贵州黔南州广大实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考质量检测数学试题

2026—2027学年度（上）高二年级10月月考质量检测 数学试题（空间向量与立体几何） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题栏上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置。回答非选择题时，将答案写在对应题号的横线上或下方空白处。写在其他位置无效。 第Ⅰ部分 （选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法正确的是（　　） A．单位向量的模都等于1，所以单位向量都相等 B．若两个向量相等，则这两个向量一定共线 C．若 ，则 D．零向量与任意向量的数量积为1 2．在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C．若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D．若向量 共面，则存在实数 使 4．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．下列关于空间向量基底的说法正确的是（　　） A．空间任意三个不共线的向量都可以作为空间的一个基底 B．若 是空间的一个基底，则其中任意两个向量都不共线 C．空间的一个基底中可以含有零向量 D．给定基底后，空间任一向量用该基底表示的系数不唯一 6．已知向量 ，，且 与 互相垂直，则实数 （　　） A． B． C． D． 7．下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．一个平面的法向量是唯一的 C．若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D．若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 8．已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．相交但不垂直 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9．在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．异面直线 与 所成的角为 B．异面直线 与 所成角的正弦值为 C． D．直线 与平面 所成角的正弦值为 10．已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 且 ，则 C．若 ，则 与 一定平行 D．若 ，则 11．在棱长为 2 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．直线 与平面 所成角的正弦值为 B．直线 与平面 所成的角为 C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 第Ⅱ部分 （非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量 ，，则 ______． 13．已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ， 则点 到直线 的距离为______． 14．《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，鳖臑 中， 平面 ，，，点 在线段 上运动，则 的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标，并求 ；（6分） （2）若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ．（7分） 16．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标， 并求直线 的一个方向向量；（6分） （2）证明： 平面 ．（9分） 17．（15分）如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标；（5分） （2）求直线 与底面 所成角的大小；（5分） （3）求平面角 和平面所成角的余弦值．（5分） 18．（17分）如图，正四面体 的棱长为 2，记 ，，，取 为空间的一组基底． （1）用这组基底表示与（为的中点）；求，并由此求异面直线与所成的角；（8分） （2）设 为 在平面 上的射影，用基底表示 ，并求点 到平面 的距离及直线 与平面 所成角的正弦值．（9分） 19．（17分）如图1，在四边形中，点位于两侧，且，，．将沿折起，点到达点 的位置（如图2），记二面角 的大小为 （）． （1）建立适当的空间直角坐标系；当 时，求 线段 的长，并证明 ；（5分） （2）用 表示点 的坐标，并求 关于 的表达式；（6分） （3）在折叠过程中，求点 到平面 的距离的最大值，并求出此时 的大小．（6分） 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $