四川内江市威远中学2026-2027学年高三上学期第二次学情检测数学试题

威远中学校2027届高三上第二次学情检测 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 1、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（     ） A． B． C．2 D． 3．若命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5. 已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 7.已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 10．若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 11．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（    ） A． B．存在实数，使得，，成等差数列 C．的取值范围为 D． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 3、 填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）． 12． 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 13． 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 14．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15．从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 16．已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17． 已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 19.若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个“函数”． （1）已知函数在区间上是一个“函数”，求； （2）判断函数在区间上是否一个“函数”并说明理由； （3）证明： ． 威远中学校2027届高三上第二次学情检测 数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C A A D D C ABC BCD ABD 2、 填空题 12. 24 13. 14. 3、 解答题 15.解（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381；.......................................................5分 （2） 由直方图可知，小于365天的频率为， 故，.......................................................................................................9分 根据二项分布的期望和方差公式， ，...............................13分 16解（1）；..........................................................................5分 （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为；..............................10分 （3）若，，所以， 则，，..................12分 .15分 17. 解(Ⅰ) ∴　为等比数列........................................................6分 　∴　　　 ......................................................8分 　(Ⅱ) ，................12分 　　　　∴　.............15分 18.解（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，，则，解得， 所以.............................................................................................4分 （2）由（1）得，则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和............................................................................................10分 （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；..................................12分 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；..................................14分 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点；............................................................16分 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点............................................................................................................17分 19.解1）由在区间上是一个“函数”，所以任意，恒成立，即，令，，则，， 要使恒成立，则，可得； 4分 (2)要证在区间上是一个“函数”， 需证时，，证明如下： 令，，则， 令，则，即在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以，即， 令，，则，令，则， 或时，，即在、上单调递增； 时，，即在上单调递减；又，，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以，即， 综上，，故结论得证； 10分 (3)当，则，由（2）知且，故， 所以，即有，令，则，有， 所以 ，得证. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $