第十五章 轴对称 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

∴点E在∠ADC的平分线上， .DE平分∠ADC; (3)解：设EG=x, 由(2)可得：EF=EH=EG=x, SANCD=15,AD=4,CD=8, 号AD,EG+2CD:EH-15, 即：4x十8x=30, 解得：x-号EF=x-号， Se=号AB:EF=合×TX号-2 4 22.(1)证明：如题图1，：∠ACB=∠DCE=a ∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS), .BE=AD. (2)解：如题图1，，△ACD≌△BCE, ∴.∠CAD=∠CBE, 在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180° ∴.∠BAM+∠ABM=∠BAM+(∠ABC+∠CBE) =(∠BAM+∠CBE)+∠ABC =(∠BAM+∠CAD)+∠ABC =∠BAC+∠ABC=180°-a, 在△ABM中，∠AMB=180°-（∠BAM+∠ABD =180°-(180°-a)=a. (3)解：△CPQ为等腰直角三角形. 证明：如题图2，由(1)得BE=AD, :AD,BE的中点分别为点P、Q, AP-AD=合BE=BQ, △ACD≌△BCE, ∴.∠CAP=∠CBQ, (CA=CB, 在△ACP与△BCQ中，∠CAP=∠CBQ, AP-BQ, .△ACP≌△BCQ(SAS), ∴.CP=CQ,∠ACP=∠BCQ, 又：∠ACP+∠PCB=90°， .∠BCQ+∠PCB=90°， .∠PCQ=90°， .△CPQ为等腰直角三角形. 23.(2)解：CD⊥AE,CD=AE,理由如下： ,∠ABC=∠DBE=90°， ∴.∠DBA+∠DBC=∠DBA+∠EBA, .∠DBC=∠EBA. 参考咨案 由题意可知，BD=BE,AB=CB, BD=BE 在△BCD和△BAE中， ∠DBC=∠EBA, BC=BA, ∴.△BCD≌△BAE(SAS), ∴.CD=AE,∠BCD=∠BAE .∠BCA+∠BAC=90°， .∠BCD+∠ACE+∠BAC=90°， ∴.∠BAE+∠ACE+∠BAC=90°， 即∠ACE+∠CAE=90°， .∠AEC=180°-（∠ACE+∠CAE)=90°， CD⊥AE 第十五章《轴对称》素养检测 1.A2.D3.A4.A5.A6.A7.C8.C9.D10.C 11.5cm12.1013.314.1515.②③④ 16.(1)解：如答图，△ABC即为所求； y 0 答图 (2)解：由答图可知，A1(4,5),B1,(2,1),C(1,3) 17.证明：(1)AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..DE=DF, .AD=AD, ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL), 即△AED≌△AFD; (2)△AED≌△AFD, .'.AE-AF,DE=DF, .A、D在线段EF的垂直平分线上， .AD垂直平分EF 18.解：(1)AB=AE,∠BAE=40°， ÷∠B=∠AEB=180°-∠BAE=70, 2 :∠AEB是△AEC的一个外角， ∴.∠AEB=∠C+∠EAC=70°， EF垂直平分AC,.EA=EC, .∠C=∠EAC=35°； (2).AB=AE,AD⊥BC,∴.BD=DE, ,EA=EC,∴.AB=AE=EC, ,△ABC的周长为14cm,AC=6cm ∴.AB+BC=14-6=8(cm), 41 数学八年级上册(RJ) ∴.AB+BD+DE+EC=8cm, .'.2DE+2EC=8 cm,.'.2DC=8 cm, .DC=4 cm. 19.(1)证明：.BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠EBC, DE∥BC, ∴.∠DEB=∠EBC=∠ABE, ∴.BD=ED, ∴.△DBE为等腰三角形； (2)解：∠DEB=∠ABE,∠ABE=30°， ∴∠DEB=30°， ∠A=50°， .∠AED=180°-∠A-∠ABE-∠DEB =180°-50°-30°-30°=70° 20.证明：(1).'在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ÷∠ABC=90°-∠A=90°-30=60，BC=2AB, 又点D是AB的中点， BD=7AB,BC-BD, ∴△BCD为等腰三角形， 又.∠CBD=60°， ∴△BCD为等边三角形； (2)由(1)可知△BCD为等边三角形， .BD=CD,∠BDC=60°， :△DEF为等边三角形， ∴.DE=DF,∠EDF=60°， .∠BDC=∠EDF, ∴∠BDC-∠CDF=∠EDF-∠CDF, 即∠BDF=∠CDE, BD=CD, 在△BDF和△CDE中，{∠BDF=∠CDE, DF-DE, ∴.△BDF≌△CDE(SAS), ∴.∠DBF=∠DCE. 21.(1)证明：：DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE, ∠B=30°， ∴.∠EAB=∠B=30°， 又∠C=90°，.∠CAB=60°， .∠CAE=60°-30°=30， ∴.∠EAC=∠EAB=30°， .AE是∠BAC的平分线； (2)解：：DE是AB的垂直平分线， ∠C=90°，AE是∠BAC的平分线，DE=2, ∴.CE=DE=2, 又∠B=30°，DE⊥AB, .BE=2DE=4, ..BC=CE+BE=6. 22.(1)解：，AB=AC,∠A=36° ∴∠C=∠ABC=2180°-∠A=72, DE是AB的垂直平分线， .∠ABD=∠A=36°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°； (2)①证明：由(1)知∠DBC=∠ABD=36°， .BD平分∠ABC, .DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F, .DE=DF,∠BED=∠BFD=90°， .BD=BD, ∴.△BDE≌△BDF(HL), ∴.BE=BF .B,D两点均在EF的垂直平分线上， ∴BD垂直平分EF; ②在AB上截取BG=BC,连接DG.如答图， 在△BDG和△BDC中， (BG=BC, ∠DBG=∠DBC, BD-BD, ∴.△BDG≌△BDC(SAS), GE .DG-DC, 答图 ∠BGD=∠C=72°=2∠A, '∠BGD=∠GDA+∠A, ∠A=∠GDA, ..AG=DG=DC, .GE=BG-BE=BC-BF=CF, :.CF=GE=AE-AG=AE-DC=m-n 23.(1)证明：D是BC的中点，BD=CD, :△ABC是等边三角形， ·∠BAC=∠BCA=∠B=60, ∴∠CAD=∠BAD=合∠BAC=-30, :AH=HE,且DH⊥AE,∴.AD=DE, .∠DAE=∠DEA=30°， 又∠ACD=∠CDE+∠CED, .∠CDE=∠BCA-∠CED=60°-30°=30°， .∠CDE=∠CED,.CD=CE, 'BD=CD,∴BD=CE; (2)解：全等，证明如下： :△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠BCA=∠B=60°，AB=BC=AC, DF∥AC, ∴.∠BFD=∠BAC=60°，∠BDF=∠BCA=60°， .∠B=∠BFD=∠BDF=6O°， ∴.BD=DF=BF,∠AFD=120°，.AF=DC, ∠ACB=60°，.∠DCE=120°， .∠AFD=∠DCE=120°， ,AH=HE,且DH⊥AE, 42 ∴.AD=DE,.∠DAE=∠DEA, 又∠CDE+∠CED=60°，∠FAD+∠CAD=60°， :∠CED=∠CAD,∴∠FAD=∠CDE, (AF=DC, 在△AFD和△DCE中，3∠AFD=∠DCE, ∠FAD=∠CDE, .△AFD≌△DCE(ASA)； (3)解：由(2)知，DF=BD=a,且△AFD≌△DCE, ∴.CE=DF=a,∴.AE=AC+CE=4+a. 第十六章《整式的乘法》素养检测 1.D2.B3.B4.D5.A6.D7.C8.D9.D10.C 11.-x512.a13.2514.±1215.-1 16.解：(1)原式=x8y2十x3·(一8y2) =x8y2一8x8y12=-7x8y2; (2)原式=a2一2a+3a-6-(a3÷a+a2÷a) =a2十a-6-a2-a=-6. 17.解：原式=[x2-4xy+4y2-(x2+3xy-4y2)]÷2y =(x2-4xy+4y2-x2-3xy+4y)÷2y =(-7xy+8y2)÷2y 当x=-4y=子时， 原式=-子×(-4)+4x分=14+1=15. 18.解：(1)a+3b=4, .3X276=3“×(32)=3X36=3a+36=34=81; (2)2=3, ∴.(23x+1÷22x)2=(2x+1)2=(2·2)2=(3X2)2=36. 19.解：(1)根据日历中数字规律，同行左右相差1，同列上下相 差7，得b=a+1,c=a十7，d=a+8. (2)ad-bc的值不变. 理由如下：：ad=a(a十8)=a+8a, bc=(a+1)(a+7)=a2+8a+7, .ad-bc=(a2+8a)-(a2+8a+7)=-7,为定值， (3)(a2+d)-(b+c2) =a2+d-b2-c =a2+(a+8)2-(a十1)2-(a+7)2 =a2+a2+16a+64-a2-2a-1-a2-14a-49 =14>0, ∴.a2+d>b+c2 20.解：(1)2m2+8m+11=2(m2+4m+4)+3=2(m+2)2+3, 2(m十2)2≥0， .2(m十2)2+3≥3， .代数式2m2+8m+11的最小值是3. (2)4-x2+2x=-(x2-2x+1)+5=-(x-1)2+5, -(x-1)2≤0，∴.-(x-1)2+5≤5 .代数式4一x2十2x的最大值是5. 43 参考苔宋 21.解：(1)m(2x-3)+2m2-4x =2mx-3m+2m2-4x =(2m-4)x+2m2-3m, 多项式的值与x的取值无关， ∴.2m-4=0,解得m=2; (2).A=(2m+1)(2m-2)-m.x(mx+1), B=-x2+x-1, .A-2B =(2m+1)(2m-2)-mx(mx+1)-2(-x2+x-1) =4m2-4m+2m-2-m2x2-mx+2x2-2x+2 =(4-x2)m2-(2+x)m+2x2-2x, :A一2B的值与m的取值无关， ,解得：x=一2； 2+x=0 (3)设AB=x,由图可知S,=a(x-3b),S=2b(x-2a), ∴.S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a) -ax-3ab-26x+4ab =(a-2b)x+ab, 当AB的长变化时，S一S的值始终保持不变， ∴.S一S2的值与x的取值无关， .a-2b=0, .a=2b. 22.解：(1)x+1-1(2)2-1(3)24+1 2 (4),x5+x十x3+x2+x+1=0, .(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x5-1=0. .x=士1. .x5+x4+x3+x2+x+1=0, 当x=1时，x5十x+x3+x2十x+1=6≠0， .x≠1，x=-1. .x2025=(-1)2025=-1. 23.解：①2ab4ab (1)140 (2)矩形EFGD的面积=(x一14)(x一30)=200， 设x-14=a,x-30=b, 则(x-14)(x-30)=ab=200, a-b=(x-14)-(x-30)=16, ∴.阴影部分的面积=(a十b)2 =(a-b)2+4ab =162+4×200=1056. 答：阴影部分的面积为1056. 第十七章《因式分解》素养检测 1.B2.C3.A4.C5.B6.B7.B8.A9.C10.D 11.4ab12.2(x-y)(a-2)13.①②14.3015.x2+4x 16.解：(1)原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2b =6ab(2a-3b-4a2b); (2)原式=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2第十五章 《轴对称》素养检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列图形不是轴对称图形的是 拟 蜗 2.如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上.则下列结论错误的是( A.∠ANM=∠BNM B.∠MAP=∠MBP C.AM-BM D.AP-BN A D (第2题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) (第7题图) 3.元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时，要求在他们中间放一 个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在 △ABC的 ( ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 浆 4.如图，在△ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE 的周长等于50，那么BC的长等于 A.23 B.50 C.27 D.77 5.如图，△ABC≌△ADE,点D在BC上.若∠CAE=40°，则∠B的度数是 A.70° B.68 C.659 D.60 6.如图，△ABC中，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,则∠BDC的度 数为 ( ) A.72 B.36 C.609 D.82° 7.如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1=40°，则∠2的度数为( A.100° B.90° C.80° D.60° 第十五章《轴对称》素养检测第1页（共8页） 8.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上 一点，若AE=2,当EF十CF取得最小值时，则∠ECF的度数为 A.15° B.22.5° C.30° D.60 (第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图) 9.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能 三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度 数是 ( A.60° B.65° C.75° D.80° 10.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,S△ABc=60,AD⊥BC于点D,EF垂直平分AB,交AB 于点E、AC于点F,在EF上确定一点P,使PB十PD最小，则这个最小值为 ( A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为16cm,则BD的 长为 12.如图，△ABC中，BC=20,∠ABC=15°，点F、E分别是AB,BC上的动点，则EF+FC的 最小值= C C (第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图) 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD= 14.如图，已知△ABC是等边三角形，且AC=CE=GD,点G、D、F分别为AC、CE、GD的中 点，则∠E=度. 15.如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和 BC的延长线于点E和F.给出以下结论：①ED=DF;②AE十CF=EF;③BD平分 ∠ABC;④∠ADB+∠CDF=90°，其中正确的是 第十五章《轴对称》素养检测第2页（共8页） 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC(顶点是网格线 的交点的三角形)的顶点A,C的坐标分别为（一4,5），（一1,3）. (1)请在如图所示的网格平面内建立平面直角坐标系，并作出△ABC关于y轴对称 的△A1B1C1; (2)写出点A1,B1,C1的坐标. 17.已知如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F.求证： (1)△AED≌△AFD; (2)AD垂直平分EF. 第十五章《轴对称》素养检测第3页（共8页） 18.【问题背景】在古代，人们在测量土地、建筑等实践活动中就开始意识到一些与垂直平分线 相关的性质.例如，古埃及人在建造金字塔等大型建筑时，可能已经运用了类似垂直平分 线的原理来确保建筑物的对称和稳定 【问题解决】如图，在△ABC中，AB=AE,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交 BC于点E, (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数； (2)若△ABC的周长为14cm,AC=6cm,求DC长. 壁 焙 ☑ 甜 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E,DE∥BC. (I)求证：△BDE是等腰三角形； (2)若∠A=50°，∠ABE=30°，求∠AED的大小. 第十五章《轴对称》素养检测第4页（共8页） 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一点， 连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF (1)求证：△BCD为等边三角形； (2)求证∠DBF=∠DCE. 郡 % 点 1 染 第十五章《轴对称》素养检测第5页（共8页） 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点 E,连接AE. (1)求证：AE是∠BAC的平分线： (2)若DE=2,求BC的长. 第十五章《轴对称》素养检测第6页（共8页） 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，交AB于点E,交AC 于点D (1)求∠DBC的度数： (2)如图2，若DF⊥BC于点F,连接EF交BD于点H. ①求证：BD垂直平分EF; ②若AE=m,CD=n,且m>n,求CF的长（用含m,n的式子表示）. D D E 图1 图2 第十五章《轴对称》素养检测第7页（共8页） 23.在等边△ABC中，点D为射线CB上（点B、点C除外）一动点，过点D作△ADC的高 DH,延长AH至点E,使HE=HA. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D是BC的中点时，求证BD=CE; 骏 (2)如图2，当点D在线段BC上移动时，过点D作DF∥AC交直线AB于点F,则△AFD 与△DCE是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由. (3)若等边△ABC的边长为4，当BD=a时，求AE的长. 性 烯 & 甜 第十五章《轴对称》素养检测第8页（共8页）