1.2.1&1.2.2有理数的概念、数轴（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数概念与数轴核心知识点，系统梳理有理数的定义（整数和分数统称）、两种分类方式（按定义和正负）及非负数等特殊数集，衔接数轴三要素（原点、正方向、单位长度）与有理数在数轴上的表示，构建从概念到数形结合的学习支架。 资料通过11类分层题型（如定义辨析、带“非”数集区分、数轴规律探究）和随学随练设计，培养学生抽象能力（如区分非负整数）、几何直观（数轴标注负分数）与推理意识（数轴滚动规律）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第一章 有理数 1.2.1&1.2.2有理数的概念、数轴 课标要点 1. 理解有理数定义：整数和分数统称有理数，明确有限小数、无限循环小数属于有理数，无限不循环小数不是有理数； 2. 掌握有理数两种分类方式，能对数进行不重不漏归类，分清非负数、非正数、非负整数、非正整数等特殊数集； 3. 掌握数轴三要素，规范绘制数轴，能在数轴上标注有理数、读出数轴点对应的数，建立数形结合认知； 4. 理解所有有理数均可在数轴上表示，数轴上的点不全部是有理数。 学习重难点 重点： 1. 有理数概念与两种分类方法； 2. 数轴三要素，有理数在数轴上的表示。 难点： 1. 区分循环小数与无限不循环小数，判断有理数； 2. 准确区分各类特殊数集； 3. 规范在数轴标注负分数、小数。 知识点 有理数的概念 ◆1、整数：正整数、负整数、零统称为整数． ◆2、分数：正分数、负分数统称为分数． ◆3、有理数：整数和分数统称为有理数. 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数. 拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数． ◆4、部分常用的数： （1）正整数：例如： 1，2，3，… ； 负整数：例如：－1，－2，－3，…； （2）正分数：例如：，2，3.14，…， 负分数：例如：…. （3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0； （4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0； 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. 随学随练 1.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 知识点 有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】 ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 随学随练 1.（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 知识点 数轴 ◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ◆2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ◆3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. ◆4、数轴上的点与有理数的关系 （1）任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. （2）数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. （3）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数- a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度． 随学随练 1．（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 题型一 有理数的定义辨析 ▌例1（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 解题贴士 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； ▌对点练1-1 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义； 依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数也属于有理数），判断各选项是否为有理数，找出符合题意的选项． 【详解】解：∵有理数包含整数、分数，有限小数与无限循环小数也可化为分数，属于有理数， ∴A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无限不循环小数，不属于有理数，故此选项符合题意； D、1.779是有限小数，可化为分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． ▌对点练1-3（25-26七年级上·山东德州·期末）下列7个数，，，，0，π，，．其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义．有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，据此逐一判断即可． 【详解】解：和是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 0 和是整数，是有理数； 不是有理数； 是循环小数，是有理数； 所以有理数共有6个． 故选：D． 题型二 带“非”类有理数区分 ▌例2 （25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 解题贴士 1. 非负就是大于等于0，非正就是小于等于0 2. 非负整数就是自然数，从零开始往后数 3. 看见“非”字先排除对应数，千万不要漏掉0 4. 只要出现非零，直接剔除数字0 ▌对点练2-1 （24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 【详解】解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是明确非负整数的定义； 先明确非负整数的定义（即正整数和0），再逐一判断所给数字是否符合该定义，统计符合的个数即可得出答案． 【详解】解：∵非负整数是指正整数和0， ∴是负整数；是分数；0是非负整数；是分数；是负小数；是负分数；不是有理数；5是正整数； ∴符合条件的非负整数有0和5，共2个， 故选：B． ▌对点练2-3（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查非负有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义． 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，根据非负有理数的定义即可求解． 【详解】解：在数中，非负有理数是，共6个． 故答案为：6． 题型三 有理数的分类 ▌例3（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，根据负数和分数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是整数，不是分数，该选项不符合题意； 、不是负数，该选项不符合题意； 、是负数，又是分数，该选项符合题意； 、是正数，不是负数，该选项不符合题意； 故选：． 解题贴士 有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负有理数. 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． ▌对点练3-1 （23-24七年级上·山东济南·期中）在数，，，，，，，，中，负分数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据负分数的定义逐项判断即可，有限小数、可以转化为有限小数的百分数都可以化为分数，所以有限小数、可以转化为有限小数的百分数可以看成分数． 【详解】根据题意可知，，，，，为负分数，共个． 故选：C ▌对点练3-2 （25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了整数的分类，负整数的定义，理解整数的分类是解题的关键．明确负整数的定义为小于0的整数，依次判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵负整数的定义是既是负数，又是整数， ∴依次判断各选项： A选项，是正小数，不是负整数，不符合题意， B选项，是负分数，不是整数，不符合题意， C选项，是小于0的整数，属于负整数，符合题意， D选项，10是正整数，不是负整数，不符合题意． ▌对点练3-3 （25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 题型四 数轴的三要素 ▌例4 四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向， 正确的是； 故选：D． 解题贴士 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． ▌对点练4-3 （23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴”进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误； （2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误； （4）符合数轴的特点，正确． 综上，只有一个是正确的． 故选：A． 题型五 用数轴上的点表示有理数 ▌例5 （2026·湖南怀化·二模）如图，数轴上表示3的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D 【详解】解：根据题图可知，数轴单位长度为1， ∴表示3的点是Q． 解题贴士 1、任意一个有理数 都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. ▌对点练5-1 如图，数轴上，，，四个点中，表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，直接根据数轴得出答案即可． 【详解】解：由数轴可知，表示的点是， 故选：B． ▌对点练5-2 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． ▌对点练5-3在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，，，，， 【答案】见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴有三要素：原点、正方向，单位长度；正数在原点的右边，负数在原点的左边，再结合正数大于0，0大于负数进行逐个表示，即可作答． 【详解】解：如图所示： 题型六 利用数轴求两点之间的距离 ▌例6 已知数轴上、两点分别表示的数为和5，则、两点间的距离为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的应用，根据数轴上点表示的数列出算式计算即可；关键是能根据题意列出算式． 【详解】解：∵数轴上，A、B两点分别表示数和5， ∴A、B两点之间的距离是， 故选：D． 解题贴士 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. ▌对点练6-1 在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D． 【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【详解】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022， 故选：D． ▌对点练6-2 已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离，利用相反数的定义求出的值，再根据数轴上两点距离公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， ∵它们在数轴上分别对应，两点， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴，两点的距离为， 故选：B． ▌对点练6-3已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在数轴上描出四个点的位置即可； （2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离； （3）原点取在B处，相当于将原数加上，从而计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵B、C分别表示 ∴ 故答案为：． （3）解：∵原点取在B处， ∴相当于将原数加上， 点D：． 题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 ▌例7 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况①当点在点的右边时，点表示的数为．②当点在点的左边时，点表示的数为求解即可． 【详解】解：点表示数2，点和点相距5个单位长度， 当点在点的右边时，点表示的数为． 当点在点的左边时，点表示的数为． 点表示的数是或 7， 故选：D． 解题贴士 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. ▌对点练7-1 （25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上到原点距离最大的点是（    ） A．点 B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据点的位置即可作出判断． 【详解】解：由数轴可得：点D离原点最远，则数轴上到原点距离最大的点是点D， 故选：D． ▌对点练7-2（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． ▌对点练7-3 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②点表示，点表示5 【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论； （2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论． 【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点， 表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为， ∴， ∴6表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； ②设折痕为点，则， 点表示的数为，点表示的数为． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键． 题型八 数轴上点的平移问题 ▌例8（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 解题贴士 数轴上向右移动数字变大，向左移动数字变小；设移动步数 / 时间，写出移动后点对应的数，再对照题意列式计算。 ▌对点练8-1如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． ▌对点练8-2 为数轴上表示的点，将点沿数轴移动5个单位长度到点，点所表示的数为______________． 【答案】3或 【分析】考查数轴的点移动规律知识点．解题方法是明确数轴上点移动的“右加左减”原则；技巧是考虑移动方向的两种可能性（向左或向右）；易错点是忽略其中一种移动方向，导致漏解． 已知点A表示，沿数轴移动5个单位长度，需分两种情况：向右移动时，用加上5；向左移动时，用减去5，分别计算这两种情况的结果即可得到点B表示的数． 【详解】点A在数轴上表示，沿数轴移动5个单位长度有两种情况： 向右移动：； 向左移动：． 故答案为：3或． ▌对点练8-3 （25-26七年级上·广东广州·阶段检测）画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 【答案】(1)数轴见详解； (2)图见详解，向右平移4个单位长度得到的数是3． 【详解】（1）解：， 数轴如图： （2） 解：点的位置如图： 将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数是． 题型九 数轴上找原点 ▌例9 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 解题贴士 先看已知两个点之间有多少格、相差多少数，从已知点往回数格子，数到对应数字 0 的位置就是原点。 ▌对点练9-1 （2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． ▌对点练9-2 （25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． ▌对点练9-3 （25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： . (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 题型十 数轴上整点覆盖问题 ▌例10 （25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了数轴，理解整数的概念，能够结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解答本题的关键．结合数轴，知道墨迹盖住的范围有两部分，即大于小于，大于小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴得，第一部分盖住的整数有：，，，，， 第二部分盖住的整数有：，，，， 两部分一共盖住个整数， 故选：D． 解题贴士 在数轴上画出线段，一格一格数线上落在刻度整数上的点；线段两头刚好对准整数，整点数量 = 总格数 + 1，没对准就直接数总格数。 ▌对点练10-1 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知数轴上的部分点被墨迹遮盖了，则被遮盖住的点中表示整数的点有_______ 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴可知墨迹遮盖了到2之间的整数，求出到2之间的整数个数即可得到答案． 【详解】解：由题意墨迹遮盖了到2之间的整数， ∵到2之间的整数有， ∴被遮盖住的点中表示整数的点有6个， 故答案为：6． ▌对点练10-2 （24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： ▌对点练10-3（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 题型十一 数轴上的规律探究问题 ▌例11 （25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． 解题贴士 在数轴上依次标出前几个点对应的数字，观察数字增减、重复循环的特点，按规律往后数得到目标点的数。 ▌对点练11-1 （25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. ▌对点练11-2 （24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． ▌对点练11-3（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】负有理数指小于0的有理数，包括负整数和负分数. 【详解】解：∵在中，负有理数为，，，，共4个. 3．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）下列各图表示的数轴，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握数轴定义是关键． 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同，据此即可判断． 【详解】解：A、没有原点，故本选项错误，不符合题意； B、数轴上的点与数字不相符，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； 故选：C. 4．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 5． 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 6．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 素养提升 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上用序号标注了四段范围，若某段范围内有两个整数，则这段范围是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴．根据图形和数轴分别找出各个段内的整数，即可得出答案． 【详解】解：由图可知①段内的整数只有一个； ②段内的整数有和0两个； ③段内的整数只有1一个； ④段内的整数只有2一个． ∴符合题意的为②段． 故选：B． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤ 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 9．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义以及分数的概念，解决本题的关键是熟练掌握有理数的定义． 根据有理数的定义，判断每个数是否为分数即可． 【详解】解：是整数，不是分数； 是分数； 3.14是有限小数，可以化成分数，如，因此是分数； 0.1010010001...（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，不能化成分数，因此是无理数； 表示，即，是分数； 综上，分数有3个． 故答案为：3． 迁移创新 11．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 【答案】C． 【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解． 【详解】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…， ∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…， ∵2022÷2=1011， ∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位， 故选：C． 12．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】此题主要考查了数轴上表示数，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是3，即可得原点位置； （2）在数轴上确定表示各数的点的位置即可． 【详解】（1）解：原点O如图所示 （2）解：，，1，4表示为 13．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 14．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 15．如图，数轴的单位长度为1，点A表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)1或5 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B在左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B在左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B在右侧时，点C表示的数为， 故点C表示的数为1或5． 16．（23-24七年级上·浙江金华·期末）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合．则 （1）数轴上数8对应的点与数_______对应的点重合； （2）若数轴上两点A，B（点A在B的左侧），折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，则点A表示的数为_______． 【答案】 或 【分析】（1）本题考查折叠的性质，以及数轴上两点之间的距离，记折叠处为点，根据题意得到折叠出表示的数字，利用8到的距离和其对应点到的距离相等，即可解题． （2）本题考查折叠的性质，以及数轴上两点之间的距离，根据折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：记折叠处为点， 数轴上数对应的点与数4对应的点重合， 点表示的数为， 由折叠的性质可知，8到的距离和其对应点到的距离相等， 又 ，， 数轴上数8对应的点与数对应的点重合； 故答案为：． （2）解：折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5， ①当时， 由题知，， 由上面两式整理可得，，解得， 点表示的数为，点A在B的左侧， 点A表示的数为， ②当时， 由题知，， 由上面两式整理可得，，解得， 点表示的数为，点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.2.1&1.2.2有理数的概念、数轴 课标要点 1. 理解有理数定义：整数和分数统称有理数，明确有限小数、无限循环小数属于有理数，无限不循环小数不是有理数； 2. 掌握有理数两种分类方式，能对数进行不重不漏归类，分清非负数、非正数、非负整数、非正整数等特殊数集； 3. 掌握数轴三要素，规范绘制数轴，能在数轴上标注有理数、读出数轴点对应的数，建立数形结合认知； 4. 理解所有有理数均可在数轴上表示，数轴上的点不全部是有理数。 学习重难点 重点： 1. 有理数概念与两种分类方法； 2. 数轴三要素，有理数在数轴上的表示。 难点： 1. 区分循环小数与无限不循环小数，判断有理数； 2. 准确区分各类特殊数集； 3. 规范在数轴标注负分数、小数。 知识点 有理数的概念 ◆1、整数：正整数、负整数、零统称为整数． ◆2、分数：正分数、负分数统称为分数． ◆3、有理数：整数和分数统称为有理数. 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数. 拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数． ◆4、部分常用的数： （1）正整数：例如： 1，2，3，… ； 负整数：例如：－1，－2，－3，…； （2）正分数：例如：，2，3.14，…， 负分数：例如：…. （3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0； （4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0； 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. 随学随练 1.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】 ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 随学随练 1.（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 知识点 数轴 ◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ◆2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ◆3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. ◆4、数轴上的点与有理数的关系 （1）任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. （2）数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. （3）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数- a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度． 随学随练 1．（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 题型一 有理数的定义辨析 ▌例1（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 解题贴士 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； ▌对点练1-1 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 ▌对点练1-3（25-26七年级上·山东德州·期末）下列7个数，，，，0，π，，．其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 带“非”类有理数区分 ▌例2 （25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解题贴士 1. 非负就是大于等于0，非正就是小于等于0 2. 非负整数就是自然数，从零开始往后数 3. 看见“非”字先排除对应数，千万不要漏掉0 4. 只要出现非零，直接剔除数字0 ▌对点练2-1 （24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ▌对点练2-3（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 题型三 有理数的分类 ▌例3（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负有理数. 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． ▌对点练3-1 （23-24七年级上·山东济南·期中）在数，，，，，，，，中，负分数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练3-2 （25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D．10 ▌对点练3-3 （25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 题型四 数轴的三要素 ▌例4 四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 解题贴士 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 用数轴上的点表示有理数 ▌例5 （2026·湖南怀化·二模）如图，数轴上表示3的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 解题贴士 1、任意一个有理数 都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. ▌对点练5-1 如图，数轴上，，，四个点中，表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练5-2 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． ▌对点练5-3在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来： ，，，，，， 题型六 利用数轴求两点之间的距离 ▌例6 已知数轴上、两点分别表示的数为和5，则、两点间的距离为（    ） A． B． C．2 D．8 解题贴士 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. ▌对点练6-1 在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 ▌对点练6-2 已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 ▌对点练6-3已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数 ▌例7 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 解题贴士 1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况. 2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度. ▌对点练7-1 （25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上到原点距离最大的点是（    ） A．点 B．点B C．点C D．点D ▌对点练7-2（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 ▌对点练7-3 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 题型八 数轴上点的平移问题 ▌例8（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 解题贴士 数轴上向右移动数字变大，向左移动数字变小；设移动步数 / 时间，写出移动后点对应的数，再对照题意列式计算。 ▌对点练8-1如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 ▌对点练8-2 为数轴上表示的点，将点沿数轴移动5个单位长度到点，点所表示的数为______________． ▌对点练8-3 （25-26七年级上·广东广州·阶段检测）画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 题型九 数轴上找原点 ▌例9 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 解题贴士 先看已知两个点之间有多少格、相差多少数，从已知点往回数格子，数到对应数字 0 的位置就是原点。 ▌对点练9-1 （2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 ▌对点练9-2 （25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． ▌对点练9-3 （25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： . (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 题型十 数轴上整点覆盖问题 ▌例10 （25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 在数轴上画出线段，一格一格数线上落在刻度整数上的点；线段两头刚好对准整数，整点数量 = 总格数 + 1，没对准就直接数总格数。 ▌对点练10-1 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知数轴上的部分点被墨迹遮盖了，则被遮盖住的点中表示整数的点有_______ 个． ▌对点练10-2 （24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． ▌对点练10-3（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 题型十一 数轴上的规律探究问题 ▌例11 （25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 解题贴士 在数轴上依次标出前几个点对应的数字，观察数字增减、重复循环的特点，按规律往后数得到目标点的数。 ▌对点练11-1 （25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A ▌对点练11-2 （24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练11-3（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 基础通关 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）下列各图表示的数轴，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 5． 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 素养提升 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上用序号标注了四段范围，若某段范围内有两个整数，则这段范围是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 9．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有_____个． 迁移创新 11．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 12．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 13．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 14．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 15．如图，数轴的单位长度为1，点A表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示什么数？ 16．（23-24七年级上·浙江金华·期末）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合．则 （1）数轴上数8对应的点与数_______对应的点重合； （2）若数轴上两点A，B（点A在B的左侧），折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，则点A表示的数为_______． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $