专题01 期中复习计算题组10天强化训练（考试范围：第1章 勾股定理～第3章 位置与坐标）（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题01 期中复习计算题组10天强化训练 （考试范围：第1章 勾股定理~第3章 位置与坐标） 【新教材北师大版】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·广东珠海·开学考试）计算：． 【答案】 【详解】解： 4．（26-27八年级上·陕西·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．（26-27八年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 7．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）把（1）a，b的值代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ∴的平方根为，即的平方根为或． 8．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先对分子进行化简，再分别计算二次根式的除法、立方根和算术平方根，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ，， ，， ． 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 3．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）计算： (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得． 6．（25-26八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 8．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 9．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可． 求出代数式的值，再利用算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， ， ． （2）解：， ， 的算术平方根为． 10．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： (1) ，的小数部分为 ； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 【答案】(1)3， (2)，． 【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：， ∵，， ∴， ∴，． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)44 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 4．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知：，， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出和的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，求出，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 8．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； （3）解： 9．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 10．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·广东茂名·阶段检测）计算、解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算立方根、绝对值和算术平方根，再加减运算即可解答； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：开平方得， 解得，． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（）先求出，，的值，再利用完全平方公式变形求值即可； （）根据，则，所以，从而可得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）计算． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减法，然后把已知字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的估算以及实数的运算性质，核心是利用“夹逼法”确定无理数的范围，从而分离出整数部分和小数部分，再代入计算． （1）先确定和的范围，得到小数部分和整数部分，再代入计算的值，最后求其平方根； （2）先确定的范围，得到整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分； ∵，即， ∴的整数部分； 则， ∵1的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵，即， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分； 则. 9．（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算、求值： (1)计算： ①， ②． (2)已知，，求的值； (3)若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)①；② (2)17 (3) 【分析】（1）①利用二次根式的性质和二次根式的混合运算法则进行计算即可； ②利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形求值即可； （3）根据无理数的性质得到的整数部分，小数部分，据此求解即可． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：，， 、， ； （3）解： 的整数部分，小数部分 ． 10．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可； （2）作差，，分类计算解答即可； （3）根据，， 两式相减，得，整理得，，比较解答即可． 本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时． （3）解：∵，， 两式相减，得， 整理得，， ∵ ∴， ∴， ∴． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．（26-27八年级上·江西·期中）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， 将 代入得： 原式 ． 3．（25-26八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 4．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）已知，求：代数式的值． 【答案】 【分析】利用非负数的性质，先求出和的值，再代入所求代数式，利用整式乘法公式和二次根式的运算法则计算即可得到结果； 【详解】解：，，且， ，， ∴， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 6．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据立方根，算术平方根进行求解即可； （2）由（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴的平方根为． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2） ， 故答案为：； （3） ． 9．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． (1)请参照上面的方法化简：_________（直接写出结果）． (2)化简：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)48 【分析】（1）仿照已知分母有理化的方法求解即可得答案； （2）分别对每一项进行分母有理化，然后再进行相加即可求解； （3）先化简条件得，，计算出，再把变形得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ∴， ， ∴ ． 10．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据整体代入求值； （2）先求出a，b，再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，，则， ∴m的整数部分a为7，n的小数部分b为， ∴． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． 4．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，运用完全平方公式计算，再根据二次根式的加减法则合并即可； （2）先根据二次根式的除法法则化简，再加减合并即可； （3）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法则合并即可； （4）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则化简，最后加减合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 5．（26-27八年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把有理数、无理数分别进行乘除法，再进行化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴的平方根为． 7．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 8．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），再按照样例格式计算即可； （2）先求出两个小正方形的边长分别为和，再计算剩余部分的面积． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个小正方形和的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴剩余部分的面积为． 9．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 10．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25九年级下·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】先去绝对值、开立方根，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】解： 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依次计算乘方，绝对值，立方根，再合并化简即可； （2）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求解出，再计算的值，最后计算平方根即可；注意一个正数的平方根有两个，一正一负且互为相反数． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键． （1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c； （2）将（1）求出的值代入计算即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， 所以，解得； ，解得； ，； ； （2）解：， 所以的平方根为． 5．（24-25七年级下·广东湛江·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程，熟练掌握算术平方根，立方根，解二元一次方程的方法是解题的关键． 由题意得，解方程组得，得出，即可求解． 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 9．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，求平方根、立方根和算术平方根，利用平方根和立方根解方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先化简算术平方根和立方根，然后按照加减运算求解即可； （2）先化简绝对值，算术平方根和立方根，然后按照加减运算求解即可； （3）利用平方根的知识去作答，即可求解； （4）利用立方根的知识去作答，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， 解得：； 10．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是_____________，分母有理化，得_____________； (2)计算：① ②已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据平方差公式即可求得有理化因式，分母有理化只需分子分母乘以即可； （2）①将每一项分式分母有理化后，中间项抵消后计算；②先化简，再根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式是：； ∴； （2）解：① ； ②，， ∴． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）先进行二次根式的乘除与二次根式的化简，最后进行加减即可； （3）先进行二次根式的除法，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c，然后代入求解即可； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得． ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， 9的平方根是， 平方根是． 6．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 12 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算． （1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解； （2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，； （2）解：， ，， 解得，， ，， 的整数部分是2，的整数部分是2， 的小数部分是， 即，， ． 8．（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别求立方根，化简二次根式，再进行加减计算； （2）先算乘除法，再运算二次根式的加减混合运算，计算即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【详解】（1）， 即， 的整数部分为4， 的小数部分为． （2）由题意得， ， ，． 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 10．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； （2）解： ， 答：刷涂料的面积为． DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及根式化简、除法与乘法的运算顺序．解题的关键是先对各个根式进行化简，再按照从左到右的顺序依次进行除法和乘法运算，注意约分与有理化处理，最终化简得到最简形式． 本题考查实数的混合运算，涉及立方根、分母有理化、平方运算以及绝对值的处理．解题的关键是按照运算顺序逐步化简每一项，注意符号处理和有理化方法的应用，最后合并同类项得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式除法运算及二次根式乘法运算公式计算，再由二次根式性质化简，最后由二次根式加减运算法则计算即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再分别计算括号里的运算，然后去括号，由二次根式加减运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式乘除运算、利用二次根式性质化简、二次根式加减运算、平方差公式、完全平方公式等知识，熟记二次根式性质及相关运算法则是解决问题的关键． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解；首先将 和 的分母有理化，化简得到 ，．然后计算 和 的值，利用因式分解 求值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （3）将的值代入代数式，利用完全平方公式和平方差公式进行化简计算，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ； （3）解：当时， ． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的化简求值，提公因式分解因式．正确计算是解题关键． 先把因式分解成，再代入求值即可． 【详解】解： 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)6 (3)20 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式性质进行计算即可； （3）先将代数式变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 10．（24-25八年级下·新疆伊犁·阶段检测）观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后化简二次根式后进行有理数的减法运算； （4）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化，再利用完全平方公式表示变形为，接着根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)已知，，求． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法； （2）由完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）先求出的值，再由完全平方公式将变形为，在代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：∵，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，代数式求值，由，得，，则，故有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得，， ∴， ∴， ∴ ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是利用倒数法进行化简． 先求原式的倒数，然后再求倒数即可． 【详解】解：原式， 原式的倒数为 ， 故原式． 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）阅读下列材料，然后解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．如，．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：　　　　　　． (2)计算：． (3)有一个长方形的面积为，其一边长为，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可； （3）先根据已知条件结合二次根式的混合运算法则求出另一边的长，再计算长方形的周长即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：长方形的另一边长为： ， 该长方形的周长为： ． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了材料阅读，二次根式的混合运算，分母有理化，读懂阅读材料是解答本题的关键． （1）根据有理化因式和分母有理化解决问题； （2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可； （3）先利用分母有理化，计算出、、的倒数，则可判断，从而得到、、的大小． 【详解】（1）解：， 的一个有理化因式为； ； 故答案为：；； （2）解： ； （3）略 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…… (1)_______． (2)若n为正整数，则_______． (3)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据的定义进行代入运算即可； （2）猜想，代入式子中进行化简求证； （3）根据规律，即可得到的值． 【详解】（1）解：． 故答案为：1． （2）解：猜想，理由如下： ． 故答案为：1． （3）解：原式 ． 10．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习计算题组10天强化训练 （考试范围：第1章 勾股定理~第3章 位置与坐标） 【新教材北师大版】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算：． 2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．（26-27八年级上·广东珠海·开学考试）计算：． 4．（26-27八年级上·陕西·期中）计算：． 5．（26-27八年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 7．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 8．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 9．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 3．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 4．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算： (1)； (2)； 5．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）计算： (1)； (2)解方程：． 6．（25-26八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 7．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 8．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 9．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 10．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： (1) ，的小数部分为 ； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 4．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知：，， (1)求的值． (2)求的值． 6．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 8．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 9．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 10．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·广东茂名·阶段检测）计算、解方程： (1) (2)． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3) 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 5．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 6．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）计算． (1)； (2) (3) (4) 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）先化简，再求值：．其中． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算、求值： (1)计算： ①， ②． (2)已知，，求的值； (3)若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 10．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（26-27八年级上·江西·期中）先化简，再求值：，其中 ． 3．（25-26八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 4．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）已知，求：代数式的值． 5．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 6．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 9．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． (1)请参照上面的方法化简：_________（直接写出结果）． (2)化简：． (3)已知，求的值． 10．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 4．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 5．（26-27八年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 6．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 7．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 8．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 9．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 10．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25九年级下·广东湛江·期中）计算：． 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）计算 (1) (2) 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 5．（24-25七年级下·广东湛江·期末）计算：． 6．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 9．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 10．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是_____________，分母有理化，得_____________； (2)计算：① ②已知：，，求的值． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 2．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 6．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1) (2) 7．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 8．（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算； (1) (2) 9．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 10．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知：，，求的值． 7．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)已知，求代数式的值． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，求的值． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 10．（24-25八年级下·新疆伊犁·阶段检测）观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)已知，，求． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）阅读下列材料，然后解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．如，．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：　　　　　　． (2)计算：． (3)有一个长方形的面积为，其一边长为，求该长方形的周长． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…… (1)_______． (2)若n为正整数，则_______． (3)求的值． 10．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $