四川省内江市威远中学校2025-2026学年高三上学期11月阶段性考试数学试题

威远中学高2026届高三上期数学11月月考 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，则（     ） A． B．2 C．5 D．50 2．已知复数，且是纯虚数，则（     ） A．0 B． C．2 D． 3．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（     ） A．60 B．32 C．20 D．15 4．函数的部分图象可能是（     ） A．B．C．D． 5．某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰有2门选修课两人均未选修的情况有（   ） A．100种 B．160种 C．120种 D．180种 6．意大利著名画家达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》被海内外众多学者津津乐道.画中女子的脸上那一抹神秘的微笑，数百年来让无数观赏者为之入迷，许多人都想揭开这微笑背后的秘密.事实上，《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇可近似地看作一段圆弧.在某次艺术展上正好展出了达·芬奇的《蒙娜丽莎》，一位艺术爱好者对其进行了测绘.他在女子嘴角处分别作圆弧的切线，两条切线相交于点，连接两点，测量得到的数据大致如下：.试根据测量得到的结果，推算《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角大概为（     ） A． B． C． D． 7．已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9．下面命题正确的是（     ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数在上的最小值是 C．函数和函数是同一函数 D．若，则 10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则外接圆半径是 D．若，则的面积是 11．已知函数，，，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．当时，方程有且只有3个不同实根 C．的值域为 D．若对于任意的，都有成立，则 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12．已知集合，则 13．若直线与曲线相切，则 . 14．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的单调区间； 16．（本小题满分15分）已知等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切实数，都有，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B； (2)为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值 18．（本小题满分17分）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由 19．（本小题满分17分）试回答下面问题： (1)，均有成立，求实数的取值范围． (2)已知函数，设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． (3)设，，其中a，．设，若对任意给定的，在区间上总存在，使成立，求b的取值范围． 威远中学高2026届高三上期数学11月月考 数学参考答案 1．A解：由已知，，所以，故选A 2．D 解：，因为为纯虚数，所以，解得，所以. 故选：D. 3．A解：设等比数列的公比为.由，可得，因，解得. 则 . 故选：A. 4．C解：由题可知，，则的定义域为，则， 可得为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B、D，当时，令，即，解得：即的图象与轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为：由于，而，而由选项C的图象中，可知当时，，不符合题意，故可排除A. 故选：C. 5．D【详解】有2门选修课两人均未选修，即两人均在剩余的4门兴趣课中选修了3门课，且这4门课均被选上，这意味着两人有2门公共课，各有1门独占课， 所以不同的选法有种．故选：D. 6.B解在三角形中，由余弦定理得， 如图《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角为，所以，，在四个选项中最接近，故选：B 7．B解：依题意，，由，得，即，当且仅当同向共线时取等号，于是，解得，所以的最大值为. 故选：B 8．A解：因为，，，则， 设，则，，，可得，因为函数，均在内单调递减，则在上单调递减，可得，可知函数在上单调递减，且，所以，即，故选：A. 9．【答案】AD【详解】对于A选项，由得，解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，A对； 对于B选项，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此函数在上的最小值是，B错； 对于C选项，函数和函数的定义域均为， 因为，，这两个函数的对应关系不相同， 故函数和函数不是同一函数，C错； 对于D选项，因为，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：AD. 10．AC解：令，则，，可得，所以，由正弦边角关系易知：，A对；若，则，故，，则，所以，D错；由，结合C可得，B错；由，则，而，故外接圆半径是，C对. 故选：AC. 11．BCD解：对于A：.因为，，所以，所以.所以在上不是增函数. 故A错误； 对于B：当时，方程可化为：或. 由可解得：.对于，显然代入方程成立，所以是方程的根.当时，记. . 所以令，解得：；令，解得：；所以在上单增，在上单减.所以.所以在上没有零点；而在上单减，且，，所以在上有且只有一个零点.综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根. 故B正确； 对于C：对于.当时，.，所以；当时，..令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增.所以；故的值域为成立.故C正确. 对于D：对于任意的，都有成立，所以及恒成立.若恒成立，则有. 令，只需.令，则.则. 所以，即.若恒成立，当，无论k取何值，不等式均成立，所以. 当，则有.令，只需. .记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以所以.综上所述：.故D正确. 故选：BCD 12．【详解】由集合，得，则，故答案为： 13．1【详解】因为，则，设切点坐标为，则，解得. 14．①③④解：对于①,如图:任取，当,当,,,恒成立, 故①正确.对于②,，,故②错误. 对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像，如图:    和图像由三个交点. 的零点的个数为:.故③正确. 对于④,设,      ,令 在,可得:，当时,,,, ， 若任意,不等式恒成立, 即,可得 ，求证:当,,化简可得: ，设函数,则 ，当时,单调递增,可得，， 即: 综上所述,对任意,不等式恒成立. 故④正确. 故答案为:①③④. 15．解：（1）依题意,,所以. （2）依题意，令，，解得，所以的单调递增区间为，.设，，易知， 所以当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减. 16．解：（1）因为，所以，解得，则，所以． （2）由（1）知，，则， ，所以，解得或， 所以的取值范围为． 17.（1）解：因为，由正弦定理得，又因为， 所以，所以，因为，所以，又因为，所以. （2）解：因为且，为的外接圆，可得圆的半径为，如图所示，设，连接与交于点，由点为外一点，过点作的切线，切点分别为，， 所以，所以，因为，所以，又因为，所以，则,又由，所以，因为,，当且仅当，当时，等号成立，所以的最小值为． 18．解：【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 19．解：（1）不妨设，则原式可转化为，均有恒成立,设，则，只需证明在上单调递减，即在上恒成立，所以，即，则. （2）．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，因为，可变形为，即，不妨设，易得，则，下证. 先证，构造函数，则， 所以时，，函数单调递增，所以，即当时，， 因为，所以，又，函数在上单调递减，所以；构造函数，则， 易知时，函数单调递减，又，由零点存在定理，存在使得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又时，，故当时，，， 因为，所以，又，函数在上单调递减，所以， 综上：，即. （3），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为． 由题意，当取内的每一个值时，在区间上存在，与该值对应．时，，，当时，，单调递减，不合题意，当时，，，由题意，在区间上不单调，所以，，当时，，当时， ，所以，当时，，由题意，只需满足以下三个条件：， ，使．易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以成立.由，所以满足，所以当满足即时，符合题意， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $