培优专题02 圆与方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 圆与方程 常考题型·精准突破 考点一 圆的方程 ◆题型1 圆的标准方程和一般方程（重） ◆题型2 点与圆的位置关系 ◆题型3 圆过定点问题 ◆题型4 圆的轨迹问题（难） ◆题型5 圆的对称性的应用 考点二 直线与圆的位置关系 ◆题型6 直线与圆的位置关系（重） ◆题型7 圆的切线方程（高频） ◆题型8 圆的弦长与弦心距（高频） ◆题型9 直线与圆的应用（难） 考点三 圆与圆 ◆题型10 圆与圆的位置关系（重） ◆题型11 圆的公共弦（高频） ◆题型12 圆的公切线 ◆题型13 与圆有关的最值(范围)问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的方程 ◆题型1 圆的标准方程和一般方程 1．（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 3．（2.4.2圆的一般方程【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 4．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. ◆题型2 点与圆的位置关系 6．（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 7．（25-26高二上·广西钦州·期中）（多选）以下四个命题中正确的是（　　） A．直线与直线之间的距离是 B．如果，则直线不经过第二象限 C．“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D．直线与的交点在圆内 8．（第8讲 两种圆方程 标准与一般）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 10．（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型3 圆过定点问题 11．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 12．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 13．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 14．（2026·河北张家口·二模）（多选）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 15．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. ◆题型4 圆的轨迹问题 16．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 17．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 18．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 19．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． (1)求曲线的方程． (2)设的中点为，求点到直线距离的最大值． (3)过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型5 圆的对称性的应用 21．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（25-26高二上·四川南充·期末）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 23．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知圆关于直线对称，则圆的面积大小为___________；是圆上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为___________． 25．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． (1)求圆C的方程； (2)证明：直线AB恒过定点； (3)过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 考点二 直线与圆的位置关系 ◆题型6 直线与圆的位置关系 26．（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 27．（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 28．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 30．（25-26高二上·四川成都·期末）设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. ◆题型7 圆的切线方程 31．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 33．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 34．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 35．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 ◆题型8 圆的弦长与弦心距 36．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 37．（26-27高二上·广西·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 38．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 39．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 40．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. ◆题型9 直线与圆的应用 41．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 42．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 44．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 45．（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 考点三 圆与圆 ◆题型10 圆与圆的位置关系 46．（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 47．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 48．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 50．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. ◆题型11 圆的公共弦 51．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 52．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 53．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 54．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 55．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. ◆题型12 圆的公切线 56．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 58．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 59．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 60．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． ◆题型13 与圆有关的最值(范围)问题 61．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 62．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 63．（2026·湖南·三模）已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 64．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 2．若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 4．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 二、多选题 7．已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 8．已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 9．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 三、填空题 10．已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为__________. 11．已知直线与圆心在原点的圆相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为__________. 四、解答题 12．已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； (3)若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 14．在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求动点的轨迹方程； (2)点在动点的轨迹上，求的最大值； (3)若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 15．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值； （3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程 常考题型·精准突破 考点一 圆的方程 ◆题型1 圆的标准方程和一般方程（重） ◆题型2 点与圆的位置关系 ◆题型3 圆过定点问题 ◆题型4 圆的轨迹问题（难） ◆题型5 圆的对称性的应用 考点二 直线与圆的位置关系 ◆题型6 直线与圆的位置关系（重） ◆题型7 圆的切线方程（高频） ◆题型8 圆的弦长与弦心距（高频） ◆题型9 直线与圆的应用（难） 考点三 圆与圆 ◆题型10 圆与圆的位置关系（重） ◆题型11 圆的公共弦（高频） ◆题型12 圆的公切线 ◆题型13 与圆有关的最值(范围)问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆的方程 ◆题型1 圆的标准方程和一般方程 1．（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 2．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 3．（2.4.2圆的一般方程【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【答案】(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2 (2)方程表示一个点 (3)方程不表示任何图形 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【详解】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 4．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. ◆题型2 点与圆的位置关系 6．（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 【答案】③⑤ 【分析】将根据点点距与半径的大小关系即可判断. 【详解】由于，故点在圆内， ，故点在圆内， ，故点在圆上， ，故点在圆内， ，故点在圆上， 故答案为：③⑤ 7．（25-26高二上·广西钦州·期中）（多选）以下四个命题中正确的是（　　） A．直线与直线之间的距离是 B．如果，则直线不经过第二象限 C．“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D．直线与的交点在圆内 【答案】BD 【分析】应用平行直线间的距离公式判断A；将直线化为斜截式判断B；应用直线平行的判定列方程求参数，注意直线重合的情况判断C；求出直线的交点，再判断点与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，因直线与直线平行，则它们的距离为，故A错误； 对于B，由可化为，因，则， 则直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确， 对于C，由与平行，可得，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，两直线方程均为，即两直线重合，不符合题意，故. 故 “”是“直线与直线平行”的充要条件，即C错误； 对于D，由，可得，则交点为， 由，则，该圆的圆心为，半径为， ，故点在圆内，故D正确. 故选：BD 8．（第8讲 两种圆方程 标准与一般）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小 【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以； 法二：由在圆内，则，所以，即. 故选：D 9．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 10．（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. ◆题型3 圆过定点问题 11．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 12．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 13．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. 14．（2026·河北张家口·二模）（多选）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项； 对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解； 对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解； 对于D，根据结合选项C即可求解. 【详解】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 15．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明: 圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）略. ◆题型4 圆的轨迹问题 16．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 17．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 18．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 19．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 20．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． (1)求曲线的方程． (2)设的中点为，求点到直线距离的最大值． (3)过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)． (3)存在，点的坐标为． 【分析】（1）利用向量坐标运算，由反解出的坐标，再用代入法把满足的圆方程转化为的轨迹方程； （2）利用圆的弦中点性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦，得到，从而在以为直径的圆上；再用圆心到直线距离加半径求最大值； （3）设直线方程联立曲线，用韦达定理；由轴平分角得两斜率互为相反数，列方程消去参数求定点坐标. 【详解】（1）设，，由，得： 所以， 因为在圆上，代入得： 化简得因此曲线的方程为. （2）直线可得：， 令，得定点， 因为是弦中点，所以，又过，故， 因此在以为直径的圆上， 圆的圆心为， 该轨迹圆的圆心为中点半径 圆心到直线的距离 所以点到该直线距离的最大值为 因此最大值为. （3）当直线轴时，轴平分， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由化简，得． ． 设，，，则，， 若轴平分，则，所以． 又，，所以， 即，整理，得，解得． 所以当时，轴平分．综上，存在点，使得轴平分． ◆题型5 圆的对称性的应用 21．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 22．（25-26高二上·四川南充·期末）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【分析】先找出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点即为所求圆的圆心，从而求出对称圆的方程. 【详解】由的圆心，半径为， 设关于直线对称的点为， 则， 故对称点为，即所求圆的圆心为， 由题知圆关于直线对称后圆的半径仍然为1， 故所求圆的方程为：， 故答案为：. 23．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的一般式的判定条件可求出；再利用两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变，可求出所求圆的方程. 【详解】由 表示一个圆，因此需满足圆的判别条件： 和 的系数相等且不为零， 即，得方程 ， 解得 或 ， 当 时，方程为 ， 配方得 ，不表示实圆， 当 时，方程为 ， 配方得 ，表示圆心为 ，半径为 5 的圆. 因此 是唯一有效解，原圆方程为 . 两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变， 圆心 关于原点对称点为 ，半径不变为 5， 故所求方程为 . 故选：C 24．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知圆关于直线对称，则圆的面积大小为___________；是圆上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为___________． 【答案】 / 【分析】由题意可得直线过圆心，进而代入点的坐标可求得，进而可求圆的半径，可求得其面积；记的中点为，由已知可求得的轨迹方程，利用，求得即可. 【详解】由圆，可得圆心， 因为圆关于直线对称，所以直线过圆心， 所以，解得，所以圆， 化为标准方程得，所以圆的半径， 所以圆的面积大小为； 记的中点为，是圆上的两点，所以， 所以， 所以在以为圆心，半径为的圆上运动，又， 所以，当最大时，取最大值， 又， 所以的最大值为. 故答案为：①；②. 25．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． (1)求圆C的方程； (2)证明：直线AB恒过定点； (3)过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故， 由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径， 设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则， ∴圆， 与圆C：联立得， ∴得：，， ∴AB过定点． (3)存在， 【分析】（1）圆心在直线上，代入得到方程，解得，得到圆C的方程； （2）P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，求出此圆的方程，与圆C：联立得直线AB的方程，求出AB过定点； （3）假设存在Q，当MN斜率存在时，设，联立与圆的方程，由韦达定理得到方程，根据MQ、NQ斜率之积为1得到方程，求得，上述对恒成立，故，，求出，当MN斜率不存在时，可知，，得到满足题意，综上，可得满足要求. 【详解】（1）∵圆C关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴，解得， ∴圆的方程为：； （2）略 （3）存在点，理由如下： 假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，， 当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得， 则， ∴， 变形得到， 即， 化简得 ∵上述对恒成立， ∴，故，∴， 当MN斜率不存在时，中，令得， 可知，， 由得，， 所以满足题意． 综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 考点二 直线与圆的位置关系 ◆题型6 直线与圆的位置关系 26．（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 27．（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点，得到对称后的直线方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可. 【详解】 如图所示，由对称性可得点关于直线的对称点为， 由于点在对称轴上，因此直线关于对称的直线即为直线， 直线的斜率，则直线方程为，整理为， 已知圆的圆心为，半径，直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 即，展开整理得，解得， 结合题干给出的条件，最终得的取值范围为. 28．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 29．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 30．（25-26高二上·四川成都·期末）设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. （2）设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. ◆题型7 圆的切线方程 31．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 32．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 33．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径. 选项：点到圆心的距离平方为， 故该点在圆内，正确. 选项：圆心到直线的距离，弦长为，错误. 选项：圆的圆心为，半径，圆心距，而，故两圆外离，正确. 选项：点满足，在圆上.，则切线斜率为， 则切线方程为，即，正确. 34．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 35．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. ◆题型8 圆的弦长与弦心距 36．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 37．（26-27高二上·广西·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 38．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 39．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 40．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． ◆题型9 直线与圆的应用 41．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为， 42．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可. 【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，， ，解得， 所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， 易得等边的高，所以点在圆外， 要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时， 则，与的夹角为， 在中，. 43．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 44．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 45．（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【答案】(1)，()； (2)米. 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧所在圆方程为 且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在圆方程求y，即可知的长度 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，    设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 考点三 圆与圆 ◆题型10 圆与圆的位置关系 46．（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 47．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 48．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 49．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    50．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在． 【分析】（1）由数量积公式求解即可； （2）假设存在点满足，得，再联立两个圆的方程判断是否相交即可． 【详解】（1）， 由，得，得， 故点的轨迹方程为：． （2）假设存在点满足， 则， 得， 联立两方程，两式相减，得， 将代入，得， 判别式， 则不存在满足条件的点． ◆题型11 圆的公共弦 51．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 52．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 53．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 54．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A，根据两圆外切判断；对于B，结合，半径相等即可判断；对于C，根据图象，当直线过点，则，直线方程为时，满足；当和时，满足，进而判断C；对于D，结合题意得，再求最值即可判断. 【详解】已知圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 弦长公式：，其中为圆心到直线的距离， 对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误； 对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：， 圆心到直线距离： 圆心到直线距离： 所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确； 对于C选项，由B知，当直线过点，则， 因为，故，又 所以，由弦长公式，，解得， 所以，当时，. 当直线为水平线时，， 因为，即，即， 整理得，解得或 所以，当和时，， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误； 对于D选项，当，直线，即，， 所以，， 因为，当时取得等号， 所以，，当时取得等号，即取得最大值， 此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确. 55．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为5 (3)相交， 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【详解】（1）因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. （2）因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. （3）将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. ◆题型12 圆的公切线 56．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 57．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 58．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 【答案】 【分析】由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 【详解】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 59．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 60．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. ◆题型13 与圆有关的最值(范围)问题 61．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 62．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【分析】将所求代数式转化为圆上动点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径求解斜率最大值. 【详解】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，得， 得 ，化简得，解得或，因此的最大值为，即的最大值为. 63．（2026·湖南·三模）已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时. 64．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 65．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即 ，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 2．若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由直线经过第一、二、四象限可得,,由于圆心为,即可判断圆心的位置. 【详解】由题,因为直线经过第一、二、四象限, 所以,, 因为圆的方程为, 所以圆心为,则,, 所以圆心位于第四象限, 故选:D 【点睛】本题考查直线的图象性质的应用,考查圆的图象性质的应用. 3．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把圆与圆的方程相减可得圆与圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，由弦长公式求得弦长． 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 4．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：B. 5．若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆关于轴的对称圆的方程，与圆的圆心距为，即，即可得到答案. 【详解】圆关于轴的对称圆为圆，其方程为， 根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为， 要满足题意，只需，解得 故选：A. 6．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 二、多选题 7．已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 【答案】ACD 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可. 【详解】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 8．已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 9．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为__________. 【答案】1 【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而可得答案. 【详解】圆 的方程为：， 化为标准式得：， 因此，圆 的圆心为 ，半径为 2， 弦长公式为：，为圆心到直线的距离， 把代入得： ， 解得：. 因此，直线通过圆心 . 即： 解得：. 故答案为：1 11．已知直线与圆心在原点的圆相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为__________. 【答案】15 【分析】根据圆的切线性质，可得圆的半径，根据对数函数的性质求得定点坐标，再根据弦长公式以及基本不等式，可得答案. 【详解】由原点到直线的距离，则圆的半径， 由，则，即， 由题意作，，分别垂足为，如下图： 易知四边形为矩形，则， 易知四边形的面积 ， 当且仅当，等号成立. 故答案为：. 四、解答题 12．已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【详解】（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． （2）如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； (3)若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)过定点， 【分析】（1）直接法求轨迹，设，代入坐标化简即可； （2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得； （3）设，用表示出切点弦方程，根据方程可知过定点． 【详解】（1）设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； （2）易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 （3）设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 14．在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求动点的轨迹方程； (2)点在动点的轨迹上，求的最大值； (3)若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. （2）由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. （3）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或.      15．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值； （3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． 【答案】（1）＋＝2； （2）－4； （3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． 由得＋2k(1－k)x＋－2＝0， 因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解， 故可得＝， 同理＝， 所以＝＝＝． 所以直线OP和AB一定平行． 【分析】（1）求圆心M关于直线x＋y＋2＝0的对称点即可； （2）设出点Q的坐标，利用向量的坐标表示，然后利用三角代换即求； （3）由题知直线PA和直线PB的斜率存在，可设直线方程，联立圆的方程可求,，可得直线AB的斜率，从而可判断. 【详解】（1）设圆心C(a，b)，由于圆M的圆心M(-2,-2)， 则，解得 则圆C的方程为＋＝， 将点P的坐标代入，得＝2， 故圆C的方程为＋＝2. （2）设Q(x，y)，则＋＝2，可设， 则， ∴当时，取得最小值－4， 所以的最小值为－4．                                                              （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程 常考题型·精准突破 考点一 圆的方程 ◆题型1 圆的标准方程和一般方程 1． 【答案】C 2． 【答案】AC 3． 【答案】(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2 (2)方程表示一个点 (3)方程不表示任何图形 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【详解】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. ◆题型2 点与圆的位置关系 6． 【答案】③⑤ 7． 【答案】BD 8． 【答案】D 9． 【答案】 10． 【答案】B ◆题型3 圆过定点问题 11． 【答案】或 12． 【答案】3 13． 【答案】ACD 14． 【答案】BCD 15． 【答案】(1)或. (2)证明: 圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）略. ◆题型4 圆的轨迹问题 16． 【答案】 17． 【答案】（） 18． 【答案】A 19． 【答案】A 20． 【答案】(1) (2)． (3)存在，点的坐标为． 【分析】（1）利用向量坐标运算，由反解出的坐标，再用代入法把满足的圆方程转化为的轨迹方程； （2）利用圆的弦中点性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦，得到，从而在以为直径的圆上；再用圆心到直线距离加半径求最大值； （3）设直线方程联立曲线，用韦达定理；由轴平分角得两斜率互为相反数，列方程消去参数求定点坐标. 【详解】（1）设，，由，得： 所以， 因为在圆上，代入得： 化简得因此曲线的方程为. （2）直线可得：， 令，得定点， 因为是弦中点，所以，又过，故， 因此在以为直径的圆上， 圆的圆心为， 该轨迹圆的圆心为中点半径 圆心到直线的距离 所以点到该直线距离的最大值为 因此最大值为. （3）当直线轴时，轴平分， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由化简，得． ． 设，，，则，， 若轴平分，则，所以． 又，，所以， 即，整理，得，解得． 所以当时，轴平分．综上，存在点，使得轴平分． ◆题型5 圆的对称性的应用 21． 【答案】A 22． 【答案】 23． 【答案】C 24． 【答案】 / 25． 【答案】(1) (2) 证明：直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故， 由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径， 设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则， ∴圆， 与圆C：联立得， ∴得：，， ∴AB过定点． (3)存在， 【分析】（1）圆心在直线上，代入得到方程，解得，得到圆C的方程； （2）P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，求出此圆的方程，与圆C：联立得直线AB的方程，求出AB过定点； （3）假设存在Q，当MN斜率存在时，设，联立与圆的方程，由韦达定理得到方程，根据MQ、NQ斜率之积为1得到方程，求得，上述对恒成立，故，，求出，当MN斜率不存在时，可知，，得到满足题意，综上，可得满足要求. 【详解】（1）∵圆C关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴，解得， ∴圆的方程为：； （2）略 （3）存在点，理由如下： 假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，， 当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得， 则， ∴， 变形得到， 即， 化简得 ∵上述对恒成立， ∴，故，∴， 当MN斜率不存在时，中，令得， 可知，， 由得，， 所以满足题意． 综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 考点二 直线与圆的位置关系 ◆题型6 直线与圆的位置关系 26． 【答案】C 27． 【答案】A 28． 【答案】D 29． 【答案】ABC 30． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. （2）设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. ◆题型7 圆的切线方程 31． 【答案】AC 32． 【答案】 33． 【答案】ACD 34． 【答案】 35． 【答案】D ◆题型8 圆的弦长与弦心距 36． 【答案】B 37． 【答案】A 38． 【答案】B 39． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 40． 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． ◆题型9 直线与圆的应用 41．【答案】C 42． 【答案】B 43． 【答案】B 44．【答案】0.68m 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 45． 【答案】(1)，()； (2)米. 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧所在圆方程为 且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在圆方程求y，即可知的长度 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，， 设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 考点三 圆与圆 ◆题型10 圆与圆的位置关系 46． 【答案】B 47． 【答案】BC 48． 【答案】A 49． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线 的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 . 50． 【答案】(1) (2)不存在． 【分析】（1）由数量积公式求解即可； （2）假设存在点满足，得，再联立两个圆的方程判断是否相交即可． 【详解】（1）， 由，得，得， 故点的轨迹方程为：． （2）假设存在点满足， 则， 得， 联立两方程，两式相减，得， 将代入，得， 判别式， 则不存在满足条件的点． ◆题型11 圆的公共弦 51． 【答案】 52． 【答案】 53． 【答案】A 54． 【答案】BD 55． 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为5 (3)相交， 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【详解】（1）因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. （2）因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. （3）将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. ◆题型12 圆的公切线 56． 【答案】C 57． 【答案】 58． 【答案】 59． 【答案】或 60． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. ◆题型13 与圆有关的最值(范围)问题 61． 【答案】C 62． 【答案】 63． 【答案】 64． 【答案】B 65． 【答案】AD 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A B A A ACD ABD ACD 10． 【答案】1 11． 【答案】15 12． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【详解】（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． （2）如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 13． 【答案】(1) (2)或 (3)过定点， 【分析】（1）直接法求轨迹，设，代入坐标化简即可； （2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得； （3）设，用表示出切点弦方程，根据方程可知过定点． 【详解】（1）设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； （2）易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 （3）设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 14． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. （2）由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. （3）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或. 15． 【答案】（1）＋＝2； （2）－4； （3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． 由得＋2k(1－k)x＋－2＝0， 因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解， 故可得＝， 同理＝， 所以＝＝＝． 所以直线OP和AB一定平行． 【分析】（1）求圆心M关于直线x＋y＋2＝0的对称点即可； （2）设出点Q的坐标，利用向量的坐标表示，然后利用三角代换即求； （3）由题知直线PA和直线PB的斜率存在，可设直线方程，联立圆的方程可求,，可得直线AB的斜率，从而可判断. 【详解】（1）设圆心C(a，b)，由于圆M的圆心M(-2,-2)， 则，解得 则圆C的方程为＋＝， 将点P的坐标代入，得＝2， 故圆C的方程为＋＝2. （2）设Q(x，y)，则＋＝2，可设， 则， ∴当时，取得最小值－4， 所以的最小值为－4． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $