2）第二次移动后这个点表示的数为______； （3）第四次移动后这个点表示的数为______； （4）第 次移动后这个点表示的数为______； （5）如果第 次移动后这个点表示的数为 ，求 的值。                     练4 对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向左平移 个单位，得到点 的对应点 。例如：按照上述操作，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 。已知点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D.             （五）数轴与图形的滚动（选讲） 【知识点】圆周长为 时，数轴上的点每移动 个单位，与它重合的圆周上的数字就重复一次。求某个数与哪个数字重合，用“间隔的个数 取余数”找循环节。 例5 数轴绕在圆周上 如图，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 。先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，若将圆沿数轴向左滚动，那么数轴上的数 与圆周上数字 重合， 与 重合， 与 重合， 与 重合……按此规律，数轴上的数 将与圆周上的数字______重合。             练5 【阅读】数轴上点 、 表示的数分别是 、，若 ，则 。例如：点 、 表示的数分别为 和 ，则 。 （1）【应用】点 、 表示的数分别为 和 ，且 ，则 ______（用含 的代数式表示）。 （2）【拓展】数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，其中 、、 从左到右依次排列，且 。 ① 求 的值； ② 以 为边作等边三角形 ，并将三角形沿数轴向右滚动，每滚动一周（三条边依次落地）为一个周期。若滚动第 周后，顶点 表示的数是 ，求 的值。                     三、课堂总结（重点复述） 知识点 核心方法 关键提醒 数轴与有理数 三要素：原点、正方向、单位长度 缺一不可 数轴法比大小 右边的点表示的数总比左边的大 可由大小关系反推点的位置 两负数比大小 先比绝对值，绝对值大的反而小 通分后再比较 点的移动 向右移加、向左移减 “距离”问题要双解： 滚动与翻转 找循环节（看余数） 注意起点、方向与周期 四、出门测 1. 已知有理数 、 所对应的点在数轴上如图所示，则有（　　） a、b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 已知 ，则在数轴上表示 的点可能位于（　　） A. 与 之间　　B. 原点与 之间　　C. 的右边或 的左边　　D. 与 之间 1. 若数轴上点 表示的数是 ，则与点 距离为 个单位长度的点所表示的数是______。 1. 一个点从数轴上表示 的点开始，先向右平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，则此时这个点表示的数是______。 1. 圆的周长为 个单位长度，在圆的三等分点处标上数字 。先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，再将数轴按顺时针方向绕在该圆上，使数轴上的数 所对应的点分别与圆周上 所对应的点重合。那么数轴上的数 将与圆周上的数字______重合。                         学科网（北京）股份有限公司 $ 数轴及其应用（同步巩固讲义） 一、学习目标 本讲目标 1. 熟练掌握有理数与数轴的关系，能由数轴上点的位置读出数的符号、大小与到原点的距离； 2. 会用数轴比较两个有理数的大小，掌握“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”； 3. 能解决数轴上点的平移（含双解）、整点覆盖、滚动与翻转等规律探究问题。 二、知识讲解 （一）数轴的复习与深化 【知识点】数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可。 数轴的三要素 【知识点】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示：表示数 的点位于原点左边、与原点的距离是 个单位长度；表示数 的点位于原点右边、与原点的距离是 个单位长度。 【易错】数轴上的点不都表示有理数（例如表示 的点），所以“有理数”与“数轴上的点”不是一一对应关系。 （二）用数轴比较有理数的大小 【知识点】数轴上右边的点表示的数总比左边的大；反过来，较小的数对应的点更靠左，较大的数对应的点更靠右。 数轴上越靠右的数越大 例1 （1）大于 且小于 的整数共有______个。 （2）、 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 、、、 按从小到大的顺序排列正确的是（　　） a、-a、b、-b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】（1）；（2）C 【解析】（1）大于 且小于 的整数有 ，共 个。 （2）由图可知 ，且 。 与 是 与 的相反数：，。两个负数中 不成立——注意 ，所以 ；负数只有 与 ，由 得 ；两个正数中 。故 ，选 C。 练1 （1）绝对值不大于 的非正整数有（　　） A. 个　　B. 个　　C. 个　　D. 个 （2）有理数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） m、n 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. （3）数轴上坐标是整数的点称为整点。某数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画一条长为 厘米的线段 ，则线段 盖住的整点可能是（　　） 整点覆盖的两种情形 A. 或 个　　B. 或 个　　C. 或 个　　D. 或 个 【答案】（1）C；（2）D；（3）B 【解析】（1）绝对值不大于 的非正整数为 ，共 个，选 C。 （2）由图知 ：A 错（）；B 错（）；，而 ，所以 ，C 错、D 对。选 D。 （3）分两类：端点 、 恰好都落在整点上时，盖住 个整点；端点不在整点上时，盖住 个整点。故为 或 个，选 B。 （三）用绝对值比较两个负数的大小 【知识点】两个负数比较大小：先求绝对值，绝对值大的反而小。 两个负数比较大小 例2 比较大小：______。 【答案】 【解析】，。因为 ，即 ，而两个负数绝对值大的反而小，所以 。 练2 比较大小：______（要求写出过程）。 【答案】 【解析】，。因为 ，所以 。 例3 已知 ，，且 ，则 、 的大小关系为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定 【答案】A 【解析】由 知 （只有负数的绝对值大于它本身）；同理 。两个负数比较大小，绝对值大的反而小：，所以 。选 A。 练3 已知表示有理数 、 的点在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） a、b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】A 【解析】由图可知 在 与 之间、 在 与 之间，所以 ，A 的说法 错误；，且 ，B、C 正确；，D 正确。故选 A。 （四）数轴与点的移动 【知识点】点向右（正方向）移动 个单位：新数 原数 ；向左（反方向）移动 个单位：新数 原数 。 【知识点】到数轴上表示数 的点距离为 的点有两个，分别表示 与 。 【提示】“移动”有方向（左减右加），“距离”没有方向（双解），二者不要混淆。 例4 数轴上点的往返平移 一点 从数轴上表示 的点开始移动，第一次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位；第二次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位；第三次先向左移动 个单位，再向右移动 个单位……按此规律继续移动。 （1）第一次移动后这个点表示的数为______； （2）第二次移动后这个点表示的数为______； （3）第四次移动后这个点表示的数为______； （4）第 次移动后这个点表示的数为______； （5）如果第 次移动后这个点表示的数为 ，求 的值。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 【解析】每次“向左移动奇数个单位、再向右多移 个单位”，相当于每次净向右移动 个单位。 （1）；（2）；（3）每轮净加 ，第四次后为 ； （4）第 次后为 ，即 ； （5）由（4）得 ，解得 。 练4 对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向左平移 个单位，得到点 的对应点 。例如：按照上述操作，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 。已知点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】B 【解析】设点 表示的数为 ，则操作后为 。由 与 重合得 ，解得 。选 B。（验证：，确实重合。） （五）数轴与图形的滚动（选讲） 【知识点】圆周长为 时，数轴上的点每移动 个单位，与它重合的圆周上的数字就重复一次。求某个数与哪个数字重合，用“间隔的个数 取余数”找循环节。 例5 数轴绕在圆周上 如图，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 。先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，若将圆沿数轴向左滚动，那么数轴上的数 与圆周上数字 重合， 与 重合， 与 重合， 与 重合……按此规律，数轴上的数 将与圆周上的数字______重合。 【答案】 【解析】圆向左滚动时，落在数轴上的数字按 四个一循环：数 对 ， 对 ， 对 ， 对 ， 又对 ……从 到 共经过 步， 余 ，余数 对应循环中的第 个数字 。所以 与圆周上的数字 重合。 练5 【阅读】数轴上点 、 表示的数分别是 、，若 ，则 。例如：点 、 表示的数分别为 和 ，则 。 （1）【应用】点 、 表示的数分别为 和 ，且 ，则 ______（用含 的代数式表示）。 （2）【拓展】数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，其中 、、 从左到右依次排列，且 。 ① 求 的值； ② 以 为边作等边三角形 ，并将三角形沿数轴向右滚动，每滚动一周（三条边依次落地）为一个周期。若滚动第 周后，顶点 表示的数是 ，求 的值。 【答案】（1）；（2）① ；② 。 【解析】（1）。 （2）① ，。由 得 ，解得 。此时 ，，，。 ② 等边三角形边长为 ，每滚动一周前进 个单位长度。 从 出发，滚动第 周后表示的数为 。由 ，解得 。 三、课堂总结（重点复述） 知识点 核心方法 关键提醒 数轴与有理数 三要素：原点、正方向、单位长度 缺一不可 数轴法比大小 右边的点表示的数总比左边的大 可由大小关系反推点的位置 两负数比大小 先比绝对值，绝对值大的反而小 通分后再比较 点的移动 向右移加、向左移减 “距离”问题要双解： 滚动与翻转 找循环节（看余数） 注意起点、方向与周期 四、出门测 1. 已知有理数 、 所对应的点在数轴上如图所示，则有（　　） a、b 在数轴上的位置 A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 已知 ，则在数轴上表示 的点可能位于（　　） A. 与 之间　　B. 原点与 之间　　C. 的右边或 的左边　　D. 与 之间 1. 若数轴上点 表示的数是 ，则与点 距离为 个单位长度的点所表示的数是______。 1. 一个点从数轴上表示 的点开始，先向右平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，则此时这个点表示的数是______。 1. 圆的周长为 个单位长度，在圆的三等分点处标上数字 。先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，再将数轴按顺时针方向绕在该圆上，使数轴上的数 所对应的点分别与圆周上 所对应的点重合。那么数轴上的数 将与圆周上的数字______重合。 【答案】1. B；2. C；3. 或 ；4. ；5. 。 【解析】 1. 由图知 ，且 ，所以 ，选 B。 1. 表示 到原点的距离大于 ，即 或 ，对应点在 的右边或 的左边，选 C。 1. 双解：，。 1. 。 1. 从 起，数轴上的数 与圆周数字的对应为 时对 、 时对 、 时对 。 余 ，故 与数字 重合。 学科网（北京）股份有限公司 $