精品解析：江苏苏州市吴江区笠泽实验初级中学 2026-2027学年第一学期阶段性学习效果评估 八年级数学试卷（10月）

笠泽初中2026-2027第一学期阶段性学习效果评估 初二 数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 2. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意知， 因为， 所以需要补的角的度数是． 3. 数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的高的概念“从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”进行判断即可得． 【详解】解：A、AD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； B、BD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； C、BD是中AC边上的高，选项说法正确，符合题意； D、AD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的概念． 4. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 5. 若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等，以及三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴它的顶角度数为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握等边对等角，以及三角形的内角和为180度． 6. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、原式不能因式分解，不符合题意； B、，符合题意； C、原式不能因式分解，不符合题意； D、原式不能因式分解，不符合题意． 7. 点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上的任意一点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理，确定点到边的距离，再利用垂线段最短即可判断的距离． 【详解】解：点在的平分线上，点到边的距离等于5， 点到边的距离为5． 垂线段最短，点是边上的任意一点． ． 8. 已知a、b、c为的三边长，且满足，，是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，由，可得，进而判定三角形的形状，将等式化为或是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， 或， 或， ∵ (舍去负值)， 为等腰三角形， 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰长为3时及当腰长为7时，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，由于，不满足三角形三边关系，舍去； 当腰长为7时，三边分别为7、7、3，由于，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：17． 10. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 【答案】AC=AD 【解析】 【分析】根据∠C=∠D=90°利用HL定理推出两三角形全等即可． 【详解】添加的条件是AC=AD，理由是： ∵∠C=∠D=90°， ∴在Rt△ACB和Rt△ADB中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）． 故答案为AD=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一． 11. 在等边中，是边上的中线，N为的延长线上的一点，且，则的度数是______． 【答案】120 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据三线合一求出，根据等边对等角求出，继而得解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，解题的关键是根据三线合一求出相应角度． 12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，将的周长转化成，即可求出答案． 【详解】解：垂直平分， ． ，，， ． 13. 如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：在中，为的角平分线，于点E，于点F． ∴， ∴， ∵面积是，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 14. 已知，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键． 15. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由新定义求出a、b的值，得到，再由新定义得到，利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 16. 如图所示框架，其中，足够长，于A，于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 三．解答题（共10小题，满分82分） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； （2）连接，若，则_____ （用含x的代数式表示）． 【答案】（1）如图所示，所作即所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据用尺规作线段的垂直平分线及角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线定义可得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再由垂直平分线的性质可得，即，即可得出的度数． 【小问1详解】 解：①如下图， 分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P、Q，连接，交边于点E，交边于点M，则即为的垂直平分线； ②如上图， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，交边、于点G、H，分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部交于点K，作射线交边于点F，则即为的平分线； 【小问2详解】 解：如下图， ，， ， 由作图知：垂直平分，平分， ，， ， ． 19. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ AC= DB ∴AB= CD，且AE= DF，BE= CF， ∴ △ABE≌△DCF (SSS) ∴∠A= ∠D， ∴AE∥DF． 【解析】 【分析】“SSS” 可证△ABE≌△DCF，可得∠A=∠D，即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长为6 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 21. 如图，在中，，于，且，． （1）求证：是的平分线； （2）试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，于， ， 在和中， ∴， ， ∵，， 平分． （2） 解：，理由如下： 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识， （1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 23. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 则，， ， ， ， ． 25. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 【答案】知识再现：a2-b2=(a+b)(a-b)；知识迁移：a3-b3；a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2)；=(a-b)( a2+ab+b2)；知识运用：（1） (2x-1)( 4x2+2x+1)（2）100. 【解析】 【分析】知识再现：根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； 知识迁移：图三的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为a3-b3;图4的几何体由3个几何体拼接而成，故可写出；再根据体积相等，故可写出等式； 知识运用：（1）根据公式直接因式分解即可；（2）先利用完全平方公式求出a2+b2，再根据题中求得的公式进行求解. 【详解】知识再现：根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式a2-b2=(a+b)(a-b) 知识迁移：如图3中的几何体的体积为a3-b3; 图4的几何体体积为a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2) ； 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：=(a-b)( a2+ab+b2) 知识运用：（1）=(2x)3-1=(2x-1)( 4x2+2x+1) （2）∵，， ∴(a-b)2=a2+b2-2ab=16， ∴a2+b2=16+2ab=22， ∴=(a-b)( a2+ab+b2)=4×（22+3）=100. 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解. 26. 如图，等边的边长为，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，为等边三角形？ （3）当点M，N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 【答案】（1）秒 （2）秒 （3）秒 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由点运动路程点运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【小问1详解】 解：设运动秒，、两点重合， 根据题意得：， ， 答：点，运动15秒后，、两点重合； 【小问2详解】 解：在等边中， ， 如图1，设点、运动秒后，为等边三角形， ， 由运动知，，， ， 解得：， 点、运动5秒后，是等边三角形； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图2，设、运动秒后，得到以为底边的等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由运动知，，， ， ， 故点，在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时，运动的时间为20秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 笠泽初中2026-2027第一学期阶段性学习效果评估 初二 数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 7. 点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上的任意一点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c为的三边长，且满足，，是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 10. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 11. 在等边中，是边上的中线，N为的延长线上的一点，且，则的度数是______． 12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 13. 如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则 ___________． 14. 已知，，则______． 15. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 16. 如图所示框架，其中，足够长，于A，于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ______________． 三．解答题（共10小题，满分82分） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； （2）连接，若，则_____ （用含x的代数式表示）． 19. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，，于，且，． （1）求证：是的平分线； （2）试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 26. 如图，等边的边长为，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，为等边三角形？ （3）当点M，N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $