2.5.2 圆与圆的位置关系（知识清单，知识点+五大易错点+十大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 内容概览 1 🔷知识点一　圆与圆的位置关系 2 🔷知识点二　圆的公共弦 2 🔷知识点三　圆的公切线 3 🔷知识点四　圆系方程 3 4 易错点1：判断位置关系时，忽略圆心距与半径和差的大小关系 4 易错点2：两圆相切时，忽略内切与外切两种情况 4 易错点3：圆的公共弦，忽略两圆方程相减的简化方法 5 易错点4：圆的公切线，忽略公切线条数的判断 5 易错点5：圆系方程，忽略参数取值对曲线类型的影响 6 6 题型1：判断圆与圆的位置关系 6 题型2：由圆的位置关系确定参数或范围 7 题型3：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 8 题型4：相交圆的公共弦方程 8 题型5：两圆的公共弦长 9 题型6：圆的公切线条数 9 题型7：由圆的公切线条数确定参数或范围 10 题型8：圆的公切线方程 11 题型9：圆的公切线长 12 题型10：圆系方程 12 🔷知识点一　圆与圆的位置关系 1. 几何法：若两圆的半径分别为，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 公共点个数 0 1 2 1 0 2. 代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元得一元二次方程 ⚠️特别提醒 · 如果两圆有公共点，那么两圆相切或相交. · 如果两圆没有公共点，那么两圆外离或内含. · 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 代数法联立，计算量较大，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论. 🔷知识点二　圆的公共弦 1. 两圆相交公共弦: 圆 圆 则两圆相交时，公共弦所在直线方程为: -得 ． 2. 求两圆公共弦长的步骤: (1) 先求两圆公共弦所在的直线方程; (2) 利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长. ⚠ 特别提醒 · 当两圆相切时，表示过切点的公切线方程. · 当两圆半径相等且相离时，表示连心线的中垂线方程. 🔷知识点三　圆的公切线 1. 两圆的公切线：是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线． 2. 两圆的位置关系与公切线条数的关系: (1) 两圆外离，有四条公切线; (2) 两圆外切，有三条公切线; (3) 两圆相交，有两条公切线; (4) 两圆内切，有一条公切线; (5) 两圆内含，没有公切线. 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 3. 两圆公切线方程的确定: (1) 当公切线的斜率存在时，设点斜式方程，利用两圆心到这条直线的距离分别等于各自圆的半径，联立求解. (2) 当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. ⚠ 特别提醒 · 解方程求出k之后，要检验解出来的直线到底是不是真正的公切线。有时候代数算出来的解会是增根（只满足到其中一个圆的距离等于半径）. 🔷知识点四　圆系方程 圆系方程：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，常用的圆系有以下几个： 1. 圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为，其中a、b为定值，r是参数． 2. 半径为定值r的圆系方程为，其中a、b为参数，r是定值. 3. 过圆与直线的交点的圆系方程为. ⚠ 特别提醒 · 这个方程一定包含原来的圆C（的时候就是原圆）；前提条件：圆和直线要有交点，若无交点，方程虽然形式上是圆，但没有几何意义. 4. 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆. ⚠ 特别提醒 · 前提：两圆要有公共点（相交 / 相切）；如果两圆无交点，圆系方程只是代数形式，不再代表过两圆交点的圆. · 的时候，二次项全部抵消，变成一次方程，就是两圆公共弦所在直线方程，它不再是圆，这就是为什么要限制，是考试高频坑. 易错点1：判断位置关系时，忽略圆心距与半径和差的大小关系 【易错点】 判断两圆位置关系时，容易混淆圆心距与半径之和、半径之差的大小判定条件，造成位置关系判断出错. 【易错消除】 设两圆圆心距为 d，半径分别为（不妨设）.判断顺序： (1) (2) (3) (4) (5) 【易错例题】（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 易错点2：两圆相切时，忽略内切与外切两种情况 【易错点】 已知两圆相切求参数时，容易只考虑外切，漏掉内切的情况. 【易错消除】 两圆相切包含外切和内切。外切时，内切时 . 含参数问题需分两种情况讨论，最后检验解的合理性. 【易错例题】（2026·陕西咸阳·三模）若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 易错点3：圆的公共弦，忽略两圆方程相减的简化方法 【易错点】 求两圆公共弦所在直线方程时，容易直接联立求交点坐标，忽略两圆方程相减的简化方法. 【易错消除】 两圆方程分别为 两式相减消去二次项，所得一次方程即为公共弦所在直线方程. 只有两圆相交时，该一次方程才是公共弦所在直线；若两圆相切或相离，不存在公共弦. 【易错例题】（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 易错点4：圆的公切线，忽略公切线条数的判断 【易错点】 求两圆公切线时，容易忽略公切线条数由两圆位置关系决定，导致漏解或多解. 【易错消除】 两圆外离时有4条公切线，外切时有3条，相交时有2条，内切时有1条，内含时有0条。先判断位置关系，再确定公切线条数，最后求切线方程. 【易错例题】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 易错点5：圆系方程，忽略参数取值对曲线类型的影响 【易错点】 使用圆系方程时，容易忽略参数取值可能使方程表示其他曲线或退化，导致漏解. 【易错消除】 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆，且需检验所得方程是否表示圆 【易错例题】（陕西省西安高新第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 题型1：判断圆与圆的位置关系 方法技巧 设两圆圆心距为 d，半径分别为（不妨设）： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 优先使用几何法，直接求圆心距和半径，计算量小 【例题1.1】（26-27高三上·黄金考点总动员）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【例题1.2】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式1.1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1.2】（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 题型2：由圆的位置关系确定参数或范围 方法技巧 根据位置关系建立关于参数的不等式或方程: 1. 将位置关系转化为圆心距d与半径的不等式. 2. 注意分类讨论（如相交、外切、外离、内切、内含等不同情况）. 3. 解出参数后，务必验证是否满足圆本身的存在条件（）. 【例题2.1】（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【例题2.2】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 题型3：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 方法技巧 解题方法：根据已知圆和位置关系，确定所求圆的圆心和半径： 1. 若两圆相切，圆心距等于半径之和（外切）或半径之差的绝对值（内切）. 2. 若两圆相交，圆心距满足. 3. 利用待定系数法设所求圆方程，结合位置关系列方程组求解. 【例题3.1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【例题3.2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【变式3.1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【变式3.2】（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 题型4：相交圆的公共弦方程 方法技巧 两圆方程相减，消去项，得到公共弦所在直线方程： 1. 设两圆方程为，公共弦方程：. 2. 注意前提是两圆相交，若相切则相减得到的是公切线方程. 【例题4.1】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【例题4.2】（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型5：两圆的公共弦长 方法技巧 两圆相交，先求公共弦方程，再求其中一个圆的圆心到公共弦的距离 d，利用弦长公式求解： 1. 弦长公式：，其中 r为圆的半径，d为圆心到公共弦的距离. 2. 也可联立两圆方程求交点坐标，再用两点间距离公式求弦长（计算量大，一般不优先用）. 【例题5.1】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【例题5.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【变式5.1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式5.2】（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 题型6：圆的公切线条数 方法技巧 根据两圆的位置关系判断公切线的条数： 1. 外离：4条公切线；外切：3条公切线；相交：2条公切线；内切：1条公切线；内含：0条公切线. 2. 结合图形直观判断，避免死记硬背. 3. 公切线分为外公切线、内公切线. 【例题6.1】（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【例题6.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6.1】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）圆：与圆：的公切线条数为（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6.2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 题型7：由圆的公切线条数确定参数或范围 方法技巧 根据公切线条数反推两圆的位置关系，建立不等式或方程： 1. 4条公切线 ⇔ 外离；3条 ⇔外切；2条 ⇔相交；1条 ⇔ 内切；0条 ⇔ 内含. 2. 将位置关系转化为圆心距 d与半径的关系. 3. 注意验证参数是否使两圆方程有意义. 【例题7.1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【例题7.2】（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 【变式7.1】（24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 题型8：圆的公切线方程 方法技巧 设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解： 1. 设公切线方程为，分别利用两圆圆心到直线的距离等于各自半径列方程组. 2. 注意讨论斜率不存在的情况（即是否为公切线）. 3. 将求得的直线方程代回两圆检验，剔除增根. 4. 对照公切线条数，核对解的个数. 【例题8.1】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【例题8.2】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为______. 【变式8.1】（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 【变式8.2】（专题3曲线系方程及其应用【讲】（压轴题大全））平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 题型9：圆的公切线长 方法技巧 求两圆公切线（外公切线或内公切线）在两切点之间的线段长度： 1. 外公切线长：当两圆外离、外切、相交时，外公切线长. 2. 内公切线长：当两圆外离时，内公切线长. 3. 核心思路是构造直角三角形：平移切线使其过一个圆心，利用勾股定理求解。注意公式中的正负号（外公切减，内公切加）. 【例题9.1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【例题9.2】（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【变式9.1】（2025年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【变式9.2】（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 题型10：圆系方程 方法技巧 利用圆系方程可以避免求交点坐标，直接设出满足条件的圆方程： 1. 圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为，其中a、b为定值，r是参数． 2. 半径为定值r的圆系方程为，其中a、b为参数，r是定值. 3. 过圆与直线的交点的圆系方程为. 4. 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆. 【例题10.1】（2025高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 【例题10.2】（2025高二·全国·专题练习）求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 【变式10.1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【变式10.2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. (1)求； (2)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 内容概览 1 🔷知识点一　圆与圆的位置关系 2 🔷知识点二　圆的公共弦 2 🔷知识点三　圆的公切线 3 🔷知识点四　圆系方程 3 4 易错点1：判断位置关系时，忽略圆心距与半径和差的大小关系 4 易错点2：两圆相切时，忽略内切与外切两种情况 5 易错点3：圆的公共弦，忽略两圆方程相减的简化方法 5 易错点4：圆的公切线，忽略公切线条数的判断 6 易错点5：圆系方程，忽略参数取值对曲线类型的影响 7 8 题型1：判断圆与圆的位置关系 8 题型2：由圆的位置关系确定参数或范围 10 题型3：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 12 题型4：相交圆的公共弦方程 15 题型5：两圆的公共弦长 17 题型6：圆的公切线条数 19 题型7：由圆的公切线条数确定参数或范围 21 题型8：圆的公切线方程 23 题型9：圆的公切线长 26 题型10：圆系方程 29 🔷知识点一　圆与圆的位置关系 1. 几何法：若两圆的半径分别为，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 公共点个数 0 1 2 1 0 2. 代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元得一元二次方程 ⚠️特别提醒 · 如果两圆有公共点，那么两圆相切或相交. · 如果两圆没有公共点，那么两圆外离或内含. · 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 代数法联立，计算量较大，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论. 🔷知识点二　圆的公共弦 1. 两圆相交公共弦: 圆 圆 则两圆相交时，公共弦所在直线方程为: -得 ． 2. 求两圆公共弦长的步骤: (1) 先求两圆公共弦所在的直线方程; (2) 利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长. ⚠ 特别提醒 · 当两圆相切时，表示过切点的公切线方程. · 当两圆半径相等且相离时，表示连心线的中垂线方程. 🔷知识点三　圆的公切线 1. 两圆的公切线：是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线． 2. 两圆的位置关系与公切线条数的关系: (1) 两圆外离，有四条公切线; (2) 两圆外切，有三条公切线; (3) 两圆相交，有两条公切线; (4) 两圆内切，有一条公切线; (5) 两圆内含，没有公切线. 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 3. 两圆公切线方程的确定: (1) 当公切线的斜率存在时，设点斜式方程，利用两圆心到这条直线的距离分别等于各自圆的半径，联立求解. (2) 当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. ⚠ 特别提醒 · 解方程求出k之后，要检验解出来的直线到底是不是真正的公切线。有时候代数算出来的解会是增根（只满足到其中一个圆的距离等于半径）. 🔷知识点四　圆系方程 圆系方程：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，常用的圆系有以下几个： 1. 圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为，其中a、b为定值，r是参数． 2. 半径为定值r的圆系方程为，其中a、b为参数，r是定值. 3. 过圆与直线的交点的圆系方程为. ⚠ 特别提醒 · 这个方程一定包含原来的圆C（的时候就是原圆）；前提条件：圆和直线要有交点，若无交点，方程虽然形式上是圆，但没有几何意义. 4. 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆. ⚠ 特别提醒 · 前提：两圆要有公共点（相交 / 相切）；如果两圆无交点，圆系方程只是代数形式，不再代表过两圆交点的圆. · 的时候，二次项全部抵消，变成一次方程，就是两圆公共弦所在直线方程，它不再是圆，这就是为什么要限制，是考试高频坑. 易错点1：判断位置关系时，忽略圆心距与半径和差的大小关系 【易错点】 判断两圆位置关系时，容易混淆圆心距与半径之和、半径之差的大小判定条件，造成位置关系判断出错. 【易错消除】 设两圆圆心距为 d，半径分别为（不妨设）.判断顺序： (1) (2) (3) (4) (5) 【易错例题】（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 易错点2：两圆相切时，忽略内切与外切两种情况 【易错点】 已知两圆相切求参数时，容易只考虑外切，漏掉内切的情况. 【易错消除】 两圆相切包含外切和内切。外切时，内切时 . 含参数问题需分两种情况讨论，最后检验解的合理性. 【易错例题】（2026·陕西咸阳·三模）若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 【答案】或 【分析】根据对称性得到对称圆圆心坐标及半径，结合对称圆与轴相切求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 设圆心关于直线：的对称点为， 则，解得， 所以对称圆的圆心为，半径仍为1. 因为对称圆与y轴相切，所以，解得或. 易错点3：圆的公共弦，忽略两圆方程相减的简化方法 【易错点】 求两圆公共弦所在直线方程时，容易直接联立求交点坐标，忽略两圆方程相减的简化方法. 【易错消除】 两圆方程分别为 两式相减消去二次项，所得一次方程即为公共弦所在直线方程. 只有两圆相交时，该一次方程才是公共弦所在直线；若两圆相切或相离，不存在公共弦. 【易错例题】（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 易错点4：圆的公切线，忽略公切线条数的判断 【易错点】 求两圆公切线时，容易忽略公切线条数由两圆位置关系决定，导致漏解或多解. 【易错消除】 两圆外离时有4条公切线，外切时有3条，相交时有2条，内切时有1条，内含时有0条。先判断位置关系，再确定公切线条数，最后求切线方程. 【易错例题】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 易错点5：圆系方程，忽略参数取值对曲线类型的影响 【易错点】 使用圆系方程时，容易忽略参数取值可能使方程表示其他曲线或退化，导致漏解. 【易错消除】 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆，且需检验所得方程是否表示圆 【易错例题】（陕西省西安高新第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【分析】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 题型1：判断圆与圆的位置关系 方法技巧 设两圆圆心距为 d，半径分别为（不妨设）： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 优先使用几何法，直接求圆心距和半径，计算量小 【例题1.1】（26-27高三上·黄金考点总动员）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 【例题1.2】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 【变式1.1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【变式1.2】（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 题型2：由圆的位置关系确定参数或范围 方法技巧 根据位置关系建立关于参数的不等式或方程: 1. 将位置关系转化为圆心距d与半径的不等式. 2. 注意分类讨论（如相交、外切、外离、内切、内含等不同情况）. 3. 解出参数后，务必验证是否满足圆本身的存在条件（）. 【例题2.1】（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】借助两圆相交的性质计算即可得. 【详解】由题知，两圆圆心分别为， 由圆与圆相交，则， 即，解得， 故选项中B正确，ACD错误. 【例题2.2】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 【变式2.1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得． 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 【变式2.2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 题型3：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 方法技巧 解题方法：根据已知圆和位置关系，确定所求圆的圆心和半径： 1. 若两圆相切，圆心距等于半径之和（外切）或半径之差的绝对值（内切）. 2. 若两圆相交，圆心距满足. 3. 利用待定系数法设所求圆方程，结合位置关系列方程组求解. 【例题3.1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 【例题3.2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】由题意得到，根据两点间距离公式列方程组求出圆半径，代入圆的标准方程求解即可. 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若， 则圆的半径. 设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或. 所以圆的圆心坐标为. 故圆的标准方程为. 【变式3.1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3.2】（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    题型4：相交圆的公共弦方程 方法技巧 两圆方程相减，消去项，得到公共弦所在直线方程： 1. 设两圆方程为，公共弦方程：. 2. 注意前提是两圆相交，若相切则相减得到的是公切线方程. 【例题4.1】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 【例题4.2】（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 【变式4.1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 【变式4.2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 题型5：两圆的公共弦长 方法技巧 两圆相交，先求公共弦方程，再求其中一个圆的圆心到公共弦的距离 d，利用弦长公式求解： 1. 弦长公式：，其中 r为圆的半径，d为圆心到公共弦的距离. 2. 也可联立两圆方程求交点坐标，再用两点间距离公式求弦长（计算量大，一般不优先用）. 【例题5.1】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 【例题5.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：      【变式5.1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 【变式5.2】（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 题型6：圆的公切线条数 方法技巧 根据两圆的位置关系判断公切线的条数： 1. 外离：4条公切线；外切：3条公切线；相交：2条公切线；内切：1条公切线；内含：0条公切线. 2. 结合图形直观判断，避免死记硬背. 3. 公切线分为外公切线、内公切线. 【例题6.1】（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 【例题6.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 【变式6.1】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）圆：与圆：的公切线条数为（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数. 【详解】圆：，圆心，，圆：，圆心，半径， ， 因为，所以圆与圆相交，故公切线的条数为2. 故选：C 【变式6.2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，计算圆心距并与半径差比较，判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线. 故选：A 题型7：由圆的公切线条数确定参数或范围 方法技巧 根据公切线条数反推两圆的位置关系，建立不等式或方程： 1. 4条公切线 ⇔ 外离；3条 ⇔外切；2条 ⇔相交；1条 ⇔ 内切；0条 ⇔ 内含. 2. 将位置关系转化为圆心距 d与半径的关系. 3. 注意验证参数是否使两圆方程有意义. 【例题7.1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 【例题7.2】（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】由题意可知，两圆内切，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 【变式7.1】（24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【变式7.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 题型8：圆的公切线方程 方法技巧 设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解： 1. 设公切线方程为，分别利用两圆圆心到直线的距离等于各自半径列方程组. 2. 注意讨论斜率不存在的情况（即是否为公切线）. 3. 将求得的直线方程代回两圆检验，剔除增根. 4. 对照公切线条数，核对解的个数. 【例题8.1】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 【例题8.2】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为______. 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 【变式8.1】（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 【变式8.2】（专题3曲线系方程及其应用【讲】（压轴题大全））平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 题型9：圆的公切线长 方法技巧 求两圆公切线（外公切线或内公切线）在两切点之间的线段长度： 1. 外公切线长：当两圆外离、外切、相交时，外公切线长. 2. 内公切线长：当两圆外离时，内公切线长. 3. 核心思路是构造直角三角形：平移切线使其过一个圆心，利用勾股定理求解。注意公式中的正负号（外公切减，内公切加）. 【例题9.1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【例题9.2】（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【分析】连接两圆圆心，并延长，与直线交于点，再根据两圆外切及三角形相似求解即可. 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式9.1】（2025年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【变式9.2】（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 题型10：圆系方程 方法技巧 利用圆系方程可以避免求交点坐标，直接设出满足条件的圆方程： 1. 圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为，其中a、b为定值，r是参数． 2. 半径为定值r的圆系方程为，其中a、b为参数，r是定值. 3. 过圆与直线的交点的圆系方程为. 4. 过圆与圆交点的圆系方程为，此圆系中不含圆. 【例题10.1】（2025高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 【答案】 【分析】设所求圆的方程为：，将原点代入方程可得，进而求解即可. 【详解】设所求圆的方程为：， 即， 因为所求圆过原点，所以，得， 故所求圆的方程为：． 【例题10.2】（2025高二·全国·专题练习）求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆系方程的知识，设过两圆交点的圆的方程为，得出圆心坐标代入圆心所在直线方程，求得的值，进而得到圆的方程. 【详解】过两圆和交点的圆系方程可设为： （注：时表示两圆公共弦所在直线）， 整理得，两边同除得： ， 因此所求圆的圆心为，由已知所求圆的圆心在直线：上， ，解得， 代入圆系方程，则所求圆的方程为． 【变式10.1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解； （2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解． 【详解】（1） 联立圆方程圆得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径， 两圆的公共弦长为． （2）设经过圆与圆交点的圆系方程为， 该圆系经过点， ，解得， 该圆方程为，即． 【变式10.2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. (1)求； (2)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程. 【答案】(1) (2)，或，或 【分析】（1）先求出圆的圆心和半径，根据题设条件，利用垂径定理和勾股定理即可求得的值； （2）根据切线在轴和轴上的截距相等，分为截距都为0和截距相等且不为0两种情形，利用圆心到切线的距离等于半径建立方程，求解即得切线方程. 【详解】（1）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 因圆被直线截得的弦长为2， 则点到直线的距离为， 即，解得. （2）由（1）知，， ①若直线过原点，此时在轴和轴上的截距均为0，(如图1) 设其方程为，由可得，解得， 此时直线的方程为；         ②若直线不过原点，依题意直线的斜率为，（如图2） 可设其方程为，则，即解得或. 故直线的方程为或    . 综上，切线的方程为，或，或.    试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $