专题01 期中复习计算题组14天强化训练（考试范围：第19章 实数～第20章 二次根式）（举一反三专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题01 期中复习计算题组14天强化训练 （考试范围：第19章 实数~第20章 二次根式） 【新教材沪教版五四制】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算：． 2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．（26-27八年级上·广东珠海·开学考试）计算：． 4．（26-27八年级上·陕西·期中）计算：． 5．（26-27八年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知：，满足，先化简，再求值． 7．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 8．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 9．（25-26九年级上·青海·阶段检测）解方程：． 10．（25-26九年级上·新疆和田·期末）若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 2．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 4．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 5．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 6．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 9．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 3．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 4．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 5．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算： (1)； (2)； 6．（25-26八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程 (1)关于x的方程，下列解法完全正确的是_____． 甲 乙 两边都除以，得 移项，得， 即， 于是或， 丙 丁 整理，得 这里， ， ， 即 整理，得 配方，得， 即 两边开平方，得， (2)选择合适的方法解方程：． 9．（24-25九年级下·四川资阳·阶段检测）已知，求的值． 10．（26-27九年级上·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）计算： (1)； (2)解方程：． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 3．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： (1) ，的小数部分为 ； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 4．（26-27八年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 6．（26-27九年级上·山东·期中）用适当的方法解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 8．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，，求下列式子的值： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 4．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 6．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 7．（25-26九年级上·四川自贡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）规定，回答以下问题： (1)计算________． (2)已知，是一元二次方程的两个根，且，求的值． 9．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 10．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 2．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 4．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 5．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 6．（26-27八年级上·北京·期中）计算：． 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）先化简，再求值：．其中． 8．（26-27九年级上·新疆克孜勒苏·阶段检测）解方程： (1) (2) (3) (4) 9．（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的方程 有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若试求实数的值． 10．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． (2)思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． (3)拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·广东茂名·阶段检测）计算、解方程： (1) (2)． 2．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）计算． (1)； (2) (3) (4) 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算、求值： (1)计算： ①， ②． (2)已知，，求的值； (3)若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 4．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3) 5．（26-27八年级上·江西·期中）先化简，再求值：，其中 ． 6．（25-26八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 7．（26-27九年级上·广东茂名·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 8．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 10．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）已知，求：代数式的值． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 4．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 5．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程． ①若方程总有两个实数根，则的取值范围是___________； ②若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 7．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． (1)请参照上面的方法化简：_________（直接写出结果）． (2)化简：． (3)已知，求的值． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 10．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 4．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 6．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 7．（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”：____________（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数）是“邻根方程”，且，求：的值． 8．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 9．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 10．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 3．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 4．（26-27八年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 5．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算、解方程 (1)计算： (2)解方程： 6．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)关于的一元二次方程有两个实数根，求的最大整数值． 7．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 8．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 9．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是_____________，分母有理化，得_____________； (2)计算：① ②已知：，，求的值． 10．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）若 (1)求x与y的值； (2)求的平方根 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． (2)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有下面三个实数：，，． (1)计算：； (2)在算式“”中，□处填入“”或“”． ①当原算式结果最大时，□处填入__________； ②计算原算式的最小结果． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）； （2）实数在数轴上的位置如图所示，请化简． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 5．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）化简： (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． DAY 13 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 7．（25-26九年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 10．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． DAY 14 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 3．（2025八年级上·全国·专题练习） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 4．（25-26八年级上·上海·期中）化简: 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 6．（25-26八年级上·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 7．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 8．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________. __________. （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知不相等的两个正数满足，，求下列各式的值． (1) (2) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习计算题组14天强化训练 （考试范围：第19章 实数~第20章 二次根式） 【新教材沪教版五四制】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·广东珠海·开学考试）计算：． 【答案】 【详解】解： 4．（26-27八年级上·陕西·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．（26-27八年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知：，满足，先化简，再求值． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时，原式 ． 7．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ，， ∴ 解得，； （3）解： 解得，； （4）解： 或 解得，． 8．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 9．（25-26九年级上·青海·阶段检测）解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是通过换元得到关于的一元二次方程． 设，根据，得出，求出的值，再代入，即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ，， 或， ，． 10．（25-26九年级上·新疆和田·期末）若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程系数与根的关系式． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出 ，，再将进行变换即可． 【详解】（1）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ， ， ． DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）把（1）a，b的值代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ∴的平方根为，即的平方根为或． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先对分子进行化简，再分别计算二次根式的除法、立方根和算术平方根，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 5．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ，， ，， ． 6．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， ， ， ， 解得； （5）解：， ， ， ， ， 解得； （6）解：， ， ， ， 解得． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 9．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 3．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 4．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（26-27八年级上·甘肃·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，，， ∴， ∴， 解得，； （2）解： ，，， ∴， ∴， 解得； （3）解： ，， ∴， ∴， 解得，； （4）解： ，， ∴， ∴， 解得，． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程 (1)关于x的方程，下列解法完全正确的是_____． 甲 乙 两边都除以，得 移项，得， 即， 于是或， 丙 丁 整理，得 这里， ， ， 即 整理，得 配方，得， 即 两边开平方，得， (2)选择合适的方法解方程：． 【答案】(1)丁 (2)， 【分析】（1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：甲：当时，方程两边可除以，没有考虑的情况，故甲解法错误； 乙：移项，应得，符号错误，故乙解法错误； 丙：整理，应得，这里，故丙解法错误； 丁的解法正确； （2）解：原方程整理，得， 即． 于是或， ，． 9．（24-25九年级下·四川资阳·阶段检测）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 10．（26-27九年级上·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得， ∵， ∴的值为． DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）计算： (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可． 求出代数式的值，再利用算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， ， ． （2）解：， ， 的算术平方根为． 3．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： (1) ，的小数部分为 ； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 【答案】(1)3， (2)，． 【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：， ∵，， ∴， ∴，． 4．（26-27八年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)44 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·山东·期中）用适当的方法解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 【答案】， 【分析】令，将原方程变形后计算即可． 【详解】解：令，则原方程化为，， 解得或． 当时，，， 解得，； 当时，，即． 因为，此时方程无实数根． 故原方程的解为，． 8．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先求出与的值，再对所求代数式变形，整体代入求值． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ ． （2）解： ∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式化简求值，运用整体思想，先求、，再将所求式子配方变形代入，简化计算，避免直接代入复杂根式运算． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 4．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； （3）解： 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 6．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】（1）直接用公式法解一元二次方程即可； （2）先整理再用完全平方公式因式分解求解即可； （3）先移项再提取公因式因式分解求解即可； （4）先移项再利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：由得，，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴． （3）解： ， 移项得 ， 提公因式得， ∴或， ∴，． （4）解：， 移项得， 因式分解得， 整理得， ∴或， ∴，． 7．（25-26九年级上·四川自贡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 【答案】(1) 证明：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； (2)负整数的值为、、或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与因式分解法解方程． （1）通过计算判别式，判断其非负性，从而证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的根，再根据根为负整数的条件，结合为负整数的要求，确定的取值． 【详解】（1）略 （2）解：对原方程因式分解，得， 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数， ∴也需为负整数. 又∵是负整数， ∴，解得， ∴的取值为、、或． 8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）规定，回答以下问题： (1)计算________． (2)已知，是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义列式计算即可； （2）由新定义可得，结合根与系数的关系可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）解：. （2）解：， ， ， ， ，， ， . 9．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 10．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)14 (2)，且 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握新定义下的实数运算． （1）根据新定义进行实数的运算即可； （2）根据新定义列出一元二次方程，根据根的判别式列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得，且． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 解得或 （2）解： 2．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（）先求出，，的值，再利用完全平方公式变形求值即可； （）根据，则，所以，从而可得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的估算以及实数的运算性质，核心是利用“夹逼法”确定无理数的范围，从而分离出整数部分和小数部分，再代入计算． （1）先确定和的范围，得到小数部分和整数部分，再代入计算的值，最后求其平方根； （2）先确定的范围，得到整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分； ∵，即， ∴的整数部分； 则， ∵1的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵，即， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分； 则. 5．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（26-27八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】当 时，原式；当 时，原式． 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：原式 当 时，原式；当 时，原式． 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减法，然后把已知字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 8．（26-27九年级上·新疆克孜勒苏·阶段检测）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， 或， ； （3）解：， ， 或， ； （4）解：， ， 或， ． 9．（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的方程 有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若试求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，令，解不等式，即可求解； （2）根据根与系数的关系可得，代入已知，解方程，求得的值，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知， 整理得， 解得 （2）解： 根据根与系数的关系可得 整理得 解得或， 由（1）可知 ∴． 10．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． (2)思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． (3)拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． 【答案】(1)1； (2)①5；② (3)1 【分析】（1）由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可； （2）①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分，并代入求值即可；②把所求式子因式分解得到，再代入求值即可； （3）根据题意可证明可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，； （2）解：①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴； ②∵，， ∴； （3）解：∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·广东茂名·阶段检测）计算、解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算立方根、绝对值和算术平方根，再加减运算即可解答； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：开平方得， 解得，． 2．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）计算． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算、求值： (1)计算： ①， ②． (2)已知，，求的值； (3)若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)①；② (2)17 (3) 【分析】（1）①利用二次根式的性质和二次根式的混合运算法则进行计算即可； ②利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形求值即可； （3）根据无理数的性质得到的整数部分，小数部分，据此求解即可． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：，， 、， ； （3）解： 的整数部分，小数部分 ． 4．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（26-27八年级上·江西·期中）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， 将 代入得： 原式 ． 6．（25-26八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 7．（26-27九年级上·广东茂名·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 8．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可； （5）利用公式法解一元二次方程即可； （6）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴整理得， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （5）解：∵， ∴整理得， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； （6）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 9．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可； （2）作差，，分类计算解答即可； （3）根据，， 两式相减，得，整理得，，比较解答即可． 本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时． （3）解：∵，， 两式相减，得， 整理得，， ∵ ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即，解得， 由①知， ∴． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）已知，求：代数式的值． 【答案】 【分析】利用非负数的性质，先求出和的值，再代入所求代数式，利用整式乘法公式和二次根式的运算法则计算即可得到结果； 【详解】解：，，且， ，， ∴， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 4．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：整理得， 开方得， 解得，． 5．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程． ①若方程总有两个实数根，则的取值范围是___________； ②若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【答案】（1），；（2）①；②m的值为1，另一个实数根为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，已知一元二次方程的解求参数，判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）①根据方程总有两个实数根，得出，解得；②先根据方程有一个实数根为1，求出m的值为1，得出，然后解得另一个实数根为3，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，； （2）解：①∵， ∴， ∴， 则， 解得， 故答案为：； ②∵方程有一个实数根为1， ∴， 整理得 ∴， 则， ∴， ∴， 解得，， ∴另一个实数根为3． 7．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． (1)请参照上面的方法化简：_________（直接写出结果）． (2)化简：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)48 【分析】（1）仿照已知分母有理化的方法求解即可得答案； （2）分别对每一项进行分母有理化，然后再进行相加即可求解； （3）先化简条件得，，计算出，再把变形得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ∴， ， ∴ ． 8．（25-26七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2） ， 故答案为：； （3） ． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 10．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据立方根，算术平方根进行求解即可； （2）由（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据整体代入求值； （2）先求出a，b，再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，，则， ∴m的整数部分a为7，n的小数部分b为， ∴． 4．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 5．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 6．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解：在中，，，， ∴ ， ∴， 解得． 7．（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”：____________（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数）是“邻根方程”，且，求：的值． 【答案】(1)否 (2)的值为， (3) 【分析】（1）先解方程，再根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，求解即可； （2）先解方程得到，再根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，求解即可； （3）根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，设方程的两个根分别为，再根据根与系数的关系得到，，，最后结合消元计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的根为， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； （2）解：方程左边因式分解得， ∴， ∵关于的方程（是常数）是“邻根方程”， ∴或， 即的值为，； （3）解：∵关于的方程（，是常数）是“邻根方程”， ∴设方程的两个根分别为， ∴，， 由可得， 代入得 整理得， ∵， ∴，整理得， ∴， 解得， ∴ ∴． 8．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 9．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． 10．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），再按照样例格式计算即可； （2）先求出两个小正方形的边长分别为和，再计算剩余部分的面积． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个小正方形和的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴剩余部分的面积为． DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，运用完全平方公式计算，再根据二次根式的加减法则合并即可； （2）先根据二次根式的除法法则化简，再加减合并即可； （3）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法则合并即可； （4）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则化简，最后加减合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴的平方根为． 3．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 4．（26-27八年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把有理数、无理数分别进行乘除法，再进行化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算、解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ， ， 或， ，． 6．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)关于的一元二次方程有两个实数根，求的最大整数值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 解得， 将整理得， ∴， 解得 ∴的取值范围是且， ∵为整数， ∴的最大整数值为． 7．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)解：是和谐方程，理由如下： ， ， 解得， ∴， ∴， ∴方程是“和谐方程”. (2)①；② 【分析】（1）求出方程的根，根据新定义进行判断即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根，得到，即可得出结果；②根据根与系数的关系结合新定义进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 解得； ②设方程的两个根为，则， ∵关于的方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴， 解得或， 由①知：； ∴. 8．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 9．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是_____________，分母有理化，得_____________； (2)计算：① ②已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据平方差公式即可求得有理化因式，分母有理化只需分子分母乘以即可； （2）①将每一项分式分母有理化后，中间项抵消后计算；②先化简，再根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式是：； ∴； （2）解：① ； ②，， ∴． 10．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； （2）解： ， 答：刷涂料的面积为． DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）若 (1)求x与y的值； (2)求的平方根 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）把（1）中x，y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． (2)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求出a，b的值，代入目标式计算即可； （2）先估算的范围得到a，b的值，代入计算后再求平方根． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； ， 将代入得， 解得； 将代入得，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， 代入得，， ∴19的平方根为． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ， ， ， 即； （4）解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有下面三个实数：，，． (1)计算：； (2)在算式“”中，□处填入“”或“”． ①当原算式结果最大时，□处填入__________； ②计算原算式的最小结果． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法； （2）①把“”或“”分别代入计算后，再比较大小可得答案；②根据①中计算过程即可得出最小结果． 【详解】（1）解： （2）①当□处填入“”时，， 当□处填入“”时，， ∴当□填入“”时，算式的结果最大． ②由①得原算式的最小结果为． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）先进行二次根式的乘除与二次根式的化简，最后进行加减即可； （3）先进行二次根式的除法，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）略； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，可解出其中一个根为2，则另一个根为，再根据“连根方程”的性质即可求解； 【详解】（1）解：， 得， 解得，， 其中， ∴方程是“连根方程”． （2）解： ∵ 得， 解得，， ∵该方程是“连根方程”， ∴，即， 解得或． DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 【答案】(1)5， (2)2 (3) 【分析】（1）夹逼法进行求解即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； （2）解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴， ∵是整数，且，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）； （2）实数在数轴上的位置如图所示，请化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质进行化简及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）由数轴可得，，由二次根式的性质得出即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）由数轴可得，， ． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】先得出，，再计算二次根式的乘除法即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：，， 则原式 ． 5．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； （2）根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26九年级上·广东汕头·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因式分解得， 即或， ∴． （2）解：方程两边同除以3，得， 因式分解得， 即或， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)，； (4)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴或， ∴，； （3）解： ∴或； ∴，； （4）解： 其中，， ∴， ∴， ∴，． 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． DAY 13 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）运用完全平方公式以及二次根式乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果； （3）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得出结果； （4）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则及性质计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：， 则原式 ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）整理后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， 或， 解得； （4）解：， 整理得，， ， 或， 解得． 8．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】(1)是互为有理化因式 (2) (3) 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）结合分母有理化进行运算化简； （3）可通过比较两个式子倒数的大小，来判断原式的大小，即可作答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ∵， ∴与互为有理化因式； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，； ， ∵， ∴ 故 ∴． 10．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． DAY 14 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根的概念和平方根的性质．解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． （1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出x的值，把x的值代入或，得到m的一个平方根，可求出m的值；由，即，得到，求出y的值； （2）将（1）中的y值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，． 解得． ∴． ∴． ，即 的整数部分是3． ． 解得． 故答案为：． （2）解：把代入，． 故的平方根是． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据立方根、二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解： ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【答案】解：任务1：两；5；任务2： 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可求解． 【详解】解：任务1：①， ， ， 的立方根是个两位数： ②， ， ， 立方根的十位上的数是5： 故答案为：两；5． 任务2：，， ， ， 能确定110592的立方根是个两位数， ， ， 它的立方根的十位上的数是4； ， 的个位上的数是8， ． 4．（25-26八年级上·上海·期中）化简: 【答案】． 【分析】本题主要考查二次根式的化简运算，计算量比较大，涉及平方差公式以及因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则以及平方差公式和因式分解是解题的关键． 先将二次根式化简，然后将除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 6．（25-26八年级上·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先求出则是方程的两根，代入可得，整体代入即可求出结果； （2）由题意可将看成的两个实数根，再由，结合即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴是方程的两实根， ∵， ∴， ∴， 即：的最大值是. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式；关键是灵活应用知识点解决问题. 7．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 【答案】(1) (2)代数式存在最小值，最小值为 (3)当或时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当或时，方程没有实数根 【分析】本题主要考查了配方法，解不等式，解题的关键是掌握配方法． （1）列用配方法求出，然后代数求值即可； （2）利用配方法求出最值即可； （3）利用根的判别公式列出代数式，然后利用配方法进行整理，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解： ∴或 ∵m，n为正数， ∴舍去， ∴， 将代入得， 原式； （2）解： ∵， ∴， ∴当时，代数式存在最小值，最小值为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当时， 解得或， 此时，方程有两个相等的实数根； 当时， 解得， 此时，方程有两个不相等的实数根； 当时， 解得或， 此时，方程没有实数根； 综上，当或时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根； 当或时，方程没有实数根． 8．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________. __________. （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 【答案】（1）1；1 （2）猜想的结果为1. 证明： （3） 【分析】（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可. （2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明. （3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算. 【详解】解：（1）； . （2）略 （3） 【点睛】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键. 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知不相等的两个正数满足，，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，二次根式的混合运算，解题的关键是构造以为解的一元二次方程： （1）根据题意，得到是的两个实数根，根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）根据，，得到，，整体代入，进行化简，得到，再根据为正数，且，得到，即可． 【详解】（1）解：∵不相等的两个正数满足，， ∴是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴ ， ∵为正数，且， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $