专题特训6 与相似有关的动点问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第22章图形的相似 专题特训六 与相似有关的动点问题 类型一求动点问题中线段的长 1.易错题如图，在△ABC中，AC=8,AB=6,点D与点A在直线BC同侧，且∠ACD=∠ABC, CD=3,E是线段BC延长线上的动，点，当△ABC与△DCE相似时，线段CE的长为 (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=4,P是边AB上一动点.若△APD与△BPC相似，则 AP的长为 类型二求运动时间 3.如图，在矩形ABCD中，BC=5cm,AB=12cm,点P从点C出发沿对角线AC以1cm/s的速 度向点A做匀速运动，点Q从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B做匀速运动.若假设运 动时间为ts,则当∠QPB=2∠CBP时，t的值为 ( 78 D A.2 B.25 c D 9 A (第3题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm.动点P从点B出发，在边BA上以 5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边CB上以4cm/s的速度向点B 匀速运动，运动时间为ts(0<t<2),连结PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值， (2)连结AQ、CP.若AQ⊥CP,求t的值. (第4题) 类型三确定符合条件的点的坐标 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点B, P(a,b)是这条直线上一点，且a、b(a<b)是方程x2一6x+8=0的两根，Q是x轴 上一动点，N是坐标平面内一点.若以P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好是矩 形，则下列坐标中，既不是点N的坐标也不是点Q坐标的是 () A.(6,0) (0) A /0 Q% (第5题) c() D.(6,-3) 65 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 6.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边三角形OAB的边OA在x轴上，C、↑ D、E分别是边AB、OB、OA上的动点，且满足BD=2AC,DE∥AB,连结CD、 CE.当点E的坐标为 时，△CDE与△ACE相似. OE A 类型四动点问题中的判断说理 (第6题) 7.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于 点F (1)求证：△PFA∽△ABE (2)连结PE,当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P、F、E为顶，点的 三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由. (第7题) 8.考向探究题如图，A、B两点的坐标分别为(40,0)和(0,30)，动点P从点A开始在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度向原，点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速 度向上平行运动（即EF∥x轴），并且分别交y轴、线段AB于点E、F,连结EP、FP.设动点P 与动直线EF同时出发，运动时间为ts. (1)当t=15时，求△PEF的面积 (2)动直线EF、动点P在运动过程中，是否存在这样的t值，使得△PEF的面积等于160？若 存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由， (3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似？ A (第8题) 66 “答案与解析”见P36△aa紧-紧，即号-需 CC'=65 5 7.(1)AC是正方形ABCD的对角线，.∠ABC=90°. 易得∠BAC=∠BCA=45°.由旋转的性质，知PA=PE, ∠APE=90°，，∴.∠PAE=∠PEA=45°.∴.∠APE= ∠ABC,∠PAE=∠BAC..△APEC∽△ABC.(2)在 Rt△ABC中，AB=CB,∴.AC=√2AB.由(1)，知△APE∽ △M,是-A船：∠BMC=∠PAE=, 点∠PAB=∠EAC÷△PAB∽△EAC..-A8 ,∠ABP-∠ACE.·∠BCE+∠CBM=∠BCE+ 2 ∠ABP+∠ABC=∠BCE+∠ACE+∠ABC=∠ACB+ ∠ABC=45°+90°=135°.∴.∠BMC=180°-（∠BCE+ ∠CBM)=45. 8.(1):∠B=90°，BC=3AB,∴.在Rt△ABC中，由勾 股定堪，得AC=VAB十ABF=而AB.瓷 设运动时间为1则C-而：6m,C-31em +受-零瓷祭：得-需：∠n ∠ACB,.△CDE∽△CBA. (2)能的值不变 .∠ECD=∠ACB,∴.∠ECD+∠DCA=∠ACB+ ∠CA,即∠CA=∠B.由I.可知焉-器 ∴需-器：△ACEACT.能- 专题特训六与相似有关的动点问题 1.?或4：∠ACD=∠ABC,∠ACE=∠ACD十 ∠DCE=∠A+∠ABC,∴.∠A=∠DCE.①当 △Mv△CD时，0品即是号CE= 9 @当AACn△CE时，部品即号-是GB 4综上所述，线段CE的长为或4 易错警示 相似三角形在没有明确对应关系时 忘记分类讨论而致错 求解用“与”等这类词表示两个三角形的相似关系 的问题，不要和用相似符号“”表示相似关系的问题混 淆，用相似符号“”表示的相似关系，对应关系已经明 确给出，只有一种情况：而用“与”等这类词表示的相似 关系，对应关系往往不具体，需要结合实际情况判断符 合题意的对应关系，并分类求解，否则容易因考虑问题 不全面而漏解」 2.2或5或8四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B= 90,BC=AD=4.设AP的长为x,AB=10,∴.PB= 10-①当AAPm△P时，部能，即是 子，解得x=2x,=8,经检验=2或8是分式方程的 AD AP 解，且符合题意.②当△APDn△BPC时，C-那，即 0二解得x=5,经检验，2=5是分式方程的解，且 4 符合题意.∴.当AP=2或5或8时，△APD与△BPC 相似. 3.B:四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD,∠ABC= 90°.在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=13cm.过点P 作PM⊥AB于点M,∴.PM∥BC.∴.∠CBP=∠BPM. ∠QPB=2∠CBP,∴.∠CBP=∠BPM=∠QPM.在 ∠QPM=∠BPM. △QPM和△BPM 中， PM=PM, ∠PMQ=∠PMB=90°， ∴.△QPM≌△BPM.∴.QM=BM.由题意，得BQ= (12-2t)cm,∴.BM=QM=(6-t)cm..AM=(6+ t)cm,AP=(13-t)cm..∠BAC=∠BAC,∠PMA= ∠C1=0.△APMn△RC-器即 -告器 78 4.(1)由题意，得BP=5tcm,CQ=4tcm,BQ=(8- 4t)cm.:'∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,∴.AB= √AC+BC=√62+8=10(cm).①当△BPQn △BAC时-股.：芳-8。，解得=1②当 △BPO△A时，既-器号-8。，解得1 器等上所述4的值为1或器（2过点P作PMLRC 于点M,设AQ、CP交于点N.易得∠CMP=90°，PB= 5t cm,PM=3t cm,BM=4t cm,MC=(8-4t)cm,CQ= 4tcm.:'AQ⊥CP,∠ACB=90°，∴.∠NAC+∠NCA= 90°，∠PCM+∠NCA=90°..∠NAC=∠PCM. :∠Acn-∠aMP-0△McQn△cRS 器8警：0<2-号 5.A如图，作BQ,⊥AP,交x轴于点Q,PQ2⊥AP,交 x轴于点Q2,作Q1N1⊥PQ2于点N1,Q2N2⊥BQ,交 BQ,延长线于点N2,则四边形BQ,N,P和四边形 BN2Q2P是矩形.设点Q,的坐标为(m,0).解方程x2 6x十8=0，得x1=2,x2=4,P(a,b)是这条直线上一 点，且a、b(ab)是方程x2一6x十8=0的两根，∴.点P 的坐标为(2,4).∴.将P(2,4)代人y=kx+1,得4=2k十 1,解得-号.“直线AP对应的函数表达式为y 2x+1当y=0时x=-号：当x=0时y=1. A(-号0）B0,10.0M=号，0B=1四边形 BQ,N,P和四边形BN2Q2P是矩形，∴.∠ABQ,=90°. .∠ABO+∠OBQ1=90°.：∠BQ,O+∠OBQ,=90°， ∴.∠BQ,O=∠ABO.又·∠AOB=∠BOQ,=90°， 2 :△M0△Q,0.器费即-日解得m 小点Q,的坐标为（侵0），设直线Q,对应的函数表 3 达式为y=1x十6，将B(0,1D.Q,(受0)代人，得 2+6,=0 2 解得 k=一3'：直线Q,对应的函数 b1=1, b1=1. 表达式为y=-号x十1.：PQ:/Q设直线PQ.对 2 应的函数表达式为y=一号r十6：，将P(2,4)代人，得 一号×2+6，=4解得6=号：宜线PQ对应的西数 16 表达式为y=-号+号当y=0时=8点Q的坐 标为(8,0).QN,∥Q2N2∥AP,同理，可得直线 QN,对应的西数表达式为y=2-?直线Q,N:对 9 应的函数表达式为y= 3 2x-12.联 {- 解 2,16 y=-3x+3 了3 、7 x= '点N的坐标为（经）联 y=2x-12, y=3. y=- 32+1, x=6, 解得 ∴点N2的坐标为(6，-3).∴既不是点N y=-3. 3 的坐标也不是点Q坐标的是(6,0). N Q2 (第5题) 6(侍，)或（号.o):DE/AB.∠DBC=∠ACE. △ODE△OBA.:△OAB是等边三角形，∴.△ODE是 等边三角形.∴.OD=OE=DE.设点E的坐标为(a,0), 则OE=OD=DE=a,BD=AE=4一a.分两种情况讨论： ①当△CDEn△EAC时，则∠DCE=∠AEC.∴.CD∥ AE.∴.四边形AEDC是平行四边形.∴.AC=DE=a. :BD=2AC4-a=2a.a=专满足题意.点E 的坐标为（号，0）.②当△CDEn△ABC时，则∠DCE= ∠EAC=60°=∠B.∴.∠BCD+∠ECA=180°-60°= 120°.又'∠BDC+∠BCD=180°-∠B=120°， ∠ACE=∠BC△BCn△ACE.8肥-E 2六C=2AE=24-a)=8-2a.:AC-BD=2-号， 2 AB=BC+AC=8=2a十2-2=4.·a=5,满足题 意“点E的坐标为（号0.综上所述，点E的坐标为 (侍o或（号 7.(1):四边形ABCD是正方形，∴.ADBC,∠ABE= 90°..∠PAF=∠AEB.PF⊥AE,.∠PFA=90° ∴.∠PFA=∠ABE.∴.△PFAn△ABE.(2)存在.若 △EFP△ABE,则∠PEF=∠EAB.∴.PE∥AB. ∴.易知四边形ABEP为矩形.∴.PA=BE.'E是边BC 的中点，EB=号C=2.x=2.若△PFE∽△ABE, 则∠PEF=∠AEB.∠PAF=∠AEB,∴.∠PEF= ∠PAF..PE=PA.:PF⊥AE,.F为AE的中点. AE-ABBE25EF-AE-5. :APEABE器需即器号E 5,即x=5.综上所述，x的值为2或5. 8.(1):EF∥OA,.∠BEF=∠BOA.又∠EBF= ∠OBA,△BEF∽△B0A.F-,当t=15时， OE=15.:点A的坐标为(40,0)，点B的坐标为(0,30)， .∴.OA=40,OB=30..∴.BE=OB-OE=15..EF= 2A-15X=201Sam=2ER·0E-号× BO 30 20×15=150.(2)不存在.理由：由题意，得OE=t,则 BE=30-t.△BEFC∽△BOA,.易得EF= BE·OA=(30-t)·4 1 BO 30 .又：SAPEF=160, (30-)）·40.f=160.整理，得t2-30t+240=0.:4= 30 (一30)2-4×1×240=-60<0，∴.方程没有实数根.∴.不存 在这样的t值，使得△PEF的面积等于160.(3)由题 意，得OP=40-2t.①当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽ △0A8贺-需即00-品解得1=12.@当 ∠Er0=∠AB0时.△B0nn△A0B.8器-8器，即 40-2t= 30 -0·解得1-曾缘上所注，当1=12或时， 160 △EOP与△BOA相似. 综合与实践3探索三角形的内接矩形的作法 (1)正确.理由：：EF⊥BC,GD⊥BC,∴.∠FED= ∠EDG=90°..·FG∥BC,,∴.∠EFG=180°-∠FED= 90°..四边形DEFG是矩形.，四边形HIJK是正方形， U=K.:易知UEr,K灯/Gr品-部 品GF=R.四边形DEFG为正方形，《2)如国 ①②所示，矩形DEFG即为所求作.(3)如图③，作 △ABC的高AM,交GF于点N..'△ABC的面积= IC AM-X12XAM-36.AM-6.DE- 2DG,∴.设AN=x,则DG=MN=6-x,DE=GF= 2(6-x)=12-2x.:GF∥BC,.△AGF△ABC. “震然2-言解得-80-6 12 x=3.∴.DE=2DG=6.∴.矩形DEFG的面积=6X3= 18,同理，在矩形DEFG中，若DG=2DE,可求出x-号 G-6-x-得，DE-号G-号矩形DEPG的 3 可积-得×号-器：矩形DFPG的面积为18或器 BHD E C B HD IE C B DM ① ② ③ 第22章拔尖自主测评 1.C两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， B(3,4)、A(6,8),∴.易得左、右两个符号“E”的相似比为 号：点C(10,)的对应点D的坐标是(10X子，4X 号），即D5,2》 2c:FC部甍：GAB,甍 竖…品恶 3.D'将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠C= ∠E.∴∠B=∠ADB.∴.∠ADE=∠ADB.∴DA平分 ∠BDE.∴.②符合题意.：'∠AFE=∠DFC,∠E=∠C, ∴.△AFEn△DFC.∴.①符合题意.∠BAC= ∠DAE,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. ∴.∠BAD=∠FAE.I△AFEC∽△DFC,.∠FAE= ∠FDC..∠BAD=∠CDF.∴.③符合题意.综上所述， 正确的有3个 4.C:AG平分∠BAD,∴.∠BAG=∠DAG.:四边 形ABCD是平行四边形，∴.ABCD,AB=CD,AD∥BC, AD=BC.∴.∠BAG=∠E..∠DAG=∠E.∴.AD= DE.AB:AD=2:3,.设AB=CD=2a,则AD= BC=DE=3a.∴.CE=a.:CG∥AD,∴.△ECGn △mA品-货-品=号=()= ED/ ∴.CG=a.∴.BG=2a.设S△=m,即S,=m,则 AF SAsn=9m.:AB/CD,△ABF∽△EDF.E SaD=9m,.Sane三号X9m18m,即S8m S2 m 5 58m 18