广东省中山市第一中学2025-2026学年九年级上学期数学9月月考试题

2025-2026学年广东省中山市第一中学初三上数学9月月考 一、选择题 1.等于（    ） A．±2 B．-2 C．2 D．6 2.在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝120°，那么∠A等于（ ） A．20° B．40° C．60° D．70° 3.校运会100米短跑项目预赛中，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小军已经知道自己的成绩，他想确定自己是否进入决赛，需要知道这15名运动员成绩的（ ） A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数 4.一次函数y＝x+1的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 6.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式是（ ） A．y＝﹣3x+2 B．y＝3x+2 C．y＝﹣3x﹣2 D．y＝3x﹣2 7.如图，点E、F分别是△ABC的边AC、BC的中点，连接BE，过点A作AD∥BE，交FE的延长线于点D，若DE＝5，则EF的长为（ ） A．3 B．2 C． D． 8.如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端O和A，然后把中点M向上拉升8cm至N点，则橡皮筋被拉长了（ ） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 9.某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ） A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980 C． D． 10.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣4，0），四边形ABCD为正方形，若直线l：y＝kx+5与线段BC有交点，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11.要使在实数范围内有意义，则a的取值范围是     ． 12.关于x的一元二次方程﹣x2﹣mx+4＝0有一个根是﹣1，则m的值为     ． 13.甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s甲2＝0.8，s乙2＝0.4，则     选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 14.直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则关于x的方程ax+b＝0的解是 x＝     ． 15.如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF＝     ． 三、解答题（一） 16.完成下列计算 (1)计算：； (2)解方程：x2+4x﹣5＝0． 17.如图，在中，．  (1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 18.关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 四、解答题（二） 19.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过O作BD的垂直平分线，交AD、BC、于点M、N，连接BM、DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若矩形ABCD的边长AD＝16，AB＝8，求菱形BMDN的边长． 20.某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如表：（单位：分） (1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按5：3：2的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 21.“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元． (1)购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？ (2)今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？ 五、解答题（三） 22.如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线l1的解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 23.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． (1)初步感知 如图1，当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为     ；线段CQ与MQ的数量关系为     ，∠PBQ＝     度． (2)迁移探究 改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，请判断线段CQ与MQ的数量关系及∠PBQ的度数，并说明理由； (3)拓展应用 已知正方形纸片ABCD的边长为8，在以上探究中，当FQ＝2时，直接写出AP的长． 参考答案与试题解析 1.C 【解析】解：==2 2.C 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝120°， ∴∠A＝∠C＝60°， 故选：C． 3.D 【解析】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选：D． 4.D 【解析】解：由条件可知一次函数中y随x的增大而增大，且与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象经过第一象限、第二象限、第三象限， ∴图象不经过第四象限， 故选：D． 5.A 【解析】选项：矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等， 选项：符合题意． 选项：矩形和一般平行四边形的对边都相等， 选项不符合题意． 选项：矩形和一般平行四边形的对角都相等， 选项不符合题意． 选项：矩形和一般平行四边形的对角线都互相平分， 选项不符合题意． 故选． 6.A 【解析】解：根据如图所示的计算程序可得，y＝﹣3x+2， 故选：A． 7.D 【解析】解：∵点E、F分别是△ABC的边AC、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAB，EF∥AB， ∵AD∥BE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴AB＝DE＝5， ∴EF， 故选：D． 8.A 【解析】解：根据题意得：ON＝AN，OM＝AM，MN⊥OA， 则在Rt△OMN中，OMAO＝6cm，MN＝8cm； 根据勾股定理得：ON10（cm）； 所以ON+AN﹣AO＝2ON﹣AO＝20﹣12＝8（cm）； 即橡皮筋被拉长了8cm； 故选：A． 9.A 【解析】解：全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1980， 故选：A． 10.C 【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，点A（0，3），B（﹣4，0）， ∴C点坐标为（﹣7，4） 把B（﹣4，0）代入y＝kx+5得﹣4k+5＝0，解得k； 把C（﹣7，4）代入y＝kx+5得﹣7k+5＝4，解得k， 所以当直线y＝kx+5与线段BC有交点时，k的取值范围为k． 故选：C． 11.a≥﹣1 【解析】解：由题可知， a+1≥0， 解得a≥﹣1． 故答案为：a≥﹣1． 12.﹣3 【解析】解：把x＝﹣1代入﹣x2﹣mx+4＝0得﹣1+m+4＝0， 解得m＝﹣3， 即m的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 13.乙 【解析】解：∵s甲2＝0.8，s乙2＝0.4， ∴S乙2＜S甲2， ∴成绩最稳定的是乙． 故答案为：乙． 14.x=﹣3 【解析】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0）， ∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3， 故答案为：x＝﹣3． 15.见试题解答内容 【解析】解：连接AQ． ∵E、F分别是AP、QP的中点， 则EF为△APR的中位线， ∴EFAQ6.5， 故答案为：6.5． 16. 【解析】 16. (1)（1）； 【解析】解：（1）原式； (2) （2）x1＝﹣5，x2＝1． 【解析】（2）x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， ∴x+5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1． 17. (1)见解析 【解析】依题意作图如下，则DE即为所求作的高 (2)6- 【解析】 18. 【解析】 18. (1)（1）k＞2； 【解析】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k， ∵有两个不相等的实数， ∴﹣8+4k＞0， 解得：k＞2； (2)（2）k1＝3． 【解析】（2）∵方程的两个根为α，β， ∴αβ3﹣k， ∴k2＝3﹣k+3k， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）． 19. 【解析】 19. (1)见解析 【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴∠MDO＝∠NBO，∠DOM＝∠BNO， 在△MDO与△NBO中 ， ∴△MDO≌△NBO（ASA）； ∴MD＝NB， ∴四边形MDNB是平行四边形， ∵MN是BD的垂直平分线， ∴BM＝MD ∴四边形MDNB是菱形； (2)（2）10． 【解析】（2）解：由（1）可知DM＝BM 在Rt△ABM中，BM2＝AM2+AB2 ∴BM2＝（AD﹣DM）2+AB2 ∴BM2＝（AD﹣BM）2+AB2 ∵AD＝16，AB＝8 ∴BM2＝（16﹣BM）2+82 解得BM＝10， 所以菱形BMDN的边长为10． 20. 【解析】 20. (1)（1）甲被录用； 【解析】解：（1）甲的平均成绩为84（分）； 乙的平均成绩为82（分）， 因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩， 所以甲被录用； (2)（2）乙被录用． 【解析】（2）甲的加权平均数83.2（分） 乙的加权平均数84.8（分）， ∵84.8＞83.2， ∴乙的成绩比较好，所以乙被录用． 21. 【解析】 21. (1)（1）买一件A种器材需要20元，买一件B种器材各需要30元； 【解析】解：（1）设买一件A种器材需要a元，买一件B种器材各需要b元， 根据题意得：， 解得， 答：买一件A种器材需要20元，买一件B种器材各需要30元； (2)（2）购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元． 【解析】（2）设购买A种器材x件，则购买B种器材（40﹣x）件，购买两种器材花费y元， 根据题意得：y＝20x+30（40﹣x）＝﹣10x+1200， ∵A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍， ∴x≤3（40﹣x）， 解得x≤30， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝30时，y最小，最小值为900， 此时40﹣30＝10， 答：购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元． 22. 【解析】 22. (1)（1）； 【解析】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1， ∴C（1，3）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； (2)（2）或； 【解析】（2）设D（m，0），则，N（m，3m）， 如图2，当m＜1时，， ∵MN＝2， ∴， 解得：， ∴； 当m＞1时，， ∵MN＝2， ∴， 解得：， ∴D； 综上所述，点D的坐标为 (3)（3）存在；E或或（﹣1，0）或． 【解析】（3）存在．理由如下： 如图3，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0）， ∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3， 在Rt△ACH中，， 设E（x，0），则AE＝|x﹣3|， 当AE＝AC时，， 解得：或， ∴或； 当AC＝CE时， ∵CH⊥x轴，即CE⊥AE， ∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4， ∴E（﹣1，0）； 当EC＝EA时，（x﹣1）2+32＝（3﹣x）2， 解得：， ∴， 综上所述，点E的坐标为E或或（﹣1，0）或． 23. 【解析】 23. (1)（1）初步感知：等边三角形；CQ＝MQ，45； 【解析】解：（1）初步感知：当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为等边三角形；线段CQ与MQ的数量关系为CO＝MQ；∠PBQ＝45°； 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由翻折可知：AB＝MB， ∴BM＝BC， ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）， ∴CQ＝MQ； 由翻折可知：∠ABP＝∠MBP，∠QBC＝∠QBM， ∴， 故作案为：等边三角形；CQ＝MQ，45； (2)（2）迁移探究：线段CQ与MQ的数量关系为CQ＝MQ；∠PBQ＝45°；理由见解答过程； 【解析】（2）迁移探究：线段CQ与MQ的数量关系为CQ＝MQ；∠PBQ＝45°；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由翻折可知：AB＝MB， ∴BM＝BC， ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）， ∴CQ＝MQ； 由翻折可知：∠ABP＝∠MBP，∠QBC＝∠QBM， ∴； (3)（3）拓展应用：或． 【解析】（3）拓展应用当点Q在点F的下方时，如图2， ∵FQ＝2，DF＝FC＝4，AB＝8， ∴QC＝CD﹣DF﹣FQ＝8﹣4﹣2＝2， ∴DQ＝DF+Q＝4+2＝6， 由（2）可知，QM＝QC， 设AP＝PM＝x，PD＝8﹣x， ∴PD2+DQ2＝PQ2， ∴（8﹣x）2+62＝（x+2）2， 解得， ∴； 当点Q在点F的上方时，如图3， ∵FQ＝2，DF＝FC＝4，AB＝CD＝8， ∴QC＝6，DQ＝2， 由（2）可知，QM＝QC，设AP＝PM＝x， ∴PD＝8﹣x， ∴PD2+DQ2＝PQ2， ∴（8﹣x）2+22＝（x+6）2， 解得， ∴， 综上所述：或． 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $