第四章 4.2.1对数的运算性质课时作业-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

高中数学（北师大版）必修第一册　课时作业 第四章　对数运算与对数函数 2.1　对数的运算性质　课时作业 （建议用时：45分钟　满分：100分） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 学习目标 1．理解对数的运算性质，会用指数幂的运算性质推导对数的运算性质。 2．能熟练运用对数的运算性质进行化简、求值。 3．能用已知对数表示其他对数，体会转化与化归的思想。 知识点1　对数的运算性质 若 ，且 ，，，，那么： 用文字叙述：积的对数等于对数的和；商的对数等于对数的差；幂的对数等于指数乘对数。 知识点2　运算性质的推导 以第一条为例：设 ，，则 ，，所以 ，由对数的定义得 。可见，对数的运算性质来源于指数幂的运算性质。 指数幂的运算性质 对应的对数运算性质 知识点3　运算性质的推广与常用结论 (1) （）。 (2) ，。 (3) ，这是常用对数计算中最常用的结论；常用近似值：，。 易错提醒 (1) ；；。 (2) 使用运算性质时，， 都必须为正数。例如 有意义，但不能写成 。 (3) （），当 可能为负数时要加绝对值。 典例精析 例1　计算：(1) ；(2) ；(3) 。 解　(1) 原式 ； (2) 原式 ； (3) 原式 。 例2　用 ，， 表示 （，，）。 解　。 例3　计算：。 解　原式 。 点拨　含 ， 的式子，常利用 进行化简。 例4　已知 ，，用 ， 表示 和 。 解　； 。 例5　解方程：。 解　原方程可化为 ，所以 ，即 ，解得 或 。 检验：当 时， 无意义，舍去；当 时，原方程成立。所以原方程的解为 。 点拨　利用运算性质合并对数后，真数的取值范围可能扩大，因此解对数方程必须检验。 方法总结 (1) “拆”：把积、商、幂、方根的对数拆成对数的和、差、倍数；“合”：把对数的和、差合并成积、商的对数。 (2) 用已知对数表示未知对数时，先把真数分解为已知真数（以及10）的积、商、幂。 (3) 化简时注意 的灵活运用。 第二部分　课时作业 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 的值为（　　） A．1 B．5 C． D．6 2． 的值为（　　） A．1 B．2 C．10 D． 3．已知 ，且 ，，，下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4． 的值为（　　） A．3 B． C．2 D．1 5．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 6． 的值为（　　） A． B． C．1 D． 7．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 的值为（　　） A．1 B．1或4 C．4 D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．设 ，且 ，，，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．__________。 12．已知 ，，则 __________（用 ， 表示）。 13．__________。 14．若 ，，则 __________。 四、解答题（本题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）用 ，， 表示下列各式（，， 均为正数）： (1) ；　　(2) ；　　(3) 。 16．（10分）计算： (1) ；　　(2) 。 17．（10分）已知 和 是关于 的方程 的两个根。 (1) 求 的值；　　(2) 求 的值；　　(3) 求 的值。 第三部分　答案及解析 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D A C ABD BCD 填空题：11．3　　12．　　13．2　　14． 详细解析 1．A　【解析】。 【点拨】同底数的对数相加，真数相乘；相减，真数相除。 2．B　【解析】。 【点拨】系数要先“移”到真数的指数位置（），才能与其他对数合并。 3．C　【解析】由对数的运算性质， 正确；A，B，D都是常见的错误变形。例如取 ，，A中左边 ，右边 ，不成立；B中 无意义；D中左边 ，右边 虽然相等，但取 时左边 ，右边 ，不成立。 4．C　【解析】。 5．B　【解析】。 【点拨】用已知对数表示未知对数，先把真数分解质因数，再用运算性质拆开。 6．D　【解析】原式 。 【点拨】把 写成 ，统一系数后再合并真数，运算更简便。 7．A　【解析】原式 。 8．C　【解析】由题意得 ，所以 ，即 ，解得 或 。又 ，，，若 ，则 ，舍去，所以 。 【易错】去掉对数符号后得到的方程，其解必须使原式中每个对数的真数都大于0，否则会误选B。 9．ABD　【解析】，A正确；，B正确； 无意义，C错误（正确的是 ）；，D正确。 10．BCD　【解析】A是错误的变形；由 知B，C（），D（）都正确。 11．3　【解析】原式 。 12．　【解析】。 【点拨】把5写成 ，即 ，就能用 表示。 13．2　【解析】原式 。 【点拨】当真数的乘积恰好是底数的整数次幂时，优先考虑“合”的方法。 14．　【解析】。 【点拨】也可以先求出 ，，则 ，所以结果为 。 15．【分析】先把根式化为分数指数幂，再按“积→和、商→差、幂→倍”拆开。 【解】(1) ；（2分） (2) ；（3分） (3) 。（3分） 16．【分析】(1) 分别计算三部分：根式的对数、常用对数的和、对数恒等式；(2) 把 写成 ，再利用 。 【解】(1) ，，，（3分） 所以原式 。（2分） (2) 原式 。（5分） 17．【分析】由根与系数的关系得 与 的值，再把所求式用它们表示。 【解】由根与系数的关系，得 ，。（2分） (1) ；（2分） (2) ；（4分） (3) 。（2分） 本课时规律总结 (1) 三条运算性质的使用前提：底数相同，真数均为正数。 (2) 计算类题目常用“合”：把同底数的对数和、差合并；表示类题目常用“拆”：把真数分解后拆开。 (3) 关于 ， 的混合运算，抓住 进行降次和整体代换。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $