7.3 特殊角的三角函数（题型专练）数学苏科版九年级下册

7.3 特殊角的三角函数值 题型一 求特殊角的三角函数值 1．（2025·泰兴市·校级三模）下列各式中，结果等于的是（　　） A．12 B．（﹣2）﹣1 C．cos60° D．|2| 2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sinC的值是（　　） A． B． C．1 D． 3．（2023·洪泽区·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·清江浦区·月考）若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝　　． 5．（2025·射阳县·校级期中）计算：． 6．（2024·溧阳市·期末）计算： （1）2sin245°+2cos60°； （2）． 题型二 已知三角函数值，反求特殊锐角 1．（2024·沭阳县·校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．（2024秋•吴江区·校级月考）若，则∠A＝　15　 °． 3．（2024·常州·校级月考）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为　　． 题型三 先确定三角函数值，再求特殊锐角 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，那么∠B的度数是（　　） A．15° B．45° C．30° D．60° 2．（2025·天宁区·校级期中）已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，边，且满足，则边c的长为　　． 3．若锐角x满足tan2x﹣（1）tanx0，则x＝　　． 4．（2023·惠山区·校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状． 题型四 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——判断值的范围 1．（2024·工业园区·校级月考）已知在△ABC中，∠C＝90°，45°＜∠B＜60°，设cosB＝n，那么n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·工业园区·校级月考）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（　　） A．0＜n＜1 B． C． D． 题型五 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——判断角度范围 1．（2025·姑苏区·校级月考）∠A为锐角，且，则∠A的范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 2．（2022·高新区·期中）已知cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（　　） A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30° 3．（2023·惠山区·期中）已知∠A是锐角，且cosA，那么锐角A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 4．（2022·惠山区·校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 题型六 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——比较值的大小 1．（2024·邗江区·校级期中）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 2．比较大小：sin81°　　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 3．（2024·姑苏区·校级月考）比较大小（用＜连接），sin47°，cos53°，tan45°　　． 题型一 求特殊角的半角的三角函数值 1．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB． （1）求BC的长； （2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2） （多选）1．（2025·江苏·校级自主招生）已知α是锐角，则下列选项可能正确的是（　　） A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．cosα＝tanα D． 2．（2023·建邺区·校级二模）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此 （1）判断下列等式成立的是　　（填序号）； ①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny． （2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 特殊角的三角函数值 题型一 求特殊角的三角函数值 1．（2025·泰兴市·校级三模）下列各式中，结果等于的是（　　） A．12 B．（﹣2）﹣1 C．cos60° D．|2| 【详解】解：A、12＝1，故A不合题意； B、（﹣2）﹣1，故B不合题意； C、cos60°，故C符合题意； D、|2|＝2，故D不合题意． 故选：C． 2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sinC的值是（　　） A． B． C．1 D． 【详解】解：∵∠A＝105°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°， ∴sinC＝sin30°． 故选：A． 3．（2023·洪泽区·一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接BC， 由题意可得：OB＝OC＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴sin∠AOC＝sin60°． 故选：D． 4．（2025·清江浦区·月考）若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝　　． 【详解】解：∵，， ∴， ∵m为正整数， ∴m＝1． 故答案为：1． 5．（2025·射阳县·校级期中）计算：． 【详解】解：原式 ＝2． 6．（2024·溧阳市·期末）计算： （1）2sin245°+2cos60°； （2）． 【详解】解：（1）原式＝2×（）2+2 ＝22 ＝1+1 ＝2； （2）原式 ． 题型二 已知三角函数值，反求特殊锐角 1．（2024·沭阳县·校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【详解】解：∵cosB， ∴∠B＝30°， ∵sinA， ∴∠A＝30°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：B． 2．（2024秋•吴江区·校级月考）若，则∠A＝　15　 °． 【详解】解：∵，， ∴2∠A+15°＝45°，解得：∠A＝15°． 故答案为：15． 3．（2024·常州·校级月考）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为　　． 【详解】解：∵tan（α+10°）＝1， ∴tan（α+10°）， ∵tan30°， ∴α+10°＝30°，解得：α＝20°， 故答案为：20°． 题型三 先确定三角函数值，再求特殊锐角 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，那么∠B的度数是（　　） A．15° B．45° C．30° D．60° 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵tanB， ∴∠B＝60°． 故选：D． 2．（2025·天宁区·校级期中）已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，边，且满足，则边c的长为　　． 【详解】解：由题意可知：，1﹣2cosB＝0， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， 在Rt△ABC中，， ∴． 故答案为：． 3．若锐角x满足tan2x﹣（1）tanx0，则x＝　　． 【详解】解：∵tan2x﹣（1）tanx0， ∴（tanx﹣1）（tanx）＝0， ∴tanx＝1或， 当tanx＝1时，x＝45°； 当tanx时，x＝60°． 故答案为：45°或60°． 4．（2023·惠山区·校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴tanA， 将x代入方程2x2﹣3mx+3＝0得：2（）2﹣3m+3＝0，解得：m， 将m代入方程2x2﹣3mx+3＝0得：2x2﹣3x+3＝0，解得：x1，x2， ∴cosB， ∴∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，即△ABC是直角三角形． 题型四 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——判断值的范围 1．（2024·工业园区·校级月考）已知在△ABC中，∠C＝90°，45°＜∠B＜60°，设cosB＝n，那么n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：cos60°＜cosB＜cos45°， ∴． 故选：B． 2．（2022·工业园区·校级月考）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（　　） A．0＜n＜1 B． C． D． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＜∠A， ∴0°＜∠B＜45°， ∴0＜sinB，即0＜n． 故选：C． 题型五 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——判断角度范围 1．（2025·姑苏区·校级月考）∠A为锐角，且，则∠A的范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【详解】解：∵，sinA， ∴45°＜∠A＜60°． 故选：C． 2．（2022·高新区·期中）已知cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（　　） A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30° 【详解】解：∵cos60°，sin80°＝cos10°， ∴cos60°＜cosA＜cos10°， ∴10°＜A＜60°． 故选：C． 3．（2023·惠山区·期中）已知∠A是锐角，且cosA，那么锐角A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【详解】解：∵，cos30°，cos45°，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A＜45°． 故选：B． 4．（2022·惠山区·校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【详解】解：tan30°，tan45°＝1，tan60°， ∵tanA＝3， ∴3， ∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大， ∴60°＜∠A＜90°． 故选：D． 题型六 特殊角的三角函数与三角函数值的增减性综合——比较值的大小 1．（2024·邗江区·校级期中）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【详解】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1， ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°． 故选：D． 2．比较大小：sin81°　　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 【详解】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1， ∴sin81°＜1＜tan47°， ∴sin81°＜tan47°． 故答案为：＜． 3．（2024·姑苏区·校级月考）比较大小（用＜连接），sin47°，cos53°，tan45°　　． 【详解】解：∵sin47°＜1，cos53°＝sin（90°﹣53°）＝sin37°＜1，tan45°＝1， ∴cos53°＜sin47°＜tan45°． 故答案为：cos53°＜sin47°＜tan45°． 题型一 求特殊角的半角的三角函数值 1．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB． （1）求BC的长； （2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2） 【详解】解：（1）如图1，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∵∠ACB＝150°， ∴∠ACD＝30°， 在Rt△ADC中，AC＝4， ∴ADAC＝2，CD＝AC•cos30°＝42， 在Rt△ABD中，tanB，解得：BD＝16， ∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2； （2）如图2，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM， ∵∠ACB＝150°， ∴∠AMC＝∠MAC＝15°， ∴tan15°＝tan∠AMD20.3． （多选）1．（2025·江苏·校级自主招生）已知α是锐角，则下列选项可能正确的是（　　） A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．cosα＝tanα D． 【详解】解：A．当α＝45°时，，故该选项可能正确，符合题意； B．∵， ∴sinα＝tanα可化为， ∵α是锐角，sinα≠0（当0°＜α＜90°时，sinα＞0）， ∴等式两边同时除以sinα可得：cosα＝1， 但对于锐角α，0＜cosα＜1， ∴cosα≠1，该等式不成立，故该选项不可能正确，不合题意； C．∵， ∴cosα＝tanα可化为，即cos2α＝sinα， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴将cos2α＝sinα代入可得：sin2α+sinα﹣1＝0， 根据求根公式可得：， ∵0＜sinα＜1， ∴，存在这样的锐角α使等式成立，故该选项可能正确，符合题意； D．当α＝45°时，，故该选项可能正确，符合题意． 故选：ACD． 2．（2023·建邺区·校级二模）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此 （1）判断下列等式成立的是　　（填序号）； ①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny． （2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°． 【详解】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°，命题错误， ②sin2x＝sinx•cosx+cosx•sinx＝2sinx•cosx，命题正确， ③sin（x﹣y）＝sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确， 故答案为：②③； （2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°； ②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30° ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $