专题03 图形的相似（知识&考点&公式&6高频&3易错&3重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03图形的相似 目录 思维导图 位识记类 知识清单(7类) 考点清单(4类) 公式清单(13类) 田题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单3类) 重难题型清单③类) 回答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 识记类 思维导图 位似图形、 位似图形的性质 2.5图形的位似 一相似图形 位似图形的画法。 相似多边形 平面直角坐标系中的位似 2.1图形的相似 相似比 利用影子测量物体高度 ·全等形与相似形的关系 利用镜子测量物体高度 2.4相似三角形与实际问题 图形的相似 平行线分线段成比例的基本事实 利用相似三角形测量不可直接到达的距离 三角形一边的平行线推论 相似三角形对应高的比 2.2怎样判定三角形相似 相似三角形判定定理1（两角分别相等） 相似三角形对应线段的此 相似三角形判定定理2（两边成批例且夹角 2.3相似三角形的性质 相似三角形面积的此 相荐) 相似三角形绸长的比 相似三角形判定定理3（三边成批例） 识记类 知识清单 1/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比， 2、四条线段成比例：对于四条线段ā，b,c，d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的 比相等如号气即ad=b0我们殖说这四条线段成比例 3、判断四条线段是否成比例的方法： 首先统一单位，并把四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后计算并判断计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值 一，则这四条线段成比例： (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积，则这 四条线段成比例 知识点02平行线分线段成比例 (1)平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若l3∥14∥15， AB DE BC EF 则BC=EF，ABDE' B AB DE BC EF AC=DF’AC=DF F15 (2)平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例， 知识点03相似图形与相似多边形 1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形与大小无关，只与形状有关。 2.相似多边形：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。若多边形ABCD与多边形A'B'CD相似，相似比为 AB BC CD-DA=k k,则A'BB'C'C'D一D'A' 4相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。 5.周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。即若相似比为k,则周长比为k,面积比为2。 2/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点04相似三角形的判定 判定方法1：两角对应相等，两三角形相似。(AA) 符号语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽aDEF。 判定方法2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。(SAS) AB AC 符号语言：在△ABC和△DEF中，若DEDF且∠A=∠D,则△ABCADEF。 判定方法3：三边对应成比例，两三角形相似。(SSS) AB BC AC 符号语言：在△ABC和△DEF中，若DE EF DF,则△ABCP△DEF。 判定方法4（预备定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角 形相似。 知识点05相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等. 如图，△ABC∽△AB'C',则有 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C (2)相似三角形的对应边成比例， 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 AB BC AC ABBC=AC=太(k为相似比). (3)相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比， (4)相似三角形周长比等于相似比. 3/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)相似三角形面积比等于相似比的平方. 知识点06相似三角形的实际应用 1.利用相似三角形测量物体的高度（如旗杆、建筑物）：构造相似三角形，利用对应边成比例列方程 求解。 2.利用相似三角形测量不可到达的距离（如河宽)：构造相似三角形，利用比例关系间接求解。 3.解题步骤：①审题，构造相似三角形；②设未知数：③列比例式：④解方程求解。 知识点07图形的位似 1.位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线所在直线都经过同一点， 那么这两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。 2.位似比：对应点到位似中心的距离之比等于位似比（也等于相似比)。 3.位似图形的性质： ①两个位似图形一定是相似形： ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点： ③对应边互相平行（或在同一直线）： ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4坐标系中的位似变换：以原点为位似中心，位似比为k,则点（化，）的对应点为(x,)或 (-kx,-ky) 识记类 考点清单 考点01相似三角形的判定 考点内容：相似三角形的判定方法 ①利用"两角对应相等"判定相似（最常用）； ②利用"两边对应成比例且夹角相等"判定相似： ③利用"三边对应成比例"判定相似： ④选择或补充条件使两个三角形相似（开放性试题）。 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02相似三角形的性质证明与计算 考点内容：利用相似三角形的性质的应用 ①利用相似比求线段长度： ②利用面积比等于相似比的平方求面积： ③证明线段成比例或角相等： ④相似三角形中的动点问题。 考点03位似变换与坐标 考点内容：利用图形位似的性质与作图 ①判断两个图形是否为位似图形，找位似中心： ②求位似图形的相似比（位似比）： ③在坐标系中求位似变换后对应点的坐标： ④画已知图形放大或缩小后的位似图形。 考点04相似三角形的实际应用 考点内容：在实际背景下抽象出几何图形，利用相似三角形的性质求解 ①测量物体高度（旗杆、建筑物、树高等）： ②测量不可到达的距离（河宽等）： ③利用影子长度求物体高度。 识记类 公式清单 5/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 内容 成比例线段 6-a →ad=bc a±b c土d 比例性质（合比） 6= b d a c a+c+·+m 比例性质（等比） b =k→ d n b+d+...+n AB DE 平行线分线段成比例 直线平行，截得对应线段成比例 BC EF 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 相似比 AB BC AB'B'C =…=k 判定(AA) ∠A=∠D,∠B=∠E→△ABC∽△DEF 判定(SAS) AB AC DE DF且∠A=∠D→△ABCP△DEF 判定(SSs) AB BC AC DE EF DF→△ABC∽△DEF 对应线段之比 么=m=d=k h mz d2 周长比 =k C2 面积比 S=2 S2 位似变换坐标 点(x,》）→(x,)或（x,-) 题型类 高频题型清单 6/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型一】利用平行线分线段成比例定理求解 【例1】(25-26九年级上河北邢台期中)如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB‖CD‖EF,若 BD=2DF,则AC=() A.CD B.2AB C.2CE D.2DF 变式1)2526九年级上四川眉山期中)如图，在△ABC中，DEAB,则，C 的值 CA 为() E B D 3 5 A. 5 B. 8 C. 38 D. 53 【变式1-2】(25-26九年级上河南南阳期中)如图，1‖l213,另两条直线分别交山1、12、13于点A、 B、C及点D、E、F,若AB=12,DE=10,EF=4,则线段BC的长为() A D 10 A.4.8 B. 3 c.7.5 D.30 7/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26九年级上·湖南娄底·期中)如图，ABCD‖EF,AF与BE相交于点G,若AD=3, BC DF=5,则 CE 的值是() D A B. 5 1-3 D. 25 【题型二】利用两角对应相等判定相似求解 【例1】(25-26九年级上，陕西榆林·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点 D,点E为CD的中点，连接BE并延长交AC于点F,且有BF=AF,过点F作FH⊥LAB于点H. A (1)求证：△BDE一△ADC: (2)若EF=3,求BE的长度. 【变式1-1】(25-26九年级上·江苏泰州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在 BA的延长线上，点F在边AC上，∠EDF=∠B. A D (1)求证：△BDE一△CFD: (2)若BE=15,CF=3,求BC的长. 8/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25九年级上湖南湘潭.阶段检测)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB, AD⊥DC,∠ACB=90. B (I)求证：△ADC一△ACB (2)若AD=4,AB=6,求AC的长. 【变式1-3】(24-25九年级上·四川内江·期中)在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，且 AE=3,CE交BD于R,BF=25cm· DE 2 B (I)求：△EDF一△CBF. (2)求DF的长 【题型三】选择或添加条件使两个三角形相似 【例1】(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，点D在△ABC的边AB上，添加下列一个条件不能判定 △ABC一△ACD的是() D A.∠ACB=∠ADC B.∠ACD=∠B C.AC"CD ABBC D.AC2=AD·AB 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26九年级上辽宁盘锦期中)在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1=90°，添加下列 条件不能判定两个三角形相似的是() A.∠B=∠B1 ABAC ABBC B.A BI AC C.AB:BiC1 D. ABAC BC1 ACI 【变式1-2】(25-26九年级上·安徽六安·期中)如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在AC的延长 线上，添加下列条件不能判定△ADE一△ACB的是() E 4. ADAC AE DE AE AB B. AB BC C.∠E=∠B D.∠ADE=∠ACB 【变式1-3】(25-26九年级上·湖南常德·期中)如图，在四边形ABCD中，ADBC,点F,E分别在线 段BC.AC上，且∠FAC=∠ADE,AC=AD (I)求证：△DAE≌△ACF: (2)请添加一个条件 ,使△ABF一△CDE,并写出证明过程. 【题型四】相似多边形的性质 【例1】(25-26九年级上·吉林长春期中)如图，△ABC是△以点O为位似中心经过位似变换得到的， 若位似比为2：3，△ABC的周长是6，则△就的周长是 10/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26九年级上山东济南·期中)如图，等边△ABC的边长为2，点D,B,C,E在同一直 线上，CE=4,∠BAD=∠E. B (I)求证：△ABD一△ECA: (2)求BD的长 【变式1-2】(25-26九年级上·全国·期中)如图点E是矩形ABCD中AD边上一点，连接CE,沿线段CE 翻折△CDE,点D的对应点F恰好落在AB边上. D (I)求证：△EAF一△FBC. (2)若FC=3EF,BF=12,求线段BC的长. 【变式1-3】(24-25九年级上·辽宁大连期中)如图，在平行四边形ABCD中，连接DB,F是边BC上一 点，连接DF并延长，交AB的延长线于E,且∠EDB=∠A. D B 11/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BDF一△BCD: (②)如果BD=35,BC=9,求CF的长. 【题型五】坐标系中的位似变换问题 【例1】(25-26九年级上山东聊城期中)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别 是A-2,2,B0,4,C4,4. 5 -5-4-3-2-1⊙12345x (1)以点O为位似中心，在x轴下方画出与△ABC位似的△A1BC1,使它与△ABC的相似比为1：2： (2)点Pa,b为△ABC内的一点，则点P在△A1B,C1内部的对应点P1的坐标为 (③)△ABC外接圆的圆心坐标为 一，外接圆的半径是· 【变式1-1】(25-26九年级上·陕西渭南·期中)如图，在平面直角坐标系中，△AB0与△ABO是以原 点O为位似中心的位似图形，且△ABO与△ABO的周长之比为3：1，若点A的坐标是-6,3，则点A 的对应点A的坐标是（） A.2,1 B.18,-9 c.18,9 D.2,-1 【变式1-2】(25-26九年级上·广东深圳期中)已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别 12/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为A0,3、B3,4、C2,2(正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度). (1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 (2)以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为 2:1,点C2的坐标是 (3)根据图形，△A1BC1与△A2BC2是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为 位 似比的值为 【变式1-3】(25-26九年级上·陕西渭南·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 A-1,-3,B-3,1,C-2,2. A 7 6 4 C 3 -2 - 4-32 10 12.3.4.567x 2 (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABC的位似△A1BC1,使得△ABC与△A1B,C1的相似比为 1:2(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1): (2)在(1)的条件下，请写出△ABC与△A1B,C1的面积比为 【题型六】相似三角形的实际应用 【例1】(25-26九年级上山西晋城期中)综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑， 13/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女， 一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处.站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶 部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳。 【测高】(1)如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处14m的地面上垂直放置一根标杆EF,然后 沿水平直线AE后退2至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处.经测量， 小明的眼睛距离地面的高度CD=1m,标杆EF=2m,求雕塑项部距离地面的高度AB. 【应用】(2)如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，己知哥哥身 高MN=1.7m,此时相机镜头距离地面的高度GH=1m.然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点 M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，己知小明身高MP=1.6m,求此时相机镜头距离地面的高 度GQ(精确到0.1m). 图1 图2 图3 【变式1-1】(25-26九年级上·陕西咸阳·期中)某班进行了一次数学实践活动，设计了以下两种方案测量 校园围墙的高度. 方案一：如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿AC斜靠在墙AB上，量出距竹竿C点1米的D点(CD=1 米)离地面的高度DE为0.6米，已知点C、D、A在同一条直线上，DE⊥CB,AB⊥CB: 方案二：如图2，小聪组用平面镜来测量围墙的高度.在点D处放一水平的平面镜（大小忽略不计），小 聪沿BD方向移动，当移动到点C时，他蹲下时刚好在平面镜内看到围墙顶端A的像，已知点C、D、B在 同一条直线上，EC⊥BC,AB⊥BC,测得CE=0.6米，CD=1.2米，DB=3.6米，请你选择上述两种方 案中的一种，计算围墙的高度AB 你选择的是方案 D 图1 图2 14/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(25-26九年级上·湖南常德·期中)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进 行测量活动， 活动主题 探究晒衣架的相关问题 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图， 立杆AB,CD相交于点O,B、D两点置于地面上.现将晒衣架 完全张开，根据三角形的稳定性，扣链EF成一条直线起稳固作 用，且EF‖BD 模型抽象 活动过 程 B GD 过点O作OG⊥BD于点G,交EF于点H,经测量与比对，有 数据信息 OC=80cm,OD=120cm, OB=3 20E=EB. OA_2 OH=24 cm. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接AC,求证：AC‖BD: (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到126Cm,则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明. 【变式1-3】(25-26九年级上广西桂林·期中)校园景观规划项目 【项目背景】学校打算对校园内的一块三角形空地ABC进行景观改造，计划在这块空地上设置平行四边形 形状的休闲区域，剩余部分用于种植花卉.已知草坪的一边BC的长度是平行四边形的边DE的长度的4倍. 现在需要根据已知条件，计算相关的长度和面积，为景观改造的材料采购和施工规划提供依据。 【项目任务】 15/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务一：确定休闲区域顶点位置 若草坪的边AB长8米，为确定D点在AB上的位置，请计算AD的长度. 任务二：计算栅栏的长度 学校打算在空地△ABC外围的边上和各区域隔离带上围上栅栏，以便在栅栏上安装装饰品，美化花圃和 休闲区域.在任务一的条件下，若隔离带DE的长度是4米，AE的长度是3米，那么学校需准备多长的栅 栏？ 任务三：计算休闲区域面积 若规划中△ADE区域的花卉种植面积确定为2平方米，请计算平行四边形BFED休闲区域的面积，以便采 购相应的绿植. 【项目要求】 请同学们运用已学过的知识，依次完成以上三个任务 题型类 高频题型清单 【题型一】相似三角形的对应边找错 【例1】(25-26九年级上福建三明期中)如图，在△ABC和△ADE中， AB_BC_AC ,BC与AD AD DE AE 交于F,连接BD、CE,当B、C、E三点共线时，下列选项中不一定相似的是() A.△ABC与△ADE B.△ABD与△ACE C.△ABF与△EDF D.△BFD与△BDE 易错警示：在判定相似时，没有按"对应"关系写比例式，导致搭配错误。 纠正：先确定对应顶点，再写对应边的比。大边对大边，小边对小边。 【变式1-1】(25-26九年级上广西贵港期中)如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的 16/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点HDEC若沿-分 DE的值是(） B D A. B. C. D. 1-2 【变式1-2】(25-26九年级上·江苏无锡·期中)如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下 条件不能证明△ADE与△ABC相似的是() D A.DE‖BC B.∠ADE=∠C C.AE=AD D.DE=AD AB AC BC AC 【变式1-3】(25-26九年级上·陕西榆林期中)如图，D是△ABC的边AB上一点，添加下列一个条件， 仍不能判定△ABC一△ACD的是() D A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD·AB D. AC_DC CD BC 【题型二】SAS判定中两边及夹角条件遗漏 17/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例1】(25-26九年级上贵州铜仁·期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的 点，且AB=3DB,BC=3EC,CF=号1，则图中的相似三角形有() D B A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 易错警示：只验证"两边成比例"，忘记验证"夹角相等"就判定相似。 纠正：使用SAS判定法时，必须同时验证"两边对应成比例"和"夹角相等"两个条件。 【变式1-1】(25-26九年级上·山东聊城阶段检测)如图，∠B=90°，AB=BC=CD=DE,那么下列 结论正确的是() A.∠1+∠2+∠3=125 B.△ABD~△EBA C.△ACD一△ECA D.以上结论都对 【变式1-2】(25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测)在△ABC和△乙中，∠A=∠D,根据下列条件， 不能判定△ABC和△就相似的是() AB AC A.DEDF B. AB BC DE EF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 【变式1-3】(24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测)如图，己知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定△ABC一△ADE的是() 18/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. AB_AC AB_BC A.∠B=∠D C.∠C=∠AED D. AD AE AD DE 【题型三】位似变换解答问题时漏解 【例1】（25-26九年级上·河北衡水期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点A-2,4,B-6,-2, 以原点O为位似中心，位似比为2，把△ABO扩大，则点A的对应点A的坐标是() A(-2,4) B(-6,-2) A.-4,8 B.-12,-4 C.-12,-4或12,4D.-4,8或4，-8 易错警示：在坐标系中求位似变换后的坐标时，只写了一种情况(，)），遗漏了（一，一）。 纠正：位似中心在两个图形之间时，对应点坐标取负值，两种情况都要考虑。 【变式1-1】(25-26九年级上·浙江金华期中)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形0ABC 与正方形DEFG关于点P位似.若点B、E、G的坐标分别为2,2、-1,1、-2,0，则点P的坐标为 () A.-3,0 B.-4,0 D 22-4,0 33 【变式1-2】(25-26九年级上·河北邯郸·期末)以原点O为位似中心，将△4BC放大为原来的2倍，若点 A坐标为(1,2)，则对应点A的坐标为() A.（2,4)或-2，-4】 B.（1,2)或(-1，-2)C.(2,4)D.（-2,-4) 19/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26九年级上·山东聊城期中)以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△ABC, △ABC与△ABC的相似比为1：3若点C的坐标为2,3 则点c的坐标为(） B层子1e6 D.6,9或-6，-9 题型类 重难题型清单 【题型一】相似三角形与动点问题 【例1】(24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测)如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米， ∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米 /秒的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，若以点P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似，则 点P运动的时间为() 8cm B 6cm 18 A. 12 11 B.2 c. 号 D. 【变式1-1】(2023四川巴中.一模)如图，AB=4,射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点， 点E在射线BM上，且2BE=DB,作EF⊥DE,并截取EF= 3DE,连接AF并延长交射线BM于点C, 设BE=x,BC=y,则() 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 16x A.y= 8-x B.y=2x X-1 c.y-8 D.y=x-14 12x 【变式1-2】(2022江苏无锡·三模)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O0,0, A12,0,B8,6,C0,6.动点P从点0出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点 Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.作AG⊥PQ于点G,则运动过程 中，AG的最大值为() B P A x A.18G 5 B.3V5 36 C. D.8 【变式1-3】(2021广东深圳一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5am,0sB=4. 动点D从点 A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速 度移动.已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒.连接BD.下列结论正确的有()个 A 21/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①BC=4: ②当AD=AB时，tan∠ABD=2; ③以点B为圆心、BE为半径画⊙B,当t=25时，DE与⊙B相切： 13 ④当∠CBD=∠ADE时，t=25 11 A.1 B.2 C.3 D.4 【题型二】四边形背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】(25-26九年级上·福建漳州·期中)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点P 是BC延长线上一点且BC=CP,AP交BD于点E,交CD于点H,OP交CD于点F.以下结论：① AC=DP,@EFDP,③CF=4CD,@若AB=1,则OF= .正确的有() D A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 【变式1-1】(25-26九年级上·广东深圳期中)如图，正方形ABCD中，AB=2V5,点N为AD边上一点， 连接BN,过点P作AP⊥BN于点P,点M为AB边上一点，且∠PMA=∠PCB,连接CM.下列结论： (1)△PAM一△PBC;(2)PM⊥PC;(3)若点N为AD中点，则SAPCN=2;(4)AN=AM.正 确的个数有() D M B A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 22/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25九年级下·重庆·期中)如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE:EC=1:2, 连接AE,将AB沿AE折叠至正方形内部，得到线段AF,延长AF交BC于点G,延长EF交DC于点H, 若AB=6,连接CF,DF,则DF的长为() G A.125 B.215 c.123 213 5 5 3 D. 3 【变式1-3】(2425九年级下江苏无锡期中)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点. 连接AF,DE交于点H.连接BH,CH,BH的延长线交AD于点M.下列结论正确的是() ①AF⊥DE②CH=CD③BH平分∠EHF④HE:HA:HF:HD=1:2:3:4. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【题型三】图形动态变化背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】(18-19九年级上·山东青岛·期末)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在 AB边上的E处，EQ与BC相交于点F,若AD=8,AE=4,AB=6,则△EBF周长的大小为() D A.8 B.10 C.12 D.6 23/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(2425九年级上，安徽滁州·期中)如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B 的对称点E落在边CD上，点A的对称点为F,EF交AD于点G,连接BG交PQ于点H,连接BE,下列四 个结论中：①△PFG一△QCE;②若BQ:CQ=5:4,则△PFG的面积为3；③EG2-BH=GH.其 中正确的结论是() 4 P A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【变式1-2】(23-24九年级上·福建三明期中)如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使 点C与AB延长线上的点Q重合.DE交BC于点F,交AB延长线于点E.DQ交BC于点P,DM⊥AB于点 M,AM=4,则下列结论：①QE=5,②BQ=3,®BP5,@△EFQ-△EDB.正确的是() D MB E A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①②③④ 【变式1-3】(2022吉林长春.二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA,OB分别在y轴 4F是BC边上一点，过点F的反比例函数y= 3 k 和x轴上，己知对角线OC=5,tan∠BOC= (k>0）的图象与AC边交于点E,若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值 为() 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F X B A.2 B. 5 C.3 D. 君 答题类 解题模型清单 【模型一】A字型模型 模型特征：在△ABC中，DE‖川BC(D在AB上，E在AC上)，形成"A字"形。 AD AE DE 核心结论：△ADE~aABC,AB AC BC。 A D B 【模型二】8字型模型 模型特征：两组对应边分别延长交于一点，形成"8字"形（也称X型）。 OA OB AB 核心结论：若AB‖CD,则△AOB~△COD,OC OD CD。 适用场景：涉及交叉线段比例的计算。 . 25/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 【模型三】母子型（反A字)模型 模型特征：△ABC中，D在AB上，满足∠ACD=∠B,则△ACD~△ABC。 核心结论：AC2=AD·AB(射影定理的推广形式)。 适用场景：证明线段乘积关系、求线段长度。 D 【模型四】一线三等角模型 模型特征：在直线l上依次有三点B、D、C,∠I=∠2=∠3，则△ABD~△DCE。 核心结论：利用三个相等的角构造相似三角形，建立线段比例关系。 适用场景：压轴题中常见的相似模型，涉及角度相等条件的转化。 E 【模型五】旋转相似模型 模型特征：△ABC∽aDEC共顶点， 核心结论：旋转前后对应边成比例，对应角相等。常结合"共顶点+等角"条件使用。 适用场景：压轴题中的综合几何问题，常与全等、旋转联合考查。 26/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 【模型六】射影定理模型 模型特征：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB于D。 核心结论：OCD=AD·BD:②AC2=AD·AB:③BC2=BD·AB。 适用场景：直角三角形中求线段长度，证明线段乘积关系。 D B 答题类 答题技巧清单 技巧 一句话要点 ①判断四条线段成比例 先按长度排序，再检查前后两组的比值是否相等。 ②利用比例性质求值 遇等比常设公比为k,用代换法把多个量统一表示。 ③平行线分线段成比例 找平行线和对应线段，列比例式时上下、左右关系要对 应。 先找两角分别相等(AA),这是最常用、最优先的判定 ④识别相似三角形 方法。 ⑤利用相似求线段长 先证相似，再把未知边放在对应比例式中求解。 ⑥面积比与相似比换算 面积比等于相似比的平方；己知面积比求相似比要开 方。 ⑦对应高、中线、角平分 线 它们的比都等于相似比，注意必须是对应线段。 ⑧位似图形判断 对应顶点连线交于一点，且对应边平行或共线。 ⑨原点位似坐标变化 点(x,y)变为(kx,ky)或(-kx,-ky),注意两种符号 情况。 把实际问题抽象成相似三角形，利用影长、高度、距离 ⑩相似实际测量 列比例。 27/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 看到平行线想A字型、8字型；看到直角想母子型、 ①几何综合题模型识别 线三垂直。 ②压轴题推理顺序 先找相似，再写比例式，最后结合方程、函数计算。 28/28 专题03 图形的相似 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(4类) 公式清单(13类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值 ，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积 ，则这四条线段成比例. 知识点02 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： （2）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 知识点03 相似图形与相似多边形 1. 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形与大小无关，只与形状有关。 2. 相似多边形：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。若多边形与多边形相似，相似比为，则。 4. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。 5. 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。即若相似比为，则周长比为，面积比为。 知识点04 相似三角形的判定 判定方法1：两角对应相等，两三角形相似。（AA） 符号语言：在和中，若，，则。 判定方法2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（SAS） 符号语言：在和中，若且，则。 判定方法3：三边对应成比例，两三角形相似。（SSS） 符号语言：在和中，若，则。 判定方法4（预备定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似。 知识点05 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． （2）相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． （3）相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比， （4）相似三角形周长比等于相似比． （5）相似三角形面积比等于相似比的平方． 知识点06 相似三角形的实际应用 1. 利用相似三角形测量物体的高度（如旗杆、建筑物）：构造相似三角形，利用对应边成比例列方程求解。 2. 利用相似三角形测量不可到达的距离（如河宽）：构造相似三角形，利用比例关系间接求解。 3. 解题步骤：①审题，构造相似三角形；②设未知数；③列比例式；④解方程求解。 知识点07 图形的位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线所在直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。 2. 位似比：对应点到位似中心的距离之比等于位似比（也等于相似比）。 3. 位似图形的性质： ①两个位似图形一定是相似形； ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； ③对应边互相平行（或在同一直线）； ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 4. 坐标系中的位似变换：以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点为或。 考点01 相似三角形的判定 考点内容：相似三角形的判定方法 常见考法： ①利用"两角对应相等"判定相似（最常用）； ②利用"两边对应成比例且夹角相等"判定相似； ③利用"三边对应成比例"判定相似； ④选择或补充条件使两个三角形相似（开放性试题）。 考点02 相似三角形的性质证明与计算 考点内容：利用相似三角形的性质的应用 常见考法： ①利用相似比求线段长度； ②利用面积比等于相似比的平方求面积； ③证明线段成比例或角相等； ④相似三角形中的动点问题。 考点03 位似变换与坐标 考点内容：利用图形位似的性质与作图 常见考法： ①判断两个图形是否为位似图形，找位似中心； ②求位似图形的相似比（位似比）； ③在坐标系中求位似变换后对应点的坐标； ④画已知图形放大或缩小后的位似图形。 考点04 相似三角形的实际应用 考点内容：在实际背景下抽象出几何图形，利用相似三角形的性质求解 常见考法： ①测量物体高度（旗杆、建筑物、树高等）； ②测量不可到达的距离（河宽等）； ③利用影子长度求物体高度。 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 相似比 判定（AA） ， 判定（SAS） 且 判定（SSS） 对应线段之比 周长比 面积比 位似变换坐标 点 或 【题型一】利用平行线分线段成比例定理求解 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线等分定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并结合线段比例关系推导是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例，推导所求线段的比例． 【详解】解：， ， ， 设，，则， ， ． 故答案为：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，利用平行线分线段成比例定理得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选B． 【题型二】利用两角对应相等判定相似求解 【例1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)6 【分析】（1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，据此即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，再结合D是的中点可得，进而完成解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，可知，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·四川内江·期中）在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1) ∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：略． （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 【题型三】选择或添加条件使两个三角形相似 【例1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；     C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意； B、根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意； C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：， 故C不符合题意； D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意； B、，不能证明，符合题意； C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 【题型四】相似多边形的性质 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若位似比为，的周长是6，则的周长是_____． 【答案】9 【分析】本题考查位似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似比等于相似比，而相似图形的周长比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：是以点为位似中心经过位似变换得到的，位似比为， 则相似比为， ∵的周长是6， ∴的周长为． 故答案为：9． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点，，，在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，所以，又，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由（）得，， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)9 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）首先利用折叠的性质得到，然后利用解直角三角形的性质可以证明，接着利用相似三角形的判定方法即可求解； （2）首先利用（1）中结论证明，然后利用已知条件求得，，然后设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 根据折叠得， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型五】坐标系中的位似变换问题 【例1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点O为位似中心，在x轴下方画出与位似的，使它与的相似比为； (2)点为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为_______； (3)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)， 【分析】本题主要考查位似、勾股定理及三角形外接圆，熟练掌握位似、勾股定理及三角形外接圆是解题的关键； （1）根据位似变换的性质作图； （2）根据与的相似比为即可求解； （3）分别作，的垂直平分线相交于点D，则点D即为所求，写出点D的坐标，连接，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示， 点D即为的圆心，坐标为，外接圆的半径； 故答案为：，． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且在位似中心的异侧的两个位似图形，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点的坐标． 本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是 ∴点的坐标为，即， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： (3)根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 【答案】(1) 如图：即为所求， (2) 如图：即为所画，点的坐标为． (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换（平移、位似），解题的关键是掌握平移的坐标变化规律和位似图形的性质． （1）根据平移的坐标变化规律，确定点的坐标； （2）以点为位似中心，按位似比缩放得到，确定的坐标； （3）根据位似图形的对应点连线交点确定位似中心，并计算位似比． 【详解】（1） 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧作的位似，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)在（1）的条件下，请写出与的面积比为________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．若位似中心是原点,相似比为,则位似图形对应点的坐标比等于或,即原图形上点的对应点坐标为或. （1）根据位似图形的性质结合相似比为得到为，得出点A、B、C的对应点的坐标，再依次连接即可； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【题型六】相似三角形的实际应用 【例1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为；[应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）某班进行了一次数学实践活动，设计了以下两种方案测量校园围墙的高度． 方案一：如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿C点1米的D点（米）离地面的高度为米，已知点C、D、A在同一条直线上，； 方案二：如图2，小聪组用平面镜来测量围墙的高度．在点D处放一水平的平面镜（大小忽略不计），小聪沿方向移动，当移动到点C时，他蹲下时刚好在平面镜内看到围墙顶端A的像，已知点C、D、B在同一条直线上，，测得米，米，米，请你选择上述两种方案中的一种，计算围墙的高度． 你选择的是方案_________． 【答案】一（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：当选择方案一时： ， ， ， ， ， ， ∴墙的垂直高度为米； 故答案为：一； 或当选择方案二时： ，， ， ， ， ， ， ， ∴墙的垂直高度为米． 故答案为：二． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】（25-26九年级上·广西桂林·期中）校园景观规划项目 【项目背景】学校打算对校园内的一块三角形空地进行景观改造，计划在这块空地上设置平行四边形形状的休闲区域，剩余部分用于种植花卉．已知草坪的一边的长度是平行四边形的边的长度的4倍．现在需要根据已知条件，计算相关的长度和面积，为景观改造的材料采购和施工规划提供依据． 【项目任务】 任务一：确定休闲区域顶点位置 若草坪的边长8米，为确定点在上的位置，请计算的长度． 任务二：计算栅栏的长度 学校打算在空地外围的边上和各区域隔离带上围上栅栏，以便在栅栏上安装装饰品，美化花圃和休闲区域．在任务一的条件下，若隔离带的长度是4米，的长度是3米，那么学校需准备多长的栅栏？ 任务三：计算休闲区域面积 若规划中区域的花卉种植面积确定为2平方米，请计算平行四边形休闲区域的面积，以便采购相应的绿植． 【项目要求】 请同学们运用已学过的知识，依次完成以上三个任务． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 任务一：证明即可求解； 任务二：由平行四边形可得，由求出，最后根据栅栏长求解即可； 任务三：先由，根据面积比等于相似比的平方求出，再证明，根据面积比等于相似比的平方求出，最后由求解． 【详解】解：任务一：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 任务二：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， 由上知， ∴， ∴ ∴， ∴栅栏长为：； 任务三：由上知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型一】相似三角形的对应边找错 【例1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在和中，，与交于，连接、，当、、三点共线时，下列选项中不一定相似的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 条件不足，无法得到与相似， 综上，只有选项D符合题意； 故选D． 易错警示：在判定相似时，没有按"对应"关系写比例式，导致搭配错误。 纠正：先确定对应顶点，再写对应边的比。大边对大边，小边对小边。 【变式1-1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，已知，分别是边上的点，且．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 先根据平行得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴∽，故该选项不合题意； B、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； C、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； D、∵，而与不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意． 故选：D ． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，D是的边上一点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意； D．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意． 故选：D． 【题型二】SAS判定中两边及夹角条件遗漏 【例1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 易错警示：只验证"两边成比例"，忘记验证"夹角相等"就判定相似。 纠正：使用SAS判定法时，必须同时验证"两边对应成比例"和"夹角相等"两个条件。 【变式1-1】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 【题型三】位似变换解答问题时漏解 【例1】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为2，把扩大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．熟练掌握位似变换的性质是解题关键．根据位似的性质，将点的横纵坐标均乘以2或即可求解． 【详解】解：∵点，，以原点为位似中心，位似比为2，把扩大， ∴点的对应点的坐标为或，即为或． 故选：D． 易错警示：在坐标系中求位似变换后的坐标时，只写了一种情况，遗漏了。 纠正：位似中心在两个图形之间时，对应点坐标取负值，两种情况都要考虑。 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形与正方形关于点P位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，正方形的性质，掌握两个位似图形不仅是相似图形而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）是解题的关键． 先根据正方形的性质得到，，，当A点与F点对应，B点与G点对应，C点和D点对应，O点与E点对应，如图1，过P点作轴于H点，根据位似的性质得到，再证明，得到，则可计算出，，所以，从而得到P点坐标；当A点与D点对应，B点与E点对应，C点和F点对应，O点与G点对应，如图2，再证明，得到，所以，然后求出得到P点坐标，即可得出答案． 【详解】解：正方形，正方形，点B、E、G的坐标分别为、、， ，，， 当A点与F点对应，B点与G点对应，C点和D点对应，O点与E点对应， 如图1，过P点作轴于H点， 正方形与正方形关于点P位似． ， ， ， ， ，即， ，， ， 点坐标为； 如图2，当A点与D点对应，B点与E点对应，C点和F点对应，O点与G点对应， 正方形与正方形关于点P位似，， ， ，即， ， 解得， 点坐标为 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足： 或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东聊城·期中）以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系与位似图形；根据以原点为位似中心，位似比为k时，位似图形对应点的坐标的比为k或．据此计算即可． 【详解】解：∵相似比为，位似中心为原点O，点C的坐标为， ∴点的坐标为即或即， ∴点的坐标为或， 故选：D． 【题型一】相似三角形与动点问题 【例1】（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 【变式1-1】（2023·四川巴中·一模）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 【变式1-2】（2022·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值． 【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图． 设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t， ∵B、C的纵坐标相同， ∴BC∥OA， ∴△BFQ∽△OFP， ∴， ∴PQ恒过定点F． ∵FH∥BC， ∴△OFH∽△OBC， ∴， 即， ∴， ∴． ∴由勾股定理得：． ∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ， ∴AG≤AF， ∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键． 【变式1-3】（2021·广东深圳·一模）如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个 ①； ②当时，； ③以点为圆心、为半径画，当时，与相切； ④当时，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④ 【详解】解：在中，． ， 故①正确； 作AG⊥BD于G， 在Rt△ABC中，， ∵AD=AB=5，AG⊥BD ∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG， 在Rt△DCB中，， ∴DG=BG=， 在Rt△BGA中，， ∴， 故②当时，正确； AD=t，BE=2t，cosA=， 当时，，， ∴， ∵， ∴cosA=，∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴∠DEB=90°， ∴与相切， 故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确； 过E作EH⊥AC于H， 当时， ∵∠EHD=∠DCB=90°， ∴△EHD∽△DCB， ∴， ∵AE=5-2t， ∴AH=，EH=，，， ∴， 整理得， 因式分解得， ∴或（舍去）， 故④当时，正确； 正确的结论有4个． 故选择D． 【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键． 【题型二】四边形背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是延长线上一点且，交于点，交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断①；作交于Q，证明和，利用相似三角形的性质得到，进而证明得到，利用平行线的判定可判断②；证明得到＝＝，结合可判断③；利用勾股定理求得，再结合可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故①正确； 如图，作交于Q， ∴，， ∴，， ∴， ∴点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键，根据正方形的性质和垂直的性质找到角之间的关系，根据角之间的关系判断三角形相似，再根据相似三角形的性质找边、角之间的关系． 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）， ， ， ， 故（2）正确； （3）如下图所示，过点作，分别交、于、点， 为的中点，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故（3）正确； （4）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故（4）正确； 综上所述，正确的个数有个． 故选：B ． 【变式1-2】（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，点是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点，延长交于点，若，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 过点作交于点，连接，先证明，得到，设，则，，求出，得到，，，证明，求出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接， 在正方形中，，， 由折叠的性质得，，， ，， ， ， ， ， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点．连接交于点H．连接，的延长线交于点M．下列结论正确的是（   ） ①   ②   ③平分 ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】证明，得出，求出，即可判断此项正确； ②取的中点G，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，，说明，证明垂直平分，即可判断此项正确； ③连接，证明B、E、H、F四点共圆，得出，，即可得出，判定此项正确； ④设，则，证明，得出，求出，，，，即可判断此项正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②取的中点G，连接，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故②正确； ③连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴B、E、H、F四点共圆， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ④设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴，故④正确． 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【题型三】图形动态变化背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】（18-19九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角相等可得出，从而得出，根据相似三角形的周长比等于对应边的比即可求出结论． 【详解】解：设，则， 在中，， ，即， 解得． ， ． 又， ， ． ， ． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，将边长为9的正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②若，则的面积为3；③．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由折叠可得： ，再证明，即可得出结论，可判定①正确；先求出的长，进而求出的长，再证明求出的长，进而求出的长，再利用三角形面积计算公式即可判断②；过点B作于，连接，证明，，推出，进而证明，再由勾股定理即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②错误； 过点B作于，连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ， 由折叠可得：，平分， ∴，． ，， ∴ ∴ ，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【变式1-2】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确； 根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确； 由得 ，求出即可判断③正确；根据 即可判断④错误. 【详解】由折叠性质可知: , ∵, ∴. ∴. ∴.故①正确; ∵, ∴. ∵, ∴.故②正确; ∵, ∴. ∵, 故③正确； ∵, ∴. ， ， ， ， 与 不相似.故④错误； 故选: ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键. 【变式1-3】（2022·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线， ．F是边上一点，过点F的反比例函数 的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值． 【详解】解：作交OB于点G， ∵矩形的对角线．． ∴，，即， ∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上， ∴，， ∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 又∵， 即，解得：． 故选：D． 【模型一】A字型模型 模型特征：在中，（在上，在上），形成"A字"形。 核心结论：，。 【模型二】8字型模型 模型特征：两组对应边分别延长交于一点，形成"8字"形（也称X型）。 核心结论：若，则，。 适用场景：涉及交叉线段比例的计算。 【模型三】母子型（反A字）模型 模型特征：中，在上，满足，则。 核心结论：（射影定理的推广形式）。 适用场景：证明线段乘积关系、求线段长度。 【模型四】一线三等角模型 模型特征：在直线上依次有三点、、，，则。 核心结论：利用三个相等的角构造相似三角形，建立线段比例关系。 适用场景：压轴题中常见的相似模型，涉及角度相等条件的转化。 【模型五】旋转相似模型 模型特征：共顶点， 核心结论：旋转前后对应边成比例，对应角相等。常结合"共顶点+等角"条件使用。 适用场景：压轴题中的综合几何问题，常与全等、旋转联合考查。 【模型六】射影定理模型 模型特征：在直角中，，于。 核心结论：①；②；③。 适用场景：直角三角形中求线段长度，证明线段乘积关系。 技巧 一句话要点 ①判断四条线段成比例 先按长度排序，再检查前后两组的比值是否相等。 ②利用比例性质求值 遇等比常设公比为 k，用代换法把多个量统一表示。 ③平行线分线段成比例 找平行线和对应线段，列比例式时上下、左右关系要对应。 ④识别相似三角形 先找两角分别相等（AA），这是最常用、最优先的判定方法。 ⑤利用相似求线段长 先证相似，再把未知边放在对应比例式中求解。 ⑥面积比与相似比换算 面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比要开方。 ⑦对应高、中线、角平分线 它们的比都等于相似比，注意必须是对应线段。 ⑧位似图形判断 对应顶点连线交于一点，且对应边平行或共线。 ⑨原点位似坐标变化 点 (x,y) 变为 (kx,ky) 或 (−kx,−ky)，注意两种符号情况。 ⑩相似实际测量 把实际问题抽象成相似三角形，利用影长、高度、距离列比例。 ⑪几何综合题模型识别 看到平行线想 A 字型、8 字型；看到直角想母子型、一线三垂直。 ⑫压轴题推理顺序 先找相似，再写比例式，最后结合方程、函数计算。 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