第十五章 微专题6：特殊三角形常见辅助线的作法-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·上册（人教版） 微专题6：特殊三角形常见辅助线的作法 A基础巩固 ●● 落实课标 方法一：底边有中点时，作底边的中线 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,M为BC的中点，MD⊥AB于点D,ME⊥AC于点E.求证MD= ME. 方法二：底边没中点时，作底边上的高线 2.如图，在△ABC中，M,N是边BC的三等分点，已知∠B=∠C.求证AM=AN. B能力提升 灵活应用 方法三：作腰或底边的平行线 3.如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点，当 PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D. (1)求证：D为PQ中点； (2)DE的长为· ●>78● 第十五章 轴对称 C拓展应用 ●● 深度思考 方法四：补形法 4.已知△ABC为等边三角形，点D为射线AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE. (1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立？请说明理由. D 图1 图2 ●>79●4.(1)证明：，'△OAB与△APQ都是等边三角形， .OA=BA,PA=AQ,∠OAB=∠PAQ=60°， .∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB, .∠OAP=∠BAQ, (AO-AB 在△OAP和△BAQ中，∠OAP=∠BAQ, LAP=AQ, ∴.△OAP≌△BAQ(SAS),.OP=BQ: (2)解：△COB是等腰三角形，理由如下： △OAP≌△BAQ,∴.∠ABQ=∠AOP=90°， .∠ABC=180°-∠ABQ=90°， .在等边△OAB中，∠AOB=∠ABO=60°， .∠COB=∠CB0=90°-60°=30°， .CO=CB,.△COB是等腰三角形 5.(1)证明：，△CDE是等边三角形， .CE=CD,∠D=∠ECD=60° :△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形， 且AD=BE, ∴.∠ACD=∠BCE=90°，Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). ∴∠ACB=∠ECD=60°，∠CBF=∠CAD=90°-60°=30. ∠CFB=180°-∠CBF-∠BCF=90°..BE⊥AC. (2)解：Rt△ADC≌Rt△BEC,∴.BE=AD=6. :∠CBE=30,∠BCE=90,CE=专BE=3. :∠ECF=∠ACD-∠ECD=30°，BE⊥AC, ∴EF=专CE=BF=BE-EF= 6.A 微专题6：特殊三角形常见辅助线的作法 1.证明：如答图，连接AM, ,∠B=∠C(已知)， .AB=AC(等角对等边)， ,M为BC的中点， ∴.AM平分∠BAC, MD⊥AB,ME⊥AC, ∴.MD=ME. 2.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如答图所示. :∠B=∠C, ..AB=AC,.BD=CD, :M,N是边BC的三等分点， ∴.BM=MN=CN, ∴.BD-BM=CD-CN, 即MD=ND, .AD为线段MN的垂直平分线， ∴.AM=AN. 3.(1)证明：过点P作PF∥BC,交AC 于F,如答图所示， :△ABC为等边三角形且边长 为4， 参考咨案 .AC=4,∠A=∠B=60°， PF∥BC, ∴.∠APF=∠B=60°，∠DPF=∠Q, ∴.△APF为等边三角形，.PA=PF, PA=CQ,∴.PF=CQ, I∠DPF=∠Q, 在△DPF和△DQC中， ∠PDF=∠QDC, PF-CQ, '.△DPF≌△DQC(AAS), PD=QD,即点D为PQ中点. 4.解：(1)AD=CE 理由如下：如答图1，过点D作DP∥BC,交AB于点P, ,△ABC是等边三角形， ∴△APD也是等边三角形， ∴.AP=PD=AD, ∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=6O°， DB=DE,.∠DBC=∠DEC, DP∥BC,.∠PDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠DEC, 又∠BPD=∠A+∠ADP=120°， ∠DCE=∠A+∠ABC=120°， 即∠BPD=∠DCE, 在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE, DB=DE, ∴△BPD≌△DCE, .PD=CE,∴.AD=CE C D 答图1 答图2 (2)成立.理由如下：如答图2，过点D作DP∥BC,交AB的 延长线于点P, ,△ABC是等边三角形， △APD也是等边三角形， ∴AP=PD=AD, ∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°， .DB=DE, ∴∠DBC=∠DEC, DP∥BC, ∠PDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠DEC, I∠PDB=∠DEC, 在△BPD和△DCE中，∠P=∠DCE=60°， DB-DE, .△BPD≌△DCE, .PD=CE, ∴.AD=CE.