精品解析：福建省泉州市南安华侨中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

南安华侨中学2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷 （总分150分，考试时间120分钟） 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象与轴有个交点 C. D. 不等式的解集为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是单调减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 在上有3个零点，则实数的取值范围是 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与的图象关于轴对称 11. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数，若，则______. 13. 函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则_________． 14. 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为________． 四、解答题：（本题共5大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 17. 已知函数对任意，总有，且当时，，. （1）先求的值，然后判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明； （3）求函数在上的最小值． 18. 已知函数. （1）若为锐角，，求的值； （2）在中，若，，是的中点，且，求的面积； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 19. 如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． （1）若为的中点，证明：不是弧的中点； （2）求周长的最大值； （3）作，垂足为，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安华侨中学2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷 （总分150分，考试时间120分钟） 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中表示元素的范围画出数轴，利用数轴得到的结果. 【详解】作出数轴如下图所示： 根据数轴可知：， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对交集概念的理解，难度较易. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增， 所以，即当时，可得，即充分性成立； 反之：若，可得，所以必要性不成立， 所以是充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断； 【详解】解：因为定义域为 且 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故、排除； 又因为，所以排除； 故选： 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的判断，属于基础题. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 8. 已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象与轴有个交点 C. D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性以及单调性，结合可判断B选项；利用函数在上的单调性得出，利用不等式的基本性质以及奇函数的性质可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】当时，由可得， 不等式两边同时除以可得， 所以，，即， 所以，函数在上为减函数，A错； 函数的定义域为， ，所以，函数为奇函数， 因为，则， 因为函数在上为减函数，则该函数在上为减函数， 所以，函数在和上各有个零点， 因此，的图象与轴有个交点，B错； 因为函数在上为减函数，由得， 所以，C对； 当时，函数在上为减函数，由可得， 当时，函数在上为减函数，由可得， 因此，不等式的解集为，D错. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形得到，则得到的单调性，再利用其单调性研究零点和解不等式. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是单调减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，反例，函数为奇函数，但不存在，即不成立，A错误； 选项B，反例，取，则， 于是有，这与减函数的定义矛盾，B错误； 选项C，令，则函数可化为， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以函数的定义域为，即函数的定义域为，C错误； 选项D，将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，即的图象，D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 在上有3个零点，则实数的取值范围是 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，利用图象变换求解判断AD；由零点个数求出范围判断B；求出单调减区间判断C. 【详解】函数， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，由在上有3个零点， 得，解得，B错误； 对于C，由，得， 因此的单调递减区间为，C正确； 对于D，函数的图象关于轴对称的图象对应函数为 ，D正确. 故选：ACD 11. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数，若，则______. 【答案】或2 【解析】 【分析】根据给定分段函数，分类代入求解即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得，综上，或2. 故答案为：或2. 13. 函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换求出，再由平移后图象重合，可得，再结合即可得出答案. 【详解】，， 因为平移后图象重合，故，因为，故． 故答案为：. 14. 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用两个函数图象都关于直线对称，交点成对称关系，根据中点坐标公式即可求得. 【详解】因为函数为偶函数且满足，则函数的图象关于直线对称，且关于轴对称. 函数，的图象也关于对称，画出函数图象如图所示， 由图象可知函数和的交点有四个，且它们关于对称，则两函数图象所有交点的横坐标之和为. 四、解答题：（本题共5大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先在中利用余弦定理求得，再在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则， 又，则. 【小问2详解】 由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 则. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 17. 已知函数对任意，总有，且当时，，. （1）先求的值，然后判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明； （3）求函数在上的最小值． 【答案】（1）；奇函数；证明见解析；（2）减函数，证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】 (1)令可求出，再令即可得证； (2) 设，是任意的两个实数，且，则，，利用单调性的定义，再结合函数是奇函数证明即可； (3)根据(2)可知在上是减函数，故只需求出,根据已知可得. 【详解】(1)由已知， 令，得，所以. 函数是奇函数. 证：令，得， 所以，即，故是奇函数． (2)是上的减函数，证明如下: 设，是任意的两个实数，且，则， 因为时，，所以， 所以， 所以．所以是上的减函数． (3)由(2)可知是上的减函数，所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为,而 所以函数在上的最小值为. 【点睛】思路点睛：①证明抽象函数的奇偶性，主要是利用赋值法，根据奇偶性的定义通过赋值，寻找到与的关系；②运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取且在的条件下，转化为确定与的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结． 18. 已知函数. （1）若为锐角，，求的值； （2）在中，若，，是的中点，且，求的面积； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由同角三角函数关系求出，利用计算即可. （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. （3）将不等式化简，分离参数得到，结合二倍角公式及正切型函数值域求解即可. 【小问1详解】 . 由，得. 因为为锐角，，则，所以. 所以. 故. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 又，所以，所以，解得. 又，则， 设，，则，即. 由余弦定理得，，即. 两式联立可得. 所以. 【小问3详解】 ，， 原不等式可化为对任意恒成立. 因为，所以， 则不等式可化为对任意恒成立，即即可. 令，则. 又，则，，所以. 所以. 所以的取值范围为. 19. 如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． （1）若为的中点，证明：不是弧的中点； （2）求周长的最大值； （3）作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） 证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时​​，矛盾. 因此不是弧的中点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. 【小问3详解】 设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $