第22章 图形的相似高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

数学（华师版）九年级上 误，不符合题意.综上所述，正确的有0个 ⑤19设y=x-2025,则x-2024=y+1,x-2026= y-1.∴.(y+1)2+(y-1)2=40,整理，得2y2+2=40. .y2=19,即(x-2025)2=19. Om≥子且m≠2：关于x的一元二次方程(m 2)x2+(2m十1)x十m-2=0有实数根， m-2≠0， m≠2， 即 解得m≥ (2m+1)2一4(m-2)2≥0,4m-3≥0， 子且m≠2：m的取值范围是m≥且n≠2. ⑦49设S△A0n=x(x>0).由条件可知S△AoB: SAA0n=B0:OD=S△me:S△c0n,:'SAAOB=9,S△con= 169:z=56m:16.SAc=145a7话m S△0m+SAm十SAmc+SAAm=9+16+14+Z=25+ 14+.4+x≥2 144 ·x=24,.S四边无A0D≥ 25+24=49.∴.四边形ABCD面积的最小值为49. ⑧由题意，得|m-2-2且m2-2m≠0，解得m=4.∴.m 的值为4. t9, ⑨设移动时间为ts(t>0).由题意，得{ .0<t≤ 2t12, 6.(1)由题意，得PB=(9-t)cm,BQ=2tcm.2(9- t)×2t=18,整理，得t2-9t+18=0,解得t,=3,t2=6. ∴.出发3s或6s后，△PBQ的面积为18cm.(2)根据 题意，得(9-t)2+(2t)2=(√65)2，整理，得5t2-18t+ 16=0,解得，=4=2.出发s或2s后，线段PQ 的长为v√65cm.(3)不能.理由：假设能.根据题意，得 2(0-)×21=2,整理，得r-90十2=0，：4 (-9)2一4×1×22=一7<0，∴.该方程无实数根.∴.假设 不成立，即△PBQ的面积不能为22cm. ⑩(1)x2+17x十52=0是“立格方程”.理由：解x2+ 17x+52=0,得x1=-13,x2=一4，.-13<一40,3< 二只<4+17x+52-0是立格方程？、(2)向题 意，得x1+x2=-(3k-3)=3-3k,x1x2=k2-2. x1十x2-x1x2=-23,.3-3k-(k2-2)=-23.整 40 理，得k2+3k一28=0，解得k,=4,k2=一7.当k=4时，原 方程为x2十9x十14=0，解得x1=一7，x2=一2. :-7K-2×0,且3号<4+8x+14=0是立 格方程”.当k=一7时，原方程为x2一24x十47=0，此时 x1十x2=24>0,x1x2=47>0,不满足x1<x2<0,舍去. ∴.k的值为4.(3)x2+(1-m)x一m=0,∴.(x十1)· (x-m)=0..x+1=0或x-m=0..x1=-1,x2=m 或x,=m,x2=一1.一元二次方程x2+(1一m)x- m=0是“立格方程”，∴.m<0且m≠一1.分类讨论：①当 x1=-1,x2=m时，：x1<x2<0,.-1<m<0.3< 头<1-号<m<-子@当，=m=-1时， :x1<x2<0,m<-1<0.3<2<4,3<-m< .2 4“一4<m<-3.综上所述，m的取值范围是-3 n<-寻或-4长m<-3. 第22章 图形的相似 [高频考点突破] ①：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD= BC.△AFE∽△CFB. SAAFE- SACFB FC=13,令△匹=AF=1S△世》 三 CF )- 1 :△BFC的面积为9，SAAF=9 SACPH=1,SAMe= 3 SAcm=3.SAACD=SAAC=S△Rp十SAAFR=12. S四边无CEr=S△AcD一S△Ar=12-1=11. O④由旋转，得AD=DE.:∠BFD=∠AFE,当 ∠EAF=∠DBF时，EA∥BD,此时AD<AE,与条件不 符，∴.当△AFE与△DFB相似时，只有△AEFn△DBF. ∠AEF-∠AC能-票即部-E如因，连结 BE.∠BFE=∠DFA,∴.△DAFP△BEF.:'∠AEF= ∠ABC,AB=AC,AD=DE,∴.△ABC和△ADE是底角 相等的等腰三角形.∴.△ABCD△DAE.∴.∠ADE= ∠BAC.I'△DAF∽△BEF..∠ADE=∠ABE. ∴.∠BAC=∠ABE.∴.BEAC.AB=AC,AD⊥BC, ·∠BAD=∠CAD=2∠BAC,BD=CD.过点D作 DMAC,交AB于点M.∴.∠ADM=∠CAD,BE∥DM. :∠BAD=∠CAD,∴.∠MAD=∠ADM.∴.AM= DM,.易得AM=BM,.BD-B:B那∥DM, CD AM △En△儒-器：票-是熙 .EF 3.BF 是删-号微-号兴-号设M-a,则 AF=Ta,△BEFC∽△MDF,∴.∠BEF=∠MDF. △BEFP△DAF,∴.∠BEF=∠DAF..∠MDF= ∠DAF.又'∠MFD=∠DFA,∴.△FDMn△FAD. 贯器器D=M,AD=Ma, 品-照--四：Mc DM」 DM-FM 2 畏aC-m品平器平 (第2题) 3(1)点A(0,6)、B(8,0),.OA=6,OB=8.在 Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√OA?+OB= √62+8-10.由题意，得AP=t,BQ-2t,则AQ=10 2弘：AP=AQ1=10-2,解得1=号当1=号 时，AP=AQ.(2)∠A是公共角，∴.①当∠APQ= ∠0B时，△MQn△M0B.÷S-8即号 10解得：-器：@当∠AQP=∠A0B时，AAQP △408沿8即片=0.2，解得：=碧综上所 述，当：的值为器或时，△AQ与△A0B相似 ④(1)：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.:PQ⊥ AD,∴.PQ⊥EC.∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+ ∠PEB=90°，∴.∠ABQ=∠PEB.在△PBE和△QAB 中，：∠BEP=∠ABQ,∠BPE=∠AQB=90°， ∴.△PBEP△QAB.(2)△PBEn△BAE.:△PBE∽ 附：答案与解析 照：易知0-P器器即 △QAB,AB-QB PB PE BABE .又∠EPB=∠EBA=90°，.△PBEO △BAE.(3)等边三角形. 在△PBE和△QBH中， ∠PBE=∠QBH, BP=BQ, .△PBE≌△QBH.'.BE=BH. ∠BPE=∠BQH, :AB⊥EH,∴.AE=AH,∠EAB=∠HAB.∴.易知 1 ∠EAB=∠THAB=3X90°=30°，.∠EAH=60. ∴.△AEH是等边三角形. O538如图O,过点D作DT LAH于点T,过 34 25 点O作OK⊥BD于点K.:OB=OE=2.5cm,BE= 24什Q.8X2=4(em,BK=KE=号BE=2cm ∴.OK=√OB2-BK=√2.5-2=1.5(cm).'∠OBK= ∠DBT,∠OKB=∠BTD=90°，∴.△BKOn△BTD. 阶-品-祭15m=8em,Dm=&6cm ∴.AT=AB+BT=1.2+4.8=6(cm)..AD= VAT+DT=V6+a6=号(am.:易得Dr/ GH需铝GHT0-5 AD 34 cm.如图 ②，当支架调到F档时，过点D作DT⊥AH于点T,过点 O作OK⊥BD于点K..'OB=OF=2.5cm,BF=2.4+ 0.8X3-4.8(em)BK-KF-BF-2.4 amK- √OB2-BK=√2.5-2.4=0.7(cm).:∠OBK= ∠DBT,∠OKB=∠DTB=90°，.△BKO∽△BTD. :品侨DT-号cm:&6-号-袋cm点 D高水平面的苑离下降了莞m D H ① ② (第5题) 41第22章| 图形的相似 ]高频考点突破 考点一面积背景下的相似三角形 典例1如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，DE∥BC.若DE=6,BC=9, S△ADE=16. (1)求△ABC的面积 (2)连结BE、CD交于点F,求△DEF的 面积. (典例1图) 分析 (I)注意已知S△AE与目标S△Ac对应的 两个三角形有△ADE∽△ABC,根据相似三角 形的性质，即可求得△ABC的面积。 (2)依据△ADE∽△ABC,即可得出 AD DB =2,进而得到S6m呢=2S△E=8,再根据 1 △FDEO△FCB,即可得出S△DEr= 5S△mE. 解答：(1)DEBC, ∴.△ADE△ABC. SAADE DE ∴.S△4c=36,即△ABC的面积为36. (2).·△ADE∽△ABC, ∴.S△BDE= 2SAADE-8. DE//BC, ∴.△FDEp△FCB. 聚焦高频考点，各个击破 EF DE 2 .BF CB 3 ∴.S△DEF= 2×8=1 小结 已知A三角形面积求B三角形的面积，常 常有三条路径：一是如果A、B两个三角形是相 似三角形，则设法求出这两个三角形的相似比 (常常是对应边的比)；二是A、B两个三角形不 相似，但它们同底不等高（或同高不等底），则求 出不等高（不等底）的比；三是A、B两个三角形 不具备前面的两点，但它们与C三角形有联系， 则研究A与C(或B与C),重复前面的两条 路径 对应练习 1.如图，在□ABCD中，点E在边AD上， 连结BE交AC于点F,若AF:FC= 1:3,△BFC的面积为9，求四边形 CDEF的面积. (第1题) 15 数学（华师版）九年级上 考点二 等腰三角形背景下的相似 三角形 典例2如图①，△ABC≌△DEF,AB= AC=5,BC=EF=6,点E在边BC上运动 (不与端点重合)，边DE始终过点A,EF交 AC于点G,当△AEG是等腰三角形时， △AEG的面积是 D A B E C (典例2图①) 625 A.8或108 B.8 C. 625 D.6或07 .625 108 分析 从目标出发，根据图形分析，S△4G S△ABC-S△ABE一 S△，如何求出S△AE、 S△G是关键；从△AEG是等腰三角形分析，需 要固定腰和底边，势必要进行分类讨论；从图形 的形状、大小结合已知诸多线段的相等看，隐含 △ABE≌△ECG的论证过程（直觉思维）. 解答：，'△ABC≌△DEF,AB=AC=5, BC=EF=6,∴.∠AEF=∠B=∠C,且 ∠AGE>∠C.∴.∠AGE>∠AEF. ∴.AE≠AG..·∠AEF=∠B,∴.180° ∠AEB-∠AEF=180°-∠AEB-∠B, 即∠CEG=∠BAE..'边DE始终过点A, EF交AC于点G,∴.当△AEG是等腰三角 形，分两种情况讨论.①当AE=EG时，在 ∠B=∠C, △ABE和△ECG中，〈∠BAE=∠CEG, AE=EG, ∴.△ABE≌△ECG.∴.AB=E℃=5. 16 ∴.BE=BC一EC=6一5=1.如图②，过点 A作AM⊥BC于点M.AB=AC=5, BC=6,∴.BM=3.在Rt△ABM中，由勾 股定理，得AM=√AB2一BM2= 1 √5-3=4，.SABE=Scm=2X1X 4=2.S△ABG=S△ABc-2S△ABE=2X6X 4一2×2=8.②当AG=EG时，则 ∠GAE=∠GEA,∴.∠GAE+∠BAE= ∠GEA+∠CEG,即∠CAB=∠CEA.又 ∠C=∠C,.△CAE∽△CBA. “器CcE BE- AC225 CB 6 25=L.:∠BAE=∠CEG,∠B= 6-6· ∠C,.△ABE∽△ECG.. AB BE EC CG 25、11 ..G= CE·BE 6X6 AB 5 4G= 55 5-装：EAG=∠AG=B= ∠C,∴.△GAE∽△ABC.∴. S△EAG S△ABC .S△ABC= 1 2 ×6×4=12, ∴.S△AEG X12= 08综上所述， 625 36 .625 △AEG的面积是8或108： D B E M (典例2图②) 小结 本题由于解题思维链较长，需要分步实施 基本策略如下： (1)根据已知条件，先推证可知，尽量把能 求的量和推得的结论呈现出来，缩小与目标之间 的差距； (2)对等腰三角形的几种情况进行分类讨论， 将模糊的等腰三角形清晰化，动态问题静态化； (3)结合全等、相似或勾股定理建立等式 (方程)求解有关量（包括面积）： (4)检验解题过程，使解题过程进一步完 善、合理， 对应练习 2.在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是 边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时 针旋转，点A旋转到点E,ED与边AB 交于点F,且E 3 DE 2 ,连结AE.若△AFE 与△DB托敏，测的值为 考点三动点背景下的相似三角形 典例3如图，在矩形ABCD中，AB=3cm, BC=6cm某一时刻，动点M从点B出发 沿BA方向以1cm/s的速度向点A匀速运 动；同时，动点N从点C出发沿CB方向以 2cm/s的速度向点B匀速运动： (1)经过多长时间，△BMN的面积等于矩 形ABCD面积的： (2)是否存在时刻t(单位：s),使以B、M、N 为顶点的三角形与△ACD相似？若存在， 求t的值；若不存在，请说明理由， A M (典例3图) 第22章图形的相似 分析 (1)设经过xs,△BMN的面积等于矩形 ABCD面积的日，则利用三角形面积公式得到 1 2x·(6-2x)= 9 X3X6,然后解方程即可. (2)根据题意，得BM=tcm,BN=(6 21)cm,根据矩形的性质得到∠B=∠D,利用 相似三角形的判定方法，当△BMN∽△DCA 时议-贷中台 =624当△BMN 6 △DC时微瓷中台 3 ,然后分别 解方程求出t即可. 解答：(1)设经过xs,△BMN的面积等于 矩形ACD面积的) 由题意，得BM=xcm,BN=(6-2x)cm, ·2x·(6-2x)=}X3X6. 9 整理得x2一3x十2=0，解得x1=1,x2=2. 答：经过1s或2s时，△BMN的面积等于 矩形ABCD面积的， (2)存在. 根据题意，得BM=tcm,BN=(6一2t)cm, ,四边形ABCD为矩形， .'AD=BC=6 cm,CD=AB =3 cm, ∠D=∠B=90°. 当△BMN△A时，兴即片 6。弘解得1 3 当△BMN△DAC时，微，即片 6一2t,解得t 12 3 5 17 数学（华师版）九年级上 综上所述，当：的值为或号时，以M,N 为顶点的三角形与△ACD相似. 小结 动态相似的解题方法 1.遇到动态问题，常常通过引进变量（未知 数)来固定点、线段、角度等元素，在相对静态中 建立相关模型（方程、不等式、函数、基本图形 等)，借助模型解决问题 2.存在性题的解题程序：先假设存在，据此 并加已知条件进行推理和演算，如推证（求得）结 果正确，说明存在；如推证（求得）的结果与已知 条件、已有的定理（公理）等矛盾，则说明不存在. 3.在解决动态问题过程中，如果需要讨论， 要注意分类完整，不重不漏；对于特殊（极端）情 况，要格外关注，小心验证 对应练习， 3.如图，在平面直角坐标系内，点A(0,6)、 B(8,0),动点P从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O移 动，同时动点Q从点B开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A移 动，设点P、Q移动的时间为t秒： (1)当t为何值时，AP=AQ? (2)当t为何值时，△APQ与△AOB 相似？ 0 B (第3题》 18 考点四折叠背景下的相似三角形 典例4如图①，将边长为3的正方形纸片 ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为 EF,展平后，再将点B折到边CD上（不与端 点重合)，使边AB经过点E,折痕为GH,点 B的对应点为M,点A的对应点为N,求折 痕GH的长 FH (典例4图①) 分析 利用翻折变换的性质，结合勾股定理表示 出CH的长，得出△EDM∽△MCH,进而求出 CM的长.过点G作GP⊥BC,连结BM,则依 据△GPH≌△BCM,可得GH=BM,再利用 勾股定理得出BM的长，即可得到GH的长.思 维导图如下： 设CM=x,则 BH=HM=3-CH 勾股定理 5 CM=1 △EDM∽△MCH GH=BM 理 =√32+1 作GP⊥BC于 =√10 △GPH≌△BCM 点P,连结BM 解答：设CM=x 由题意，得BH=HM=3-HC, .HC2十x2=(3一HC)2,整理得CH= +8 3 .·四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=∠C=∠D=90° 由题意，可得ED=1.5,DM=3-x, ∠EMH=∠ABC=90°， ∴.∠HMC+∠EMD=90°， .'∠HMC+∠MHC=90°， ∴.∠EMD=∠MHC..∴.△EDMp△MCH. 認器时 622+2 ∴.x1=1,x2=3(不合题意，舍去.∴.CM=1 如图②，连结BM,过点G作GP⊥BC,垂足 为P,则易得GP=AB=BC,BM⊥GH. ∴.∠PGH=∠HBM=90°-∠PHG [∠HGP=∠MBC, 在△GPH和△BCM中，GP=BC, ∠GPH=∠C, .∴.△GPH≌△BCM..∴.GH=BM. ∴.GH=BM=√32+1=√/10 B-- P FH (典例4图②) 小结 1,解折叠问题要始终抓住折叠前后的两个 图形虽然位置发生了变化，但这两个图形全等， 对应的基本元素（线段、角）相等： 2.图形折叠后位置发生了改变，新图形中 的点、线、角往往成为孤立的点、线、角，通过添加 辅助线可以建立新旧图形之间的联系. 对应练习 4.如图①，先把一张矩形纸片ABCD上下 对折，设折痕为MN.如图②，再把点B 叠在折痕线上，得到△ABE,过点B作 PQ⊥AD,交AD于点Q,交EC于点P (1)求证：△PBE∽△QAB (2)△PBE和△BAE相似吗？若相似， 第22章图形的相似 给出证明；若不相似，请说明理由， (3)延长EB交AD于点H,则△AEH 的形状为 B w. M D Q H ① ② (第4题) 考点五现实背景下的相似三角形 典例5[2024河南三模]集装箱作为国际贸 易中最主要的运输工具之一，因其方便快 捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运 领域.而集装箱搬运车则是为了更方便、更 高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设 计的机械设备.如图①所示为某集装箱搬运 车的简化示意图，测得CE=3m,矩形 DEFG为底盘，长和宽分别为4m和0.9m, BG=2m,AB⊥BF,DC⊥AE,点B、G、F在 同一直线上，求集装箱顶部到地面的高度AB (结果精确到0.1m,参考数据：√7≈2.65) G (典例5图①) 19 数学（华师版）九年级上 分析 延长AE交BF的延长线于点H,由AB⊥ BF,DC⊥AE,得到∠B=∠DCE=90°，根据 矩形的性质得到∠EFH=∠DCE=90°，DE∥ BH,根据相似三角形的性质得到FH= EH,根据匀股定理得到EH=187 4 35m,求得 FH=27 0m,根据相似三角形的性质即可得 到结论 解答：如图②，延长AE交BF的延长线于 点H. AB⊥BF,DC⊥AE, ∴.∠B=∠DCE=90°. :四边形DEFG是矩形， ∴.∠EFH=∠DCE=90°，DEBH. ∴.∠H=∠DEC ∴.△EFH∽△DCE. “是是 .FH_EH 3 4 FH-SEH. 在Rt△EFH中，EF=0.9m,EF2+ FH2=EH2, .EH= 18√7 35m. .FH-277 0 m≈1.02m. ∴.BH=BG+GF+FH=2+4+1.02= 7.02(m). AB⊥BF,EF⊥BH, .EF∥AB: ∴.△EFH∽△ABH. 20 .EF_FH ·ABBH EF·BH .'AB= FH .EF=0.9m,BH=7.02m,FH=1.02m, .AB= 0.9×7.02 1.02 ≈6.2(m). 答：集装箱顶部到地面的高度AB约为6.2m G (典例5图②) 小结 在分析题意和示意图的基础上抽象出基本 图形，由此应用相似三角形、方程等知识建立并 求解相关模型。 对应练习 5.图①是一种手机托架，使用该手机托架 示意图如图②所示，底部放置手机处宽 AB=1.2cm,托架斜面长BD=6cm,它 有C到F共4个挡位调节角度，相邻两 个挡位间的距离为0.8cm,挡位C到B 的距离为2.4cm.将某型号手机置于托 架上，手机屏幕长AG是15cm,O是支 点，且OB=OE=2.5cm(支架的厚度忽 略不计).当支架调到E挡时，点G离水 平面的距离GH为 cm;当支架 从E挡调到F挡时，点D离水平面的距 离下降了 cm. D AB O (第5题)