专题01 期中复习压轴33类题型归纳（考试范围：第1章 三角形～第3章 勾股定理）（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题01 期中复习压轴33类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 三角形~第3章 勾股定理） 【新教材苏科版】 题型归纳 【选填压轴】 3 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 3 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 6 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 10 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 15 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 20 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 24 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 29 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 34 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 37 【题型10 含30°直角三角形线段计算】 39 【题型11 与等腰三角形有关的多结论问题】 43 【题型12 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 50 【题型13 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 52 【题型14 勾股定理折叠求线段长度】 54 【题型15 勾股定理动点最短路径求值】 59 【题型16 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 63 【解答压轴】 68 【题型17 三角形内角、外角角度探究题】 68 【题型18 动点产生三角形角度变化探究】 78 【题型19 中线分割三角形面积综合问题】 87 【题型20 全等三角形证明与线段等量推导】 95 【题型21 角平分线性质与全等综合证明】 108 【题型22 截长补短证明线段和差关系】 120 【题型23 等边三角形手拉手模型证明】 129 【题型24 垂直平分线与等腰三角形综合】 138 【题型25 与等腰三角形有关的动点问题】 150 【题型26 格点图中画等腰三角形】 156 【题型27 折叠构造全等边角探究】 160 【题型28 多步连环全等推理证明】 168 【题型29 算术平方根非负性综合应用】 180 【题型30 实数运算新定义综合】 182 【题型31 勾股定理折叠综合探究题】 185 【题型32 立体图形最短路径求解】 192 【题型33 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 199 【选填压轴】 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【答案】或 【分析】利用中线得，利用周长得，，分、两种情况列方程组求解，得到底边长． 【详解】如图，∵，是边上的中线， 即， ∴，， 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形； 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形， 综上，三角形底边长为或． 【变式1-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【答案】3或5 【分析】分高在的内部和外部，两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当高在的内部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 当高在的外部时， 如图，当高在的外部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 综上所述，的长为3或5． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 【变式2-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【答案】或或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，可以证明，得到，然后再分别根据不同点为钝角顶点画出图形，结合图形求出的值即可． 【详解】解：当为钝角顶点时，图形如下： ∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：或或． 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 【例3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 【变式3-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 【变式3-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=α． ∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导， ∴ ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【答案】36 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 【例4】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 为的中线，， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ，，， ， 为的中线，， ， 又， ， 解得：． 【变式4-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式4-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】根据题意画出满足条件的图形，由折叠可得，，，根据，易求，再根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：，， ，则， 由折叠可得，，， 如图1， ， ， ，即， ， ； 如图2， ， ， ， ， ， ； 综上可得，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和，垂直的定义等知识，根据题意画出折叠后的图形是解题的关键． 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线、垂直、三角形内角和定理，解题的关键是掌握角与角之间的基本关系，先根基垂直求出，结合角平分线解折叠的性质得出，把问题转化为求解，再根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：于， ， ， 平分， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据，设，则，表示出其他三角形的面积，然后根据即可求出． 【详解】解：连接， ∵（）， ∴设，则， ∵F为的中点， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与图形的翻折，三角形的中线平分三角形的面积等知识，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例6】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，     ，  ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 【变式6-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 【例7】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【答案】2 【分析】过点E作于点G，于点H，由角平分线的性质得到，可证明平分，则可推出；根据，推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G，于点H， ∵平分，且，， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 【例8】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键；连接，当三点共线时，的周长最小，此时，最小值为. 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小，当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴的周长最小值为：. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC，， ∴DE=DF， ∵AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴分2种情况： ①当时，则， ∴， ∴底边长为； ②当时，则， ∴， ∴底边长为； 综上：等腰三角形的底边长为或. 【变式9-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，再验证是否能组成三角形即可． 【详解】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为，，故能构成三角形； 若腰长为，则底边长为：，另一个腰长为，，故不能构成三角形 综上：其他两边长分别为． 【变式9-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，已知一个角为，它可能是顶角或底角，因此需要分2种情况讨论顶角的可能值． 【详解】解：等腰三角形的一个角为， 当这个角是顶角时，则此等腰三角形的顶角为； 当这个角是底角时，则此等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 【题型10 含30°直角三角形线段计算】 【例10】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】通过作辅助线（高线），利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线这一性质，构造出直角三角形，求出的长，进而得到的长；最后在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半来求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是的中点， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 【变式10-2】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长和交于点构造等边三角形，设，利用题目所给条件推出，从而由可得，从而得出，设，在中利用所对的边是斜边的一半用表示出，由等量关系解出的值即可． 【详解】解：如图，延长和交于点， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ，解得， ． 【题型11 与等腰三角形有关的多结论问题】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及可得出，，由此可得，，据此可判断①；根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理可判断③；根据角平分线的性质即可判断④；连接，根据可判断⑤；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ，， ， ，， ，， ，， ，故①正确； 和的平分线相交于点G， ∴， ∵， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离等于点G到的距离，点G到的距离等于点G到的距离 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，且， ∴点G到各边的距离都为的长， ∵，， ，故⑤正确； 根据现有条件无法得到，故②错误； 综上所述，正确的有①④⑤，共3个． 【变式11-1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先证明，则可得为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边大于直角边，即可判断①；延长交于，根据三角形内角和定理证明，即可判断②；通过三角形的外角性质即可判断③；最后根据等腰三角形的判定证明④． 【详解】解：如图，延长交于， ∵分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ∴，故①错误； ， ， ， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形外角性质可得，，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有2个． 【变式11-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 【变式11-3】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由折叠的性质可得垂直平分，，，，，，结合等边三角形的性质即可判断①正确；求出，从而得出，即可判断②正确；在上取点，使得，连接，求出，即可判断③正确；由，即可判断④错误；表示出，，即可判断⑤错误． 【详解】解：由题意可得，， 由折叠的性质可得垂直平分，，，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，在上取点，使得，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ，故④错误； ∵为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 【题型12 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例12】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式12-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【题型13 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例13】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得：， 整理得， 两边平方得：， 移项得：， 故答案为． 【变式13-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 【变式13-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式13-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 【题型14 勾股定理折叠求线段长度】 【例14】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形， ， ， 由沿折叠得到， ， ，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 解得， 故． 【变式14-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和证直角三角形全等得到，设，在中用勾股定理列方程求出，最后在中勾股算出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 把沿折叠得到，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，即， 故． 【变式14-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质即可求出答案； （2）在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得 ，过点作于点M，则得到，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，四边形与关于直线对称， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， （2）当点和点重合时，即点落在点A处，由折叠的性质可知， ， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得， 即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得，即， 过点作于点M， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 在中， 【变式14-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】 或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，可证四边形是正方形，则，得到；当时，可得点A，，C共线，由勾股定理得到，设，则，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵折叠， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当时，为直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴，即点A，，C共线， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为2或5． 【题型15 勾股定理动点最短路径求值】 【例15】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，根据题意可得当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，, ∵， ∴， ∵， ∴， 当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长， ∵，， ∴． 【变式15-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开为平面矩形，利用轴对称转化为两点之间线段最短问题，再通过勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将容器侧面展开，如图，作点关于的对称点，连接，则即为最短距离． 由题意得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体最短路径转化为平面图形，利用轴对称和勾股定理求解是解题的关键． 【变式15-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 【变式15-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 【题型16 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例16】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质和中位线定理求、、的长，再根据勾股定理逆定理得为直角三角形，，最后用等面积法求出与的距离即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 或的长即为与之间的距离． ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ． ，即， 为直角三角形，且， 的面积为， ， 即与之间的距离是． 【变式16-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 【变式16-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 【变式16-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【解答压轴】 【题型17 三角形内角、外角角度探究题】 【例17】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)． 证明如下：过点P作， （两直线平行，内错角相等）， ，且 ， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． (2) (3)或 【分析】（1）过点P作，则，进而可得，则，再由平行的传递性即可； （2）由可得，进而可得，然后得到，再由求解． （3）分在线段上和在的延长线上两种情况进行讨论，结合角平分线的定义及平行线的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又平分， ，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ； （3）解：当在线段上时， 又（2）知，， ， 又，，， ， 又，， , 即； 当在的延长线上时， 由知， 又，， ， 即 整理得； 综上，或． 【变式17-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【答案】(1)110；110 (2)．理由如下： 平分， ． 点在上， 是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，．① 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ．② 由①②及，， ． 又由①知， ． (3)解;．理由如下： 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，，． 与是对顶角， ． ． 又， ． 又， ∴． 即结论仍然成立． 【分析】（1）由三角形内角和求，再由角平分线得，利用外角定理求；在中求各角后，利用邻补角关系求． （2）利用外角定理分别表示和，结合和进行等量代换． （3）利用外角定理和等量代换，结合对顶角相等，证明结论仍然成立． 【详解】（1）解：在中，，， ． 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，． 在中，，， ． ． 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ． ，． （2）略 （3）略 【变式17-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 【变式17-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ， 中，， ， ， 中，，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ． (3)或 【分析】（1）根据轴对称及等腰三角形性质求解即可； （2）根据轴对称及等腰三角形性质证明，可得到； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：关于对称， ， 为等腰三角形，， 又， 为等腰三角形，， 当点在直线上时，三点共线， ， ． （2）略 （3）解：①若，如图， ， ， 中，， ，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ； ②若，如图， ， ， 中，， ， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， 综上，的度数为或． 【题型18 动点产生三角形角度变化探究】 【例18】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式18-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下： ，， ； (3)不变， 【分析】（1）根据“两直线平行内错角相等”可得答案； （2）根据三角形内角和定理得出答案； （3）先根据三角形的外角的性质得和，再根据角平分线的定义得，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ； （2）略 （3）解：不变， ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式18-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，． 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式18-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 【题型19 中线分割三角形面积综合问题】 【例19】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，进而可得； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，由（2）可得，则,，根据已知可得，则得出，根据三角形的面积关系求得，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（2）可得， ∴， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在直线上运动， 当在的延长线上时， ∴， 当在的延长线上时， ∴． 【变式19-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②的值为 (2)2 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性求解即可；②当时，点在上，则，根据三角形面积可得，，即可建立方程求解； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得； ②由①得，， 点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当时，点在上，则 ∵， ∴ ∴ 解得 ∴的值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2． 【变式19-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【答案】(1)证明：过点A作，垂足为E，如图： 由图可得，，． ∵是边上的中线， ∴． ∴； (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为E，分别表示出，，再利用中线的性质求解即可； （2）利用已知结论可以先后求出，． 【详解】（1）略 （2）解：∵D为的中点， ∴． ∵E为的中点， ∴． 【变式19-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【答案】(1) (2)平分四边形的面积，理由如下： 点是的中点， ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． ． ． 平分四边形的面积． (3) 【分析】（1）根据是边上的中线，得出，结合图形，即可得出； （2）先证明得出，则，即可得出结论； （3）证明得出，同理可得平分四边形的面积，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：， ，． ， ． ，， ． ，， ． ，，，． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 由题意得，平分四边形的面积， ． ． 即围栏端点与入口之间的距离为． 【题型20 全等三角形证明与线段等量推导】 【例20】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【答案】(1) (2)证明：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分． 作于点，作交的延长线于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵、、三点共线，、、三点共线， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）由知、、都是等腰三角形，用“等边对等角”把三个内角都用同一个字母表示，再作差求出； （2）先用“等边对等角”求出，结合已知条件得，从而平分；再作、，由角平分线的性质得，依次证明、，把结论转化为角的关系； （3）在上取点使，先证得，再证得，从而把转化为． 【详解】（1）解：设． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． （2）略 （3）解：在上取一点，使． ∵，，， ∴， ∴，． ∵在上，且， ∴， ∴． ∵在上，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在上，在的延长线上， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点、、在同一条直线上，且点在、之间， ∴． 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质：解题关键是反复使用“等边对等角”把已知的角条件转化为相等的角——先得平分，由角平分线的性质得到，再配合证出两组全等三角形，把逐步转化；求时，通过把转化为，再证，最终把所求线段转化为已知线段之和（）． 【变式20-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【变式20-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①如图， ②③证明：证明：在上截取，连接，如图， 由②得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，． 【分析】（1）①按照“作点B关于l的对称点，连接与l交于P”的步骤补全图形； ②利用对称性质和等边三角形性质，结合角的运算推导与的数量关系； ③采用截长补短法，在上截取一段等于，构造等边三角形，再利用全等三角形证明线段关系； （2）类似（1）的思路，结合对称和等边三角形性质，分析转动时角和线段的关系即可． 【详解】（1）解：①略 ②，理由如下： 连接，连接并延长交于点H，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴　， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴； ③略 （2）解：当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，．理由如下： 当直线l与线段平行时，由（1）可得点A，P重合，及不存在，不符合题意； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图， 由（1）得； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图，连接，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【变式20-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 线段，，之间的数量关系依然成立，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图，过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴M是的中点． 【分析】（1）证明，得到，然后等量代换即可求解；当图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置时，同上证明即可； （2）证明，得到，然后等量代换即可求解； （3）过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N，证明，得到，然后证明，得到，即可证明M是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型21 角平分线性质与全等综合证明】 【例21】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2) (3)， 证明：如图，延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (4)， 证明：如图，作交于点，延长、交于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，并结合题中的推理过程解答即可； （2）延长交于点，同（1）可得，由全等三角形的性质可得，，求出，从而可得，再结合的面积为30，求出，最后利用得出； （3）延长交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，即可得证； （4）作交于点，延长、交于点，先证明平分，再证明，得出，最后证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：由推理过程可得，判定的依据是， 推出的依据是全等三角形的对应边相等； （2）解：如图，延长交于点， 同（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， 证明略； （4）解：， 证明略． 【变式21-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过O作，分别交、于D、E，根据角平分线的性质定理得到，将的面积分成三个小三角形的面积计算即可； （2）先求出，过点分别作、、的垂线，可知是的角平分线，根据三角形外角的性质列等式解方程即可； （3）作，分别交于H，交的延长线于G，连接，证明，得到，，根据角平分线的定义及求出，进而证明，得到，根据角平分线的性质得到，可知，根据角平分线的判定定理得到平分，进而根据三角形内角和以及等边对等角得到，可知，证明，得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，过O作，分别交、于D、E， ∵的三条内角平分线交于点， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分，， ∴， 因此． 过点分别作、、的垂线，分别交、的延长线于Q、P交于O， 根据角平分线性质，三条垂线段长度相等，说明到两边的距离相等，因此是的角平分线， ∵是的外角， ∴； 又平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 代入得： 解得：； （3）解：如图，作，分别交于H，交的延长线于G，连接， 可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式21-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 【变式21-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)① 证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． ② 理由：， ， 又，， ， ， ， ， 即． (2)， 【分析】(1) ① 在和中，利用、、，由SAS证全等，得对应角相等，从而证平行． ② 由平行得同位角相等，结合已知角等和边等，由AAS证，得，再由得出数量关系． (2) 分别过点M作于点E，于点F，于点Q，由角平分线性质定理可知，，由，可证，则平分，进而证明，同理，证明，可证明，， 设，则可依此证明，，则由可求． 【详解】（1）略 （2）分别过点M作于点E，于点F，于点Q， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∵于点E，于点F，于点Q， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型22 截长补短证明线段和差关系】 【例22】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式22-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式22-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； (2) （1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 【变式22-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) ， 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型23 等边三角形手拉手模型证明】 【例23】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 【变式23-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 【变式23-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【变式23-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，    ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型24 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例24】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 证明：如图2， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得出，，，再根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解； （2）先证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，推出，再证，进而根据证明 ，即可证明； （3）连接，作于点M，于点N，易得，可得，然后证明 ，再证明 ，即可得解． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接，作于点M，于点N， 是等边三角形， ，， ，， 在和， ， ，， ， ， 平分， 又 ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 在和， ， ， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和， ， ， ， ， ， 又 ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，第三问难度很大，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式24-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【答案】(1) ①如图1，即为所求作； ②，理由如下： 如图1，连接， B、D关于对称，， 垂直平分， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，平分， ， ， ； (2)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②连接，根据轴对称的性质可知垂直平分，，，，再由等边对等角的性质，得到，，然后证明为等边三角形，从而得出，最后利用三线合一的性质以及含30度角的直角三角形的特征，即可得出答案； （2）证明是等腰三角形，进而得出，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图2， 由题意可知，，，， 是等腰三角形， ， ， 当时，此时， ，即； 当时，此时，即； 当时，，即（舍）， 综上可知，α的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式24-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2) 证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）略 （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 【变式24-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①； ② ， ， ， ， ， 故是的中点，即点D的位置如图所示： (2)①或；② 【分析】（1）①根据题意得，，可得，得出； ②当时，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，结合已知可得为的中点，画出的垂直平分线，则垂足即可点D； （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可； ②当存在点E落在边上，，即，可得，点E可与点C重合，不与点D重合，即可求解． 【详解】（1）解：①， ， 当点E落在上时，， 可得， ， ，即； ②略 （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况， 当时， ， ， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：（不符合题意）， 当时， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上：或． 故或． ②当存在点E落在边上，， 即， ， ，点E可与点C重合，不与点D重合， ， ， 解得：， 综上所述：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和定理，平行线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【题型25 与等腰三角形有关的动点问题】 【例25】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 【变式25-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，，小 (2)的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，，根据角的和差关系得出，利用三角形外角的性质可求出，根据三角形内角和定理，结合点D从B向C运动时，逐渐变大，即可得出逐渐变小； （2）分、及三种情况，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴逐渐变小． （2）解：当时， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴点、分别与、重合，不符合题意，此种情况不存在， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：的形状是等腰三角形，的度数为或． 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 【变式25-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； (2)的度数不变， (3) 解：当点D为边上的点且不与点A，B重合时，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）利用“”即可证明； （2）根据可得，即可解答； （3）根据题意可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：的度数不变． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 即的度数始终为； （3）略 【题型26 格点图中画等腰三角形】 【例26】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式26-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【答案】(1)如图，即为所作， (2)如图，即为所作， 【分析】（1）根据网格特点，并结合全等三角形的判定定理画出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，并结合三角形面积画出图形即可． 【详解】（1）解：由网格特点可得，，， ∵， ∴； （2）解：由网格特点可得，，点到的距离是点到的距离的两倍， ∴为等腰三角形，且． 【变式26-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 【变式26-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【答案】(1)如图①，点P即为所求（答案不唯一）； (2)如图②，即为所求（答案不唯一）； (3)如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【详解】（1）解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴； （3）解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求． 【题型27 折叠构造全等边角探究】 【例27】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； (2) 证明：∵是的一条完美分割线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，即可求出两角的度数；根据两底角相等的三角形为等腰三角形证均为等腰三角形，即可得证结论； （2）根据证，即可得证结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式27-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【答案】 （1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）18 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式27-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【答案】 （1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，再证，即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式27-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【答案】问题1： 问题2：，理由： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵将边沿直线翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】问题1：根据等腰三角形的性质可得，再结合折叠的性质可得，，然后根据三角形外角的性质即可解答； （2）证明，可得，，设，可得，从而得到，进而得到，在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形，证明，可得，即可解答． 【详解】解：问题1：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折至处， ∴，， ∵，，，， ∴ 即； 问题2：略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线． 【题型28 多步连环全等推理证明】 【例28】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【答案】(1)相等 (2) ． 证明：， ， ， ， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，结合角的和差得到相等角，再通过证明三角形全等，从而得出角的数量关系； （2）通过角的和差转化得到相等的夹角，结合已知边相等的条件，用证明三角形全等，进而推导角的关系； （3）先利用全等得到角的等量关系，再结合已知角度条件推导特殊角（如），通过翻折构造全等三角形，结合线段的和差与特殊三角形的性质计算线段长度． 【详解】（1）解:． 证明：， ， ， ， 在和中， , ， ． （2）略 （3）解:由（2）知， 又， ， ， ， 即， ， 即， ， 即，， 如图，将沿翻折为，延长交延长线与点，则，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及角度的等量代换，通过构造全等或利用角度关系推导是解题关键． 【变式28-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) ① ②证明：把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②略 （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式28-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 【变式28-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【答案】(1)①等腰直角； ②证明：如图，过点E作于W． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 由（1）知，为等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠知，，， ，， 又， 在和中， ，， ， ， ． (3) 如图，在线段上取点I，使得，连接， 在与中， ，，， ， ． ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得，进而得出结果； ②可证得，，， 进而得出结论； （2）连接，可证得，可得，根据等角对等边即可得出结论； （3）在线段上取点I，使得，连接，可证，得，在证，得，，得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 ②略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。 【题型29 算术平方根非负性综合应用】 【例29】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【变式29-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 【变式29-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【变式29-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型30 实数运算新定义综合】 【例30】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 【变式30-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式30-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 【变式30-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或12． 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； （2）解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 【题型31 勾股定理折叠综合探究题】 【例31】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)等边，直角， (2) (3) 理由：将 沿 方向平移，使 与 重合，得到，连接 ， ． 由平移性质： ， ， ， ∴， 又 ， ∴ 是等边三角形，得 ， ∵ 与 不平行，∴ 三点不共线， 在 中，由三角形三边关系： ， 即 ， ∴ ． 【分析】（1）因为旋转后，旋转角等于等边三角形内角 ，所以可判断的形状；根据三边长度满足勾股定理逆定理，可判断的形状，结合角的和差关系求 ； （2）借鉴（1）的旋转思路，将 绕点B顺时针旋转 得到，连接，因为旋转角为 且，是等腰直角三角形，结合已知 可得 ，再用勾股定理求 ； （3）利用平移变换将 或 平移，构造含 角的等边三角形，结合三角形三边关系比较 与 的大小． 【详解】（1）解：将 绕A旋转得到 ， 由旋转性质得， 旋转角 ， ∴是等边三角形； 由 ， ， ，得， 由勾股定理逆定理得是直角三角形； ∴ ， ． （2）解：类比（1），将 绕点 顺时针旋转，得到，连接． 由旋转性质： ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 得， ， ∴ ， 在 中， ． （3）略 【变式31-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】． 【分析】连接，先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，然后由折叠性质可得，，设，则，在中，，即，求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， 由折叠性质可得，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，即的长为． 【变式31-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 【变式31-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【答案】(1) ①证明：由翻折可得，，， ， ， ， ，，， ； ② (2)1 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，，，求得，即，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，设点到直线的距离为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）① 略 ②解： ， ，，， ， 即， 由勾股定理得：， 由翻折可知，， ，， 由勾股定理得，， 设点到直线的距离为， ， 即， 解得， 点到直线的距离为； （2）解：，， ， ，将沿直线翻折，得到， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ． 【题型32 立体图形最短路径求解】 【例12】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 【变式32-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【答案】(1) 将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则即为最短路线 (2)居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米 【分析】（1）由居民区经过地下通道到工厂的最短路程中地下通道是定值，将平移至，根据两点之间线段最短，可得的长为居民区和工厂到铁路线的最短距离，故作图方法为：将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则四边形是平行四边形，即为最短路线； （2）过点作于点，根据题意得出各线段长，根据勾股定理求得的长，进而加上地下通道的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， ∴， 在中，， ∴最短路线长为：（米）， 答：居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米． 【变式32-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式32-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【题型33 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例33】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； (2) 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 【变式33-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 【变式33-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点． （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可； （3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：点为的中点，，，， ． ， 是直角三角形． 故答案为：直角． （2）解： 平分，，， ． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， 即． 答：的长为． （3）解：如图， 连接， ， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ，． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，， 即． 答：线段的长为． 【变式33-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴33类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 三角形~第3章 勾股定理） 【新教材苏科版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 2 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 2 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 2 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 4 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 5 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 6 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 7 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 8 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 9 【题型10 含30°直角三角形线段计算】 10 【题型11 与等腰三角形有关的多结论问题】 11 【题型12 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 12 【题型13 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 12 【题型14 勾股定理折叠求线段长度】 13 【题型15 勾股定理动点最短路径求值】 14 【题型16 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 15 【解答压轴】 16 【题型17 三角形内角、外角角度探究题】 16 【题型18 动点产生三角形角度变化探究】 19 【题型19 中线分割三角形面积综合问题】 21 【题型20 全等三角形证明与线段等量推导】 23 【题型21 角平分线性质与全等综合证明】 25 【题型22 截长补短证明线段和差关系】 28 【题型23 等边三角形手拉手模型证明】 30 【题型24 垂直平分线与等腰三角形综合】 31 【题型25 与等腰三角形有关的动点问题】 33 【题型26 格点图中画等腰三角形】 35 【题型27 折叠构造全等边角探究】 36 【题型28 多步连环全等推理证明】 38 【题型29 算术平方根非负性综合应用】 40 【题型30 实数运算新定义综合】 40 【题型31 勾股定理折叠综合探究题】 41 【题型32 立体图形最短路径求解】 43 【题型33 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 45 【选填压轴】 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【变式1-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【变式2-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 【例3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【变式3-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 【例4】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【变式4-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式4-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例6】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【变式6-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【变式6-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 【例7】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 【例8】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【变式9-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【变式9-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【题型10 含30°直角三角形线段计算】 【例10】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式10-1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【变式10-2】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【变式10-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 【题型11 与等腰三角形有关的多结论问题】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【变式11-3】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【题型12 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例12】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【题型13 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例13】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【变式13-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【变式13-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【题型14 勾股定理折叠求线段长度】 【例14】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【变式14-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【题型15 勾股定理动点最短路径求值】 【例15】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【变式15-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【变式15-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【变式15-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【题型16 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例16】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【变式16-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【解答压轴】 【题型17 三角形内角、外角角度探究题】 【例17】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【变式17-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【变式17-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【变式17-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【题型18 动点产生三角形角度变化探究】 【例18】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【变式18-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【变式18-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【变式18-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【题型19 中线分割三角形面积综合问题】 【例19】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【变式19-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【变式19-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【变式19-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【题型20 全等三角形证明与线段等量推导】 【例20】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【变式20-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【变式20-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【变式20-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【题型21 角平分线性质与全等综合证明】 【例21】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式21-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【变式21-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【变式21-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【题型22 截长补短证明线段和差关系】 【例22】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式22-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式22-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式22-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【题型23 等边三角形手拉手模型证明】 【例23】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【变式23-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式23-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【变式23-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【题型24 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例24】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【变式24-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【变式24-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【变式24-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【题型25 与等腰三角形有关的动点问题】 【例25】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【变式25-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【变式25-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【题型26 格点图中画等腰三角形】 【例26】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【变式26-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【变式26-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【变式26-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【题型27 折叠构造全等边角探究】 【例27】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【变式27-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【变式27-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【变式27-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【题型28 多步连环全等推理证明】 【例28】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【变式28-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【变式28-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【变式28-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【题型29 算术平方根非负性综合应用】 【例29】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【变式29-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【变式29-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【变式29-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【题型30 实数运算新定义综合】 【例30】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【变式30-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【变式30-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【变式30-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【题型31 勾股定理折叠综合探究题】 【例31】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【变式31-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【变式31-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【变式31-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【题型32 立体图形最短路径求解】 【例12】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【变式32-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【变式32-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【变式32-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【题型33 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例33】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【变式33-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【变式33-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【变式33-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $