3.1.3 直线与椭圆的位置关系（知识清单，知识点+六大易错点+十三大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.3 直线与椭圆的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　点与椭圆的位置关系 2 🔷知识点二　直线与椭圆的三种位置关系及判定 2 🔷知识点三　弦长公式 3 🔷知识点四　中点弦问题（点差法） 3 🔷知识点五　焦点弦问题 3 4 易错点1：点与椭圆位置关系判定，搞反大小关系或用错分母 4 易错点2：不能用"中心到直线的距离"判定位置关系 5 易错点3：求弦长时遗漏直线斜率不存在的情况 6 易错点4：点差法求中点弦后，要验证直线与椭圆相交 8 易错点5：焦半径、焦点弦公式加减号混淆 8 易错点6：设直线方程时遗漏特殊情况 9 11 题型1：点和椭圆的位置关系 11 题型2：讨论椭圆与直线的位置关系 13 题型3：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 15 题型4：求椭圆的切线方程 17 题型5：椭圆中的弦长问题 19 题型6：椭圆的焦半径与焦点弦问题 22 题型7：椭圆的中点弦 25 题型8：椭圆中的参数范围及最值 28 题型9：椭圆中三角形（四边形）的面积 32 题型10：椭圆中的定点问题 37 题型11：椭圆中的定值问题 43 题型12：椭圆中的定直线问题 49 题型13：椭圆中的向量问题 57 🔷知识点一　点与椭圆的位置关系 平面内的点与椭圆有三种位置关系：点在椭圆内、点在椭圆上、点在椭圆外，采用代入比较法判定。 1. 以焦点在轴的椭圆为例，任取一点： (1) 若 点在椭圆内； (2) 若 点在椭圆上； (3) 若 点在椭圆外。 2. 焦点在轴的椭圆，对应将与的分母互换，判定规则一致。 3. 几何意义： (1) 点在椭圆内：过该点的直线与椭圆必有两个交点，以该点为中点的弦一定存在； (2) 点在椭圆上：过该点有且只有一条切线，该点为切点； (3) 点在椭圆外：过该点可作椭圆的两条切线。 ⚠️特别提醒 · 判定口诀：小于在内，等于在上，大于在外，与1比较大小即可快速判断。 · 中点弦问题可先代入判定中点位置，若点在椭圆外，可直接判定不存在中点弦，无需计算。 🔷知识点二　直线与椭圆的三种位置关系及判定 直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 2 相切 1 相离 0 ⚠ 特别提醒 · 椭圆没有类似圆的"圆心距判定法"，判别式法是唯一通用的判定方法。 🔷知识点三　弦长公式 1. 弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，或。 2. 特殊弦——通径：过焦点且垂直于长轴的弦称为通径，是椭圆中最短的焦点弦，长度为。 ⚠ 特别提醒 · 弦长公式的核心是韦达定理，无需解出交点坐标，体现"设而不求"的思想。 · 通径是焦点弦的最小值，可直接作为结论用于选择填空题。 🔷知识点四　中点弦问题（点差法） 已知椭圆内一点，求以该点为中点的弦所在直线方程，核心方法为点差法（设而不求法）。 以焦点在轴的椭圆为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在椭圆上，代入椭圆方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 方法一：联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，验证判别式 ； 方法二：若已知中点 在椭圆内部，验证 ，满足则中点弦存在。 焦点在轴的椭圆，对应中点弦斜率为。 ⚠ 特别提醒 · 点差法适用于中点弦问题，计算量远小于联立判别式法。 · 中点在椭圆内部时，中点弦一定存在；中点在椭圆上时，不存在弦，此时对应的直线是椭圆在该点处的切线；中点在椭圆外时，不存在这样的中点弦。 · 点差法是先假设弦存在再求斜率，求出直线后必须验证，否则可能出现求出直线但无对应弦的情况。 🔷知识点五　焦点弦问题 过椭圆焦点的弦称为焦点弦，可结合焦半径公式计算弦长。 1. 焦点在轴的椭圆： (1) 右焦点弦长： (2) 左焦点弦长： (3) 焦点弦最值：最长焦点弦为长轴（长），最短焦点弦为通径（长）。 2. 焦点在y轴的椭圆： (1) 上焦点弦长： (2) 下焦点弦长： (3) 焦点弦最值：最长焦点弦为长轴（长），最短焦点弦为通径（长）。 ⚠ 特别提醒 · 焦点在轴：焦半径左加右减，用横坐标计算； · 焦点在轴：焦半径上加下减，用纵坐标计算； · 焦点弦长公式可通过焦半径规律推导记忆，无需死记硬背。 · 两种椭圆的通径公式形式一致，都是 。 易错点1：点与椭圆位置关系判定，搞反大小关系或用错分母 【易错点】 判定点的位置时，大于1小于1搞反大小关系；或焦点在轴时，仍用对应大分母，代入公式错误。 【易错消除】 牢记"小于在内，大于在外"；焦点在哪条轴，哪条变量对应大分母，代入时先确认椭圆焦点位置 【易错例题】1．（25-26高二上·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】列出向量，，然后得到，由条件“”得点与圆的位置关系，由条件“”得点与椭圆的位置关系，数形结合即可得到结论. 【详解】，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 易错点2：不能用"中心到直线的距离"判定位置关系 【易错点】 不能用椭圆中心到直线的距离判断位置关系，椭圆不是等距曲线。 【易错消除】 直线与椭圆的位置关系唯一通用判定方法是判别式法，几何距离法仅可辅助理解，不能作为判定依据。 【易错例题】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 易错点3：求弦长时遗漏直线斜率不存在的情况 【易错点】 默认直线斜率存在，设斜截式方程并用斜率式弦长公式，漏掉直线垂直于轴（斜率不存在）的情况，造成漏解。 【易错消除】 1. 题目未说明直线斜率存在时，分斜率存在、斜率不存在两类讨论； 2. 斜率不存在时，直接代入，求出交点纵坐标，弦长为。 【易错例题】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 易错点4：点差法求中点弦后，要验证直线与椭圆相交 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为结果，忽略验证直线与椭圆是否有两个交点；当中点在椭圆外时，不存在中点弦，结果错误。 【易错消除】 点差法求出直线后，必须联立椭圆方程验证；若已知中点在椭圆内部，可省略验证。 【易错例题】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 易错点5：焦半径、焦点弦公式加减号混淆 【易错点】 记忆焦半径公式时加减号搞反，导致焦点弦长计算错误。 【易错消除】 焦点在轴，牢记焦半径"左加右减"规律，用通径公式验证：右焦点弦在时，弦长，与通径一致，即可确认公式正确。 焦点在y轴，牢记焦半径"上加下减"规律。 【易错例题】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 易错点6：设直线方程时遗漏特殊情况 【易错点】 设直线为斜截式时，容易漏掉斜率不存在的特殊情况；使用截距式时，容易漏掉过原点、平行坐标轴的特殊直线。 【易错消除】 过定点的直线问题，优先考虑斜率存在的情况，再单独验证斜率不存在的特殊直线；若选用截距式，需要额外检验过原点、平行坐标轴的的情形。 【易错例题】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求的焦距； (2)若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据椭圆定义中，，的关系从而求解焦距。（2）由题意可知点在的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 【详解】（1）由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距. （2）由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得， 即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 题型1：点和椭圆的位置关系 方法技巧 设椭圆方程，点，代入左侧式子计算： 1. 若，点在椭圆内。 2. 若，点在椭圆上。 3. 若，点在椭圆外。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【答案】C 【详解】把点的横、纵坐标代入椭圆的方程左边，得， 所以点在椭圆外. 【例题1.2】（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 【变式1.1】（2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 【变式1.2】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，则（   ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆的离心率的取值范围是 C．椭圆的离心率的取值范围是 D．椭圆的离心率的取值范围是 【答案】D 【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断选项. 【详解】解：由题意得，又点在椭圆外， 则，解得， 所以椭圆的离心率:， 即椭圆的离心率的取值范围. 故选：D. 题型2：讨论椭圆与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与椭圆方程，消去一个变量，得到一元二次方程。 2. 计算一元二次方程判别式，注意二次项系数恒大于0。 3. ，直线与椭圆相交，有2个公共点；，直线与椭圆相切，有1个公共点；，直线与椭圆相离，无公共点。 4. 含参数直线，需要讨论斜率是否存在，防止漏解。 【例题2.1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 【例题2.2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 【变式2.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 题型3：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与椭圆方程，消元得到一元二次方程。 2. 根据相交、相切、相离条件，写出对应的不等式或等式。 3. 解不等式得到参数范围。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的情况。 【例题3.1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 【例题3.2】（2026·广西河池·二模）已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点确定，并写出含 的椭圆标准方程，将直线代入后利用相切条件求出，最后计算离心率即可. 【详解】由题意得 椭圆焦点为，，因此焦点在轴上，， 由，得，椭圆标准方程为 . 将直线代入椭圆方程，整理得 ， 因为椭圆与直线相切，因此一元二次方程判别式 ， 整理得，解得（舍去，因），因此， 离心率. 【变式3.1】（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 【变式3.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由，得. ，解得. 故选：B. 题型4：求椭圆的切线方程 方法技巧 1. 点在椭圆上，切线方程：； 点在椭圆上，切线方程：。 2. 点在椭圆外，设切线方程并联立椭圆，利用求斜率，得到两条切线。 3. 焦点在轴，斜率为的椭圆切线方程：；焦点在轴：。 4. 注意斜率不存在的切线，单独验证。 【例题4.1】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 【例题4.2】（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 【变式4.1】（25-26高三下·北京·强基计划）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【答案】 【详解】设过点的椭圆切线方程为，联立椭圆得： ， 则，化简整理得， 方程的两根对应切线的两条斜率，由韦达定理得， 已知两条切线互相垂直，故， 故，解得． 【变式4.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【答案】（答案不唯一，可以为） 【分析】求出直线所过定点，设出的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. 【详解】由题意得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点， 由直线与椭圆相切，得直线不垂直于轴，设其方程为， 由，消去得， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 题型5：椭圆中的弦长问题 方法技巧 1. 联立直线和椭圆方程，设交点，由韦达定理写出。 2. 弦长公式：，其中要存在。 3. 若消去保留，弦长公式：，其中。 4. 计算前保证，保证直线与椭圆相交。 【例题5.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 【例题5.2】（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. 【变式5.1】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 【变式5.2】（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）依题意写出过点，的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意，可得，解得 椭圆的标准方程为． （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为， 点，所在直线方程为． 联立，消去并整理得． 设，，则，， ． 题型6：椭圆的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径（为下焦点 / 左焦点，为上焦点 / 右焦点）： 焦点在轴，椭圆上点，焦半径； 焦点在轴，椭圆上点，焦半径。 2. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交所得弦，弦长可使用焦半径相加。 3. 焦点弦长也可以联立直线椭圆，用弦长公式求解。 4. 过焦点且倾斜角为的焦点弦，选填题可以使用焦点弦二级结论快速计算： (1) 焦点在轴的椭圆，焦点弦长。 (2) 焦点在轴的椭圆，焦点弦长。 (3) 当（直线垂直于长轴），焦点弦为通径，长度为，是过焦点的最短弦。 【例题6.1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 【例题6.2】（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【详解】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 【变式6.2】（专题进阶检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 题型7：椭圆的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入椭圆方程作差，构造中点与斜率的关系式。 2. 点差法结论：（焦点在轴），（焦点在轴）。 3. 求出直线方程后，必须带回椭圆检验，验证弦真实存在。 4. 也可联立方程，利用韦达定理求解。 【例题7.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 【例题7.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，再利用点差法可求得线段中点的横坐标. 【详解】设点、，则线段的中点为， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 故， 因为，这两个等式作差得， 即，故①， 又因为点在直线上，故②， 联立①②可得，， 因此线段中点的横坐标为. 故选：D. 【变式7.1】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 【变式7.2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 题型8：椭圆中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线椭圆，用韦达定理构造目标函数，转化为函数值域求最值。 2. 三角换元法：转化三角函数求最值。 (1) 焦点在x轴：设。 (2) 焦点在y轴：设x=bcosθ，y=asinθ。 3. 几何法：利用椭圆定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 4. 求范围时，注意、椭圆上点的有界性等限制条件。 【例题8.1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设直线方程为，与椭圆方程联立，用表示出线段中点的坐标，根据中点在直线上，求出的值，再利用求得的取值范围；或根据中点坐标公式，利用点差法求得直线的斜率，并根据中点在直线上求出线段的中点坐标，根据中点在椭圆内求得的取值范围. 【详解】由题意知，设直线. ，得. 则. 所以线段中点的横坐标为，纵坐标为. 因为线段的中点在直线上，，解得. 所以，解得． 方法二：由题意知，设． ∵线段的垂直平分线为. 设线段的中点为，则点在直线上，即. 因为是椭圆上的点，所以. 两式相减，得，即. 由中点坐标公式得，可得， 所以.代入，得. 因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部， 所以，即，解得． 故选：C. 【例题8.2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和三角形面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，设的内切圆的半径为， 由，则，，，所以，， 由，即， 若的面积最大，即最大，又因为，所以， 所以，故D正确. 【变式8.1】（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上的动点. (1)求椭圆的方程； (2)若是钝角，求点横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，结合，解出即可求解； （2）设点，由已知得，利用两点间距离公式得，又，进而求解. 【详解】（1）由题意得：，所以， 又，所以，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，所以，又， 又因为是钝角，所以， 所以，即①， 又，代入①得，所以， 所以点横坐标的取值范围. 【变式8.2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用焦距求出，结合椭圆上点到焦点最大距离求出，再求出，写出椭圆标准方程； （2）底边固定，当点纵坐标绝对值最大时高最大，代入面积公式求最大值； （3）将两点代入椭圆方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，写出直线方程并验证判别式． 【详解】（1）由焦距为2得， 到的最大距离为， 所以， ， 所以椭圆的方程为． （2）当为椭圆短轴顶点时， 与两焦点所围成的△面积最大， 所以， 所以△的面积的最大值为． （3）设，， 代入椭圆方程得，， 两式相减得， 由中点，得，， 代入得直线斜率，故直线l的方程为， 即，将直线l的方程代入椭圆方程得， ，符合题意， 所以直线l的方程为． 题型9：椭圆中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 基础公式：底高；以弦长为底，点到直线距离为高。 2. 焦点三角形面积：，为椭圆上点对两焦点的张角。 3. 四边形常拆成两个三角形求和，优先考虑对角线分割。 4. 联立方程，结合韦达定理表达面积，转化为函数求最值。 【例题9.1】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆长轴长、椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】由椭圆的标准方程可知：，因此. A：椭圆C长轴长为，因此本选项说法不正确； B：的周长为，因此本选项说法正确； C：由椭圆的性质可知：的最小值为，因此本选项说法不正确； D：设点，因此有. 因为， 所以面积的最大值为，因此本选项说法正确. 【例题9.2】（2026高三上·全国·专题练习）设直线l：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上动点，则使的面积为的点P的个数为______ 【答案】2 【分析】求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解的个数，即可选出答案. 【详解】直线关于原点对称的直线为 联立，解得或 则，，所以 又的面积为，所以边上的高为 设，则，点到直线的距离 化简得：或 联立，得，其中，故方程无解； 或，得，其中，方程有两个不同解. 即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个. 【变式9.1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 【变式9.2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得即可求椭圆方程； （2）设出的方程为，利用直线与椭圆求出，由的方程得到的方程，利用直线与圆的位置关系，求出，则四边形的面积，利用的变化即可求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，则. 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的方程得. 设的方程为，，. 联立得，故 . 过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为， 所以， 故四边形面积：. 因为，所以. 则，得. 所以. 当的斜率为0时，， 则， 当的斜率不存在时，， 则， 故四边形面积的取值范围为. 题型10：椭圆中的定点问题 方法技巧 1. 设含参数的直线方程，联立椭圆，利用韦达定理得到关系式。 2. 根据题干条件列出等式，化简消去参数。 3. 找到不受参数变化影响的点坐标。 4. 特殊值探路：取参数两个特殊值，求出两条直线交点，再验证该点恒满足条件。 【例题10.1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，直线过点交椭圆于两点，是否存在一定点，使得为定值？ 【答案】存在 【分析】设点．设直线方程，代入椭圆方程化简结合韦达定理得．，．计算．为定值，分式的值不随的变化而变化，计算点． 【详解】如图，设点． 设，代入，得． 化简得，于是． 故， ． 因为 ， 所以 ． 因为为定值，可知分式的值不随的变化而变化，所以，得． 故存在定点． 【例题10.2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 【分析】（1）根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据同焦点可得椭圆方程与离心率； （2）根据，可得为线段的中点，结合中点公式及点在椭圆上，可得解； （3）分情况讨论当与轴平行及不平行时直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）略. 【变式10.1】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在使得为定值. 【分析】（1）根据离心率以及点，联立方程即可求解， （2）根据勾股定理以及椭圆的定义，结合等面积法即可求解， （3）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据向量的坐标运算即可化简求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得, 故椭圆方程为 （2）设,且， 由于，又，故, ，即可， 由于,故， 将代入椭圆方程可得,故. （3），设直线,， 将代入椭圆方程中化简可得， 设, 故,从而， ， 要使为定值，则需满足，故， 故存在使得为定值. 【变式10.2】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知椭圆：，（）的左、右焦点分别为、，点是上的点，且，离心率． (1)求的标准方程； (2)设，． ①若点位于第一象限，直线，的斜率分别为，，求的取值范围； ②设直线：与交于，两点（不与M重合），若（为坐标原点），试判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，理由如下： 设，， 设直线， 联立，消去得，整理得， 则，由可知，则， 所以 ，即，即， 所以，整理得， 即，故， 所以直线， 令，即，此时，则直线过定点. 【分析】（1）由椭圆定义直接求出；由离心率算出；用求出，即可写出椭圆标准方程. （2）①先设第一象限内点，写出两条直线斜率，相乘得到；利用椭圆方程把替换成含的表达式，将乘积化为只含的函数；根据在第一象限，确定，再利用函数单调性求出取值范围.②条件，几何意义是直线关于轴对称，等价于斜率之和；把直线和椭圆联立，得到一元二次方程，用韦达定理写出与；将斜率相加为的式子通分展开，再把韦达定理的结果代入化简，得到的关系式；把关系式代回直线方程，整理成点斜式，令参数的系数为0，求出定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义得到，故， 所以由离心率得， 由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①设，因为点位于第一象限，所以且满足，即， 因为，，所以，则， 令，由在第一象限，得，故， 则， 因为，所以，所以，则，即，即， 所以的取值范围是. ②略 题型11：椭圆中的定值问题 方法技巧 1. 选取合适参数，设点或设直线，联立椭圆得到韦达定理。 2. 将目标表达式用韦达定理的代换。 3. 化简表达式，参数会全部消去，得到固定常数。 4. 可先用特殊位置猜出定值，再做一般性证明。 【例题11.1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 【例题11.2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【答案】(1)，； (2)    设，， 则，，， 所以方程，令时，，即， 方程为，令时，，即， 则， 所以， 即，所以， 故为定值． 【分析】（1）根据椭圆定义可知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程； （2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线的方程，求出M点坐标，同理写出方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得． 【详解】（1）依题意，得，， 所以圆方程，椭圆方程． （2）略 【变式11.1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，，   ∴ ． 【变式11.2】（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)（i），且不同时为0. （ii）曲线，且不同时为0，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理可得， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由题意，得，则，即， 因为椭圆E经过点，所以， 则，解得，则， 所以椭圆E的方程为. （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，，直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得， 代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点. 综上所述，曲线的方程为，且不同时为0. （ii）略 题型12：椭圆中的定直线问题 方法技巧 1. 引入参数，设点、设直线，联立椭圆，写出韦达定理。 2. 利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 得到与参数无关的直线方程。 4. 特殊位置先预判定直线，再进行一般情况证明。 【例题12.1】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 据题意，假设存在平行于AB的直线l， 设直线l的方程为，设，， 联立，得， ，即， ，， 因为以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形， 所以，即成立， ，， ， ， 整理得． 代入， 得，即或， 当时，，则， 又因为，解得． 当时，直线l方程为与直线AB重合，不符合题意，舍去； 当时，直线l方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去； 所以不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形． 【分析】(1）根据离心率可得，再结合可得，即可得椭圆方程； (2）设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可. 【详解】（1）由已知可得，解得． 故椭圆C的方程为． （2）不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形，理由略. 【例题12.2】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）由题设可得，据此可得椭圆方程； （2）当l斜率存在时，设，将直线的方程与椭圆的方程联立，设，由结合韦达定理可得直线方程； （3）设，验证是否为0可完成证明. 【详解】（1）由已知得，所以． 因为，所以． 所以，即． 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意可知，所以； 因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，设与交于两点． 此时，不满足题意． 当斜率存在时，设，即． 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组 消去，整理得，由已知可知， 设， 由韦达定理可知， 因为， 将代入上式可得 ， 即， 解得，即． 方程为或者． （3）不妨设， 令，则，即， 因为，， 所以， 其中分子为，故，即， 所以三点共线． 【变式12.1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2) ①证明：由（1）知，; 设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，可得，即点在定直线上. ②证明：设，联立，得， 则有，解得，，即； 联立，得， 由得，，即； 设直线的斜率为， 当时，即时， 则. 所以直线的方程为， 即，所以直线过定点. 当，若，则,,此时直线的方程为； 若，则,,此时直线的方程为； 综上可得，直线恒过定点. 【分析】（1）根据条件得出的关系，求解方程可得答案； （2）①根据斜率关系分别设出直线方程，求解交点可证；②联立方程分别求出的坐标，写出直线方程，化简可得直线过定点. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的最大值为3，所以； 因为当为椭圆上顶点时，为等边三角形，所以，解得， 所以，即椭圆的标准方程为. （2）略 【变式12.2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 题型13：椭圆中的向量问题 方法技巧 1. 向量条件坐标化，把向量等式转化为坐标关系式。 2. 联立直线椭圆，利用韦达定理代入坐标式子。 3. 向量垂直等价数量积为0；向量共线对应坐标交叉相乘相等。 4. 结合，对参数范围进行约束。 【例题13.1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知条件设出点的坐标，再利用为线段的中点得到，代入中即可求解； （2）将转化为用和表示，代入点的坐标得到关于的一元二次函数即可求得最大值. 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 【例题13.2】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合对称性即可求解； （2）根据向量的坐标运算，求点的坐标，即可求出的坐标，从而求出直线的斜率； 【详解】（1）由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 【变式13.1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【答案】(1) (2)（i）设,联立直线与椭圆方程， 消去整理可得， 由韦达定理可得； 又， 当时，可得 ； 当时，可得，此时直线， 此时，两点坐标分别为和，或者和； 显然此时，，满足，即； 综上可知； （ii）1 【分析】（1）代入两点坐标解方程组计算可求得椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程,整理可得可得，根据韦达定理并利用向量数量积为即可证明； （ii）结合（i）中可知，垂直平分，即，所以. 【详解】（1）将点和代入椭圆方程可得， 解得； 即椭圆的标准方程为； （2）（i）略 （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即， 由（i）中可知，垂直平分， 即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 【变式13.2】（25-26高二下·湖南·期末）已知椭圆：的离心率为，下顶点为，右顶点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用，表示）； ②设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率是直线的斜率的倍，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据题意列出的关系式，解方程求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）①设，根据斜率相等以及题目条件列式，利用数乘向量求解即可；②根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知，，所以， 解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）①设，则，又 则， 所以，， 又，则点的坐标为. ②因为，， 由,可得， 化简得，即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上（除去轴上两个点）， 为到圆心的距离加上半径， 设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.3 直线与椭圆的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　点与椭圆的位置关系 2 🔷知识点二　直线与椭圆的三种位置关系及判定 2 🔷知识点三　弦长公式 3 🔷知识点四　中点弦问题（点差法） 3 🔷知识点五　焦点弦问题 3 4 易错点1：点与椭圆位置关系判定，搞反大小关系或用错分母 4 易错点2：不能用"中心到直线的距离"判定位置关系 5 易错点3：求弦长时遗漏直线斜率不存在的情况 5 易错点4：点差法求中点弦后，要验证直线与椭圆相交 5 易错点5：焦半径、焦点弦公式加减号混淆 6 易错点6：设直线方程时遗漏特殊情况 6 7 题型1：点和椭圆的位置关系 7 题型2：讨论椭圆与直线的位置关系 8 题型3：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 8 题型4：求椭圆的切线方程 9 题型5：椭圆中的弦长问题 10 题型6：椭圆的焦半径与焦点弦问题 10 题型7：椭圆的中点弦 11 题型8：椭圆中的参数范围及最值 12 题型9：椭圆中三角形（四边形）的面积 13 题型10：椭圆中的定点问题 14 题型11：椭圆中的定值问题 15 题型12：椭圆中的定直线问题 16 题型13：椭圆中的向量问题 17 🔷知识点一　点与椭圆的位置关系 平面内的点与椭圆有三种位置关系：点在椭圆内、点在椭圆上、点在椭圆外，采用代入比较法判定。 1. 以焦点在轴的椭圆为例，任取一点： (1) 若 点在椭圆内； (2) 若 点在椭圆上； (3) 若 点在椭圆外。 2. 焦点在轴的椭圆，对应将与的分母互换，判定规则一致。 3. 几何意义： (1) 点在椭圆内：过该点的直线与椭圆必有两个交点，以该点为中点的弦一定存在； (2) 点在椭圆上：过该点有且只有一条切线，该点为切点； (3) 点在椭圆外：过该点可作椭圆的两条切线。 ⚠️特别提醒 · 判定口诀：小于在内，等于在上，大于在外，与1比较大小即可快速判断。 · 中点弦问题可先代入判定中点位置，若点在椭圆外，可直接判定不存在中点弦，无需计算。 🔷知识点二　直线与椭圆的三种位置关系及判定 直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 2 相切 1 相离 0 ⚠ 特别提醒 · 椭圆没有类似圆的"圆心距判定法"，判别式法是唯一通用的判定方法。 🔷知识点三　弦长公式 1. 弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，或。 2. 特殊弦——通径：过焦点且垂直于长轴的弦称为通径，是椭圆中最短的焦点弦，长度为。 ⚠ 特别提醒 · 弦长公式的核心是韦达定理，无需解出交点坐标，体现"设而不求"的思想。 · 通径是焦点弦的最小值，可直接作为结论用于选择填空题。 🔷知识点四　中点弦问题（点差法） 已知椭圆内一点，求以该点为中点的弦所在直线方程，核心方法为点差法（设而不求法）。 以焦点在轴的椭圆为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在椭圆上，代入椭圆方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 方法一：联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，验证判别式 ； 方法二：若已知中点 在椭圆内部，验证 ，满足则中点弦存在。 焦点在轴的椭圆，对应中点弦斜率为。 ⚠ 特别提醒 · 点差法适用于中点弦问题，计算量远小于联立判别式法。 · 中点在椭圆内部时，中点弦一定存在；中点在椭圆上时，不存在弦，此时对应的直线是椭圆在该点处的切线；中点在椭圆外时，不存在这样的中点弦。 · 点差法是先假设弦存在再求斜率，求出直线后必须验证，否则可能出现求出直线但无对应弦的情况。 🔷知识点五　焦点弦问题 过椭圆焦点的弦称为焦点弦，可结合焦半径公式计算弦长。 1. 焦点在轴的椭圆： (1) 右焦点弦长： (2) 左焦点弦长： (3) 焦点弦最值：最长焦点弦为长轴（长），最短焦点弦为通径（长）。 2. 焦点在y轴的椭圆： (1) 上焦点弦长： (2) 下焦点弦长： (3) 焦点弦最值：最长焦点弦为长轴（长），最短焦点弦为通径（长）。 ⚠ 特别提醒 · 焦点在轴：焦半径左加右减，用横坐标计算； · 焦点在轴：焦半径上加下减，用纵坐标计算； · 焦点弦长公式可通过焦半径规律推导记忆，无需死记硬背。 · 两种椭圆的通径公式形式一致，都是 。 易错点1：点与椭圆位置关系判定，搞反大小关系或用错分母 【易错点】 判定点的位置时，大于1小于1搞反大小关系；或焦点在轴时，仍用对应大分母，代入公式错误。 【易错消除】 牢记"小于在内，大于在外"；焦点在哪条轴，哪条变量对应大分母，代入时先确认椭圆焦点位置 【易错例题】1．（25-26高二上·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2：不能用"中心到直线的距离"判定位置关系 【易错点】 不能用椭圆中心到直线的距离判断位置关系，椭圆不是等距曲线。 【易错消除】 直线与椭圆的位置关系唯一通用判定方法是判别式法，几何距离法仅可辅助理解，不能作为判定依据。 【易错例题】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离. 易错点3：求弦长时遗漏直线斜率不存在的情况 【易错点】 默认直线斜率存在，设斜截式方程并用斜率式弦长公式，漏掉直线垂直于轴（斜率不存在）的情况，造成漏解。 【易错消除】 1. 题目未说明直线斜率存在时，分斜率存在、斜率不存在两类讨论； 2. 斜率不存在时，直接代入，求出交点纵坐标，弦长为。 【易错例题】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 易错点4：点差法求中点弦后，要验证直线与椭圆相交 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为结果，忽略验证直线与椭圆是否有两个交点；当中点在椭圆外时，不存在中点弦，结果错误。 【易错消除】 点差法求出直线后，必须联立椭圆方程验证；若已知中点在椭圆内部，可省略验证。 【易错例题】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 易错点5：焦半径、焦点弦公式加减号混淆 【易错点】 记忆焦半径公式时加减号搞反，导致焦点弦长计算错误。 【易错消除】 焦点在轴，牢记焦半径"左加右减"规律，用通径公式验证：右焦点弦在时，弦长，与通径一致，即可确认公式正确。 焦点在y轴，牢记焦半径"上加下减"规律。 【易错例题】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 易错点6：设直线方程时遗漏特殊情况 【易错点】 设直线为斜截式时，容易漏掉斜率不存在的特殊情况；使用截距式时，容易漏掉过原点、平行坐标轴的特殊直线。 【易错消除】 过定点的直线问题，优先考虑斜率存在的情况，再单独验证斜率不存在的特殊直线；若选用截距式，需要额外检验过原点、平行坐标轴的的情形。 【易错例题】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求的焦距； (2)若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 题型1：点和椭圆的位置关系 方法技巧 设椭圆方程，点，代入左侧式子计算： 1. 若，点在椭圆内。 2. 若，点在椭圆上。 3. 若，点在椭圆外。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【例题1.2】（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【变式1.2】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，则（   ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆的离心率的取值范围是 C．椭圆的离心率的取值范围是 D．椭圆的离心率的取值范围是 题型2：讨论椭圆与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与椭圆方程，消去一个变量，得到一元二次方程。 2. 计算一元二次方程判别式，注意二次项系数恒大于0。 3. ，直线与椭圆相交，有2个公共点；，直线与椭圆相切，有1个公共点；，直线与椭圆相离，无公共点。 4. 含参数直线，需要讨论斜率是否存在，防止漏解。 【例题2.1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【例题2.2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式2.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2.2】（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 题型3：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与椭圆方程，消元得到一元二次方程。 2. 根据相交、相切、相离条件，写出对应的不等式或等式。 3. 解不等式得到参数范围。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的情况。 【例题3.1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【例题3.2】（2026·广西河池·二模）已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：求椭圆的切线方程 方法技巧 1. 点在椭圆上，切线方程：； 点在椭圆上，切线方程：。 2. 点在椭圆外，设切线方程并联立椭圆，利用求斜率，得到两条切线。 3. 焦点在轴，斜率为的椭圆切线方程：；焦点在轴：。 4. 注意斜率不存在的切线，单独验证。 【例题4.1】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【例题4.2】（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高三下·北京·强基计划）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【变式4.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 题型5：椭圆中的弦长问题 方法技巧 1. 联立直线和椭圆方程，设交点，由韦达定理写出。 2. 弦长公式：，其中要存在。 3. 若消去保留，弦长公式：，其中。 4. 计算前保证，保证直线与椭圆相交。 【例题5.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【例题5.2】（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【变式5.1】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【变式5.2】（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 题型6：椭圆的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径（为下焦点 / 左焦点，为上焦点 / 右焦点）： 焦点在轴，椭圆上点，焦半径； 焦点在轴，椭圆上点，焦半径。 2. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交所得弦，弦长可使用焦半径相加。 3. 焦点弦长也可以联立直线椭圆，用弦长公式求解。 4. 过焦点且倾斜角为的焦点弦，选填题可以使用焦点弦二级结论快速计算： (1) 焦点在轴的椭圆，焦点弦长。 (2) 焦点在轴的椭圆，焦点弦长。 (3) 当（直线垂直于长轴），焦点弦为通径，长度为，是过焦点的最短弦。 【例题6.1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【例题6.2】（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【变式6.2】（专题进阶检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 题型7：椭圆的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入椭圆方程作差，构造中点与斜率的关系式。 2. 点差法结论：（焦点在轴），（焦点在轴）。 3. 求出直线方程后，必须带回椭圆检验，验证弦真实存在。 4. 也可联立方程，利用韦达定理求解。 【例题7.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 题型8：椭圆中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线椭圆，用韦达定理构造目标函数，转化为函数值域求最值。 2. 三角换元法：转化三角函数求最值。 (1) 焦点在x轴：设。 (2) 焦点在y轴：设x=bcosθ，y=asinθ。 3. 几何法：利用椭圆定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 4. 求范围时，注意、椭圆上点的有界性等限制条件。 【例题8.1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题8.2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上的动点. (1)求椭圆的方程； (2)若是钝角，求点横坐标的取值范围. 【变式8.2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 题型9：椭圆中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 基础公式：底高；以弦长为底，点到直线距离为高。 2. 焦点三角形面积：，为椭圆上点对两焦点的张角。 3. 四边形常拆成两个三角形求和，优先考虑对角线分割。 4. 联立方程，结合韦达定理表达面积，转化为函数求最值。 【例题9.1】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【例题9.2】（2026高三上·全国·专题练习）设直线l：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上动点，则使的面积为的点P的个数为______ 【变式9.1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【变式9.2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 题型10：椭圆中的定点问题 方法技巧 1. 设含参数的直线方程，联立椭圆，利用韦达定理得到关系式。 2. 根据题干条件列出等式，化简消去参数。 3. 找到不受参数变化影响的点坐标。 4. 特殊值探路：取参数两个特殊值，求出两条直线交点，再验证该点恒满足条件。 【例题10.1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，直线过点交椭圆于两点，是否存在一定点，使得为定值？ 【例题10.2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【变式10.1】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【变式10.2】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知椭圆：，（）的左、右焦点分别为、，点是上的点，且，离心率． (1)求的标准方程； (2)设，． ①若点位于第一象限，直线，的斜率分别为，，求的取值范围； ②设直线：与交于，两点（不与M重合），若（为坐标原点），试判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由． 题型11：椭圆中的定值问题 方法技巧 1. 选取合适参数，设点或设直线，联立椭圆得到韦达定理。 2. 将目标表达式用韦达定理的代换。 3. 化简表达式，参数会全部消去，得到固定常数。 4. 可先用特殊位置猜出定值，再做一般性证明。 【例题11.1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【例题11.2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【变式11.1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【变式11.2】（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 题型12：椭圆中的定直线问题 方法技巧 1. 引入参数，设点、设直线，联立椭圆，写出韦达定理。 2. 利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 得到与参数无关的直线方程。 4. 特殊位置先预判定直线，再进行一般情况证明。 【例题12.1】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【例题12.2】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 【变式12.1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【变式12.2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 题型13：椭圆中的向量问题 方法技巧 1. 向量条件坐标化，把向量等式转化为坐标关系式。 2. 联立直线椭圆，利用韦达定理代入坐标式子。 3. 向量垂直等价数量积为0；向量共线对应坐标交叉相乘相等。 4. 结合，对参数范围进行约束。 【例题13.1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【例题13.2】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【变式13.1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【变式13.2】（25-26高二下·湖南·期末）已知椭圆：的离心率为，下顶点为，右顶点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用，表示）； ②设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率是直线的斜率的倍，求的最大值． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $