精品解析：福建漳州市龙文区通源学校2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试卷

通源学校2026-2027学年上学期八年级质量检测（一） 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1. 下列各数中，属无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根， 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）进行判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，是有理数，故本选项错误； B、，是有理数，不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、不是无理数，故本选项错误； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 7，8，9 B. 4，5，6 C. 8，9，10 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意． 3. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵，∴ A错误； B、∵，∴ B正确； C、∵，∴ C错误； D、∵，∴，D错误． 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 6. 下列说法正确的是（） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 5的平方根是25 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．9的平方根是，故A错误． B．负数有一个负的立方根，故B错误． C．， 又的算术平方根是， 的算术平方根是，故C正确． D．5的平方根是，故D错误． 7. 如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ） A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可． 【详解】如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C， 由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m， ∴∠ACB=90°， ∴m， ∴BC+AB=6+10=16m， ∴旗杆折断之前的高度是16m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 8. 已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A， ∵，三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， ∴A不符合题意； 对于选项B， ∵，设， 则，根据三角形三边关系判断不是三角形，更不是直角三角形， ∴B符合题意； 对于选项C， ∵，， ∴， 整理得， ∴，是直角三角形， ∴C不符合题意； 对于选项D， ∵， ∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形， ∴D不符合题意． 故选：B． 9. 已知实数a、b满足，则等于（ ） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 10. 设 ，则 的值为（ ） A. B. C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 12. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算得；根据圆的对称性和数轴的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵Rt△ABC的直角边AB在数轴上 ∴ ∴ ∵以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D ∴ ∴点D表示的实数为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、数轴、圆的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为_________．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】25 【解析】 【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出AE的距离． 【详解】将半圆面展开可得： AD=米，DE=DC-CE=AB-CE=20-5=15米， 在Rt△ADE中，米， 即滑行的最短距离为25米， 故答案为：25. 【点睛】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题． 16. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求满足下列各式的未知数： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【小问1详解】 解：； ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ； 解得 或 ． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 的平方根是 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义列方程，求解得到、的值，再计算的平方根． 【详解】解： ∵的算术平方根是 ∴ 解得 ∵的立方根是 ∴ 将代入，得 解得 ∴ ∴的平方根是． 20. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为． 【解析】 【分析】连接，将这块地分割为和，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后求出和的面积之和，即为这块地的面积． 【详解】解：如图，连接，将这块地分割为和． ， 是直角三角形， 由勾股定理，， ． 在中，，，， ， 是直角三角形． ． 答：这块地的面积为． 21. 阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后得到的差就是小数部分，于是的小数部分为．请解答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是_______； （2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1）2，； （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 22. 如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响?为什么? （2）若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】（1）货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）学校受噪音影响时间是6秒 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 23. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，__________； （2）已知：，，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：，， ∴； 【小问3详解】 解： ． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用图2验证勾股定理． （2）【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设边上的高为， ∵， ∴． ∴中边上的高是； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得． 25. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 【小问3详解】 当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通源学校2026-2027学年上学期八年级质量检测（一） 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1. 下列各数中，属无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 7，8，9 B. 4，5，6 C. 8，9，10 D. 5，12，13 3. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 5的平方根是25 7. 如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ） A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m 8. 已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a、b满足，则等于（ ） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 设 ，则 的值为（ ） A. B. C. 10 D. 11 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. ______． 12. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 13. 如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为____________． 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 15. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为_________．（边缘部分的厚度忽略不计） 16. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求满足下列各式的未知数： （1）； （2）． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是3，求的平方根． 20. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积． 21. 阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后得到的差就是小数部分，于是的小数部分为．请解答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是_______； （2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 22. 如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响?为什么? （2）若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 23. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，__________； （2）已知：，，求的值． （3）计算：． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用图2验证勾股定理． （2）【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 25. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $