精品解析：江苏连云港市赣榆实验中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

八年级第一次学情检测 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数是无理数，通常有三类数：开方开不尽的数；含的一些数；形如（每两个1之间0的个数依次增加1），据此判断即可． 【详解】解：，是有理数，及0也是有理数，而是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 2. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2或5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 3. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 4. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可． 【详解】解：∵， ∴BC=CE，∠ACB=∠DCE， ∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE， ∵， ∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 5. 如图，点在的垂直平分线上，，则的周长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段等量代换后周长转化为是正确解答本题的关键． 由于点在的垂直平分线上，根据线段的垂直平分线的性质可以得到，由此推出的周长为，然后利用已知条件即可求出的周长． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长=， 而， ∴的周长为. 故选：D． 6. 如图，点为内的一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点I分别作的垂线，垂足分别为，由题意易得，则有分别平分，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：过点I分别作的垂线，垂足分别为，如图所示： 由题意知， ∵， ∴分别平分，（角平分线的判定定理） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由三角形内角和可得． 7. 如图，在四边形中，，，M、N分别是对角线、的中点，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】连接和，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，证明；然后利用等边对等角和三角形外角定理，推导出，从而判定为等腰直角三角形；最后利用等腰直角三角形“三线合一”的性质（或直角三角形斜边中线定理），求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， ∵，M、N分别是对角线、的中点， ∴，， ∴，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵N是对角线的中点，， ∴． 8. 如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由得，同理可得，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，同高不等底的三角形面积之比为底之比，熟悉以上性质是解题关键． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 的平方根是__________． 【答案】± 【解析】 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±． 故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 10. 若，则的最大整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的大小范围，再根据找出最大整数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴的最大整数解为． 11. 若都是实数，且，的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得：， ， 故答案为：． 12. 如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线的意义，解答即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， 与的平分线相交于点， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 13. 已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形外角性质得到顶角的邻补角为，利用含角的直角三角形的性质即可求出腰上的高． 【详解】解：如图，设等腰三角形为，，底角，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵是腰上的高，为直角三角形，斜边， ∴ 14. 如图，在中，，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，利用角平分线和垂线的性质，结合公共线段，利用证明，得出；再通过对顶角的余角相等证明，结合垂直关系和已知条件，利用证明，从而得出． 【详解】解：延长交的延长线于点， 平分， ． ， ． 在和中，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， 又， ． 在和中，， ， ． 15. 如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， ， ， ， 、均为等腰直角三角形， ，； 在与中， ， ， ，； ， ， 在与中， ， ， ；而， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 16. 如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，根据垂线段最短，解答即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， 根据题意，得， ， 当三点共线时，取得最小值，且最小值为5． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．） 17. 计算与求解： （1）计算：； （2）求式中的值： ①； ②． 【答案】（1） （2）①或； ② 【解析】 【分析】（1）先分别计算各根式的值，再进行加减运算． （2）将方程整理后，分别利用平方根和立方根的定义求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ①解：， 两边同除以得：， 开平方得：， 解得或； ②解：， 移项得：， 两边同除以得：， 开立方得：． 18. 已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【解析】 【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求a，即可求得m的值，再结合立方根的定义求n的值，最后代入求算术平方根． 【详解】解： ∵ 正数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得 ， ∴， ∴ ， ∵ 的立方根是2， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 的算术平方根为． 19. 如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】略 20. 如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：连接， ∵，，又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到． 【详解】略 21. 如图，平分，点分别在上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）证明：过点D作于点G，过点D作于点H， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设交于O， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点D作于点G，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，即可得出结论； （2）设交于O，证明，得到，可知，证明，得到，可知． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母． （1）如图1，已知，请你画的角平分线和高； （2）如图2，点为内的一点，请你确定一条过点的直线分别交于点，使得． 【答案】（1）如图，角平分线和高即为所求： （2）如图，直线l、点M、点N即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线和垂线的尺规作图步骤画图即可； （2）作的平分线，再过点P作射线的垂线l交于点，则直线l、点M、点N即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图依据： 设直线l与射线相交于K， 由作图知，，又， ∴， ∴． 23. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点的延长线交于点． （1）试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）先求出，由，分别垂直平分，，可知，均为轴对称图形，从而，，进而可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∴． 24. 如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴； （2）证明：过C作于M，于N，在上截取，连接，如图， ∵， ∴，，即， ∵，， ∴，， ∴平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）过C作于M，于N，在上截取，连接，如图，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式得到，，然后根据角平分线的判定定理得到平分，则，证明是等边三角形得到，则，最后证明得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由得，结合已知边相等，利用证明，再利用对顶角和直角三角形锐角互余得，即可得； （2）先作构造直角三角形，结合中点条件证明，利用等腰直角三角形性质求出长，算出的面积，再借助中点即可得出面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 由（1）得， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ． 26. 是等边三角形，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，，． （1）如图1，过点E作．交边于点F，求证：； （2）如图2，点D在边上时，连接交边于点G，若，，求的长； （3）当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若，试探究的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1） 证明∶∵是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点E作．交射线于F，证明和，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作交边的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F， 同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F， 同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． ∴的值为或 ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次学情检测 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其它区域答题无效． 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2或5 D. 3 3. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.   B.   C.   D.   4. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 5. 如图，点在的垂直平分线上，，则的周长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，点为内的一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，M、N分别是对角线、的中点，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 的平方根是__________． 10. 若，则的最大整数解为__________． 11. 若都是实数，且，的值为______． 12. 如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，，交于点，若，则的长为__________． 13. 已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是__________． 14. 如图，在中，，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为__________． 15. 如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为______． 16. 如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．） 17. 计算与求解： （1）计算：； （2）求式中的值： ①； ②． 18. 已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 19. 如图，已知：与相交于点，，，求证：． 20. 如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 21. 如图，平分，点分别在上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：． 22. 用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母． （1）如图1，已知，请你画的角平分线和高； （2）如图2，点为内的一点，请你确定一条过点的直线分别交于点，使得． 23. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点的延长线交于点． （1）试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）连接，若，求的度数． 24. 如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 25. 如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 26. 是等边三角形，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，，． （1）如图1，过点E作．交边于点F，求证：； （2）如图2，点D在边上时，连接交边于点G，若，，求的长； （3）当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若，试探究的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $