专题02 等腰三角形中的分类讨论（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题02 等腰三角形中的分类讨论 题型一 等腰三角形的边长或周长问题中的分类讨论 【典例1】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍， 则腰长为______． 【典例2】 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，一边的长为6，则腰的长为____________． 题型二 等腰三角形的角的度数问题中的分类讨论 【典例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求顶角的度数． 【典例4】数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    题型三 等腰三角形的分割方式不同导致的分类讨论 【典例5】如图，在等腰中，，点D为边的中点，点P为边上一动点（不与端点重合），连接，将沿所在直线折叠，点B的对应点为，已知，当点落在等腰的腰上时，的度数为________． 【典例6】定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． （1）如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点D，则_________是等腰三角形，底角为______度． （2）如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 题型四 动点问题中的等腰三角形 【典例7】如图，，C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当的度数为______时，是等腰三角形． 【典例8】 如图，，，点B是延长线上的一点，动点P从点A出发，沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发，沿射线以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形． 1．等腰三角形中，则的度数为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 5．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 6．在中，，，，则满足上述条件的三角形个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（    ）个． A．7 B．8 C．9 D．10 8．定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石分割线”，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 9．等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 10．已知是等腰三角形，，那么的度数为________． 11．在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 12．如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 13．如图，在中，，，D为边上一点，将沿折叠，点B落在点E处，的对应边与线段相交于点F，若为等腰三角形，则的度数为______________． 14．如图，在中，，，点D、E、F分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 15．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点F，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 16．在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，求的度数． 17．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． （1）当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； （2）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 18．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点E是边上一点，点D是边上一点，将沿着折叠，点C的对应点是点F． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点D与B重合，将折叠后，点F落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点F落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点E是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 19．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02等腰三角形中的分类讨论 典例精讲 题型一等腰三角形的边长或周长问题中的分类讨论 【典例1】8 【典例2】6或12 题型二等腰三角形的角的度数问题中的分类讨论 【典例3】120°或60° 【详解】解：当顶角为钝角时，如图1，BD是腰AC上的高，∠ABD=30°， :.∠BAD=90°-∠ABD=60° .∠BAC=180°-∠BAD=120°， 即等腰三角形的顶角为120°： D 60 300 图1 当顶角为锐角时，如图2，BD是腰AC上的高，∠ABD=30°， .∠A=90°-∠ABD=60°， 即等腰三角形的顶角为60°： 60 图2 综上所述，该等腰三角形的顶角为120°或60°， 【典例4】见解析 【详解】解：由题意得，分三种情况： (I)如图，当点B为顶角的项点时，且AD在三角形内部， 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=90°-∠DAB=90°-60°=30°，∠BAC=∠C=75°； (2)如图，当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部， .∠ABC=∠D+∠DAB=90°+60°=150°，∠BAC=∠C=15°： (3)如图，当点C为顶角的顶点时（此时，这种情况与小明同学的做法相同，舍去）， ∠B=90°-∠DAB=90°-60°=30°， :.∠ACB=180°-2∠B=180°-2×30°=120°，∠BAC=∠B=30° 如图： B 30 D C 120 OD 75 159 150 15 309 30°CB 题型三等腰三角形的分割方式不同导致的分类讨论 【典例5】40°或140° 【典例6】(1)作图见解析，△ADB,30°：(2)∠B的度数为54°或27° 【详解】(I)解：如图，作∠CAB的平分线AD交BC于点D, D :∠C=90°，∠B=30°， ∠CAB=60° .∠CAD=∠DAB=30°， 在RtAACD中，∠ADC=60°， :.△ACD的三个内角与△ABC的三个内角相等， :∠DAB=∠B=30° ∴.AD=BD, △ABD是等腰三角形， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD是“和谐分割线”； (2)解：如图，分三种情况： ①当DA=DC时，∠ACD=∠A=42°， D B ,CD是△ABC的“和谐分割线”， .∠ACB=∠BDC=42°+42°=84° .∠B=180°-42°-84°=54°： ②当DA=AC时， .∠A=42° ∴.∠ACD=∠ADC=69° :CD是△ABC的“和谐分割线”， ∠BCD=∠A=42°， 则∠ACB=69°+42°=111°， .∠B=27°： ③当AC=DC时，∠ADC=∠A=42°，则∠BDC=180°-42°=138°=∠ACB, 那么∠B=180°-42°-138°=0°（舍去）， 故∠B的度数为54°或27°. 题型四动点问题中的等腰三角形 【典例7】50°或20°或80° 【典例8】3或6 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.A 9.20 10.50°或65°或80° 11.35°：40°或100 12.140°或20°或160° 13.127.5°或105° 14.75°或52.5°或30° 15.30°或75°或120° 16.∠ABC的度数为45°或36° 【详解】解：AB=AC, ·∠ABC=∠C, 设∠ABC=∠C=x, :DE是边AB的垂直平分线， :AD=BD, .∠ABC=∠BAD=x 当AD=CD时，如图①， D 图① 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠C=∠CAD=x, ,∠ABC+∠BAC+∠C=180°， .x+x+x+x=180°， x=45°， 即∠ABC=45°， 当AC=DC时，如图②， B 图② 则∠CAD=∠CDA, :∠ABC=∠BAD=x, .∠CDA=∠CAD=2x, ,∠ABC+∠BAC+∠C=180°. ∴x+x+2x+x=180°， .x=36°， 即∠ABC=36° 综上，∠ABC的度数为45°或36°， 17.(1)20,110:小：(2)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为100°或115 【详解】(1)解：：∠ADB=110°，∠B=50° .∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-110°=20°， ·∠B=∠C=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°， .∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-20°=60°， .∠ADE=50°， :.∠DEC=∠DAE+∠ADE=60°+50°=110° 在△ADB中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-∠BAD=130°-∠BAD, ,点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大， .∠ADB逐渐变小 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：当AE=AD时， :∠ADE=50°. .∠DAE=180°-2∠ADE=80°. 由(1)可知，∠BAC=80°， ∴.点D、E分别与B、C重合，不符合题意，此种情况不存在， 当AE=DE时，则∠DAE=∠ADE=50°， :.∠BDA=∠DAE+∠C=50°+50°=100°， 当AD=DE时，∠D4E=∠MED=2080°-∠ADE)=×080-509)=65°， .∠BDA=∠DAE+∠C=65°+50°=115°. 综上所述：△ADE的形状是等腰三角形，∠BDA的度数为100°或115° 18.(1)∠AEF=90°：(2)①证明见解析：②CE=AE+BD,理由见解析：(3)∠AFE的度数为 30°或60°或75 【详解】(1)解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， :∠ABC=∠C=180°-，∠B1C=30, 2 由折叠的性质可得∠F=∠C=30°， .∠EAF=180°-∠BAC=60°. .∠AEF=180°-∠EAF-∠F=90°： (2)①：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C=1809-∠B1C-30°， 2 由折叠的性质可得∠C=∠F=30°，CD=DF, .AC=CD,AB=AC, .AB=AC=DF=CD. ∠CDF=180°-∠C-∠F=120°=∠CAB, 在△CDF和△CAB中， CD=CA ∠CDF=∠CAB. DF=AB 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :aCDF≌aCAB(SAS): ②CE=AE+BD,理由如下： 由①可得△CDF≌aCAB(SAS), .CF=CB CF=CA+AF,CB=CD+BD,CA=CD, .AF BD, 由折叠的性质可得CE=EF, EF=AE+AF, .CE=EF=AE+AF=AE+BD, (3)解：：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°. ∠B=∠C 180°-∠BAC=30°， 2 :E是AC中点， .AE=CE, 由折叠的性质可得CE=EF,∠DFE=∠C=30°，∠DEF=∠DEC, .AE=EF=CE, :△DEF是等腰三角形， ∴.当DE=DF时，∠DEF=∠DFE=30°， :.∠DEF=∠DEC=30° ∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=120°， AE=EF, ÷∠AFE=∠FAE=180°-∠AE =30°： 当DE=EF时，∠EDF=∠DFE=3O°， 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=120°. .∠DEF=∠DEC=120°， :.∠AEF=∠DEF+∠DEC-180°=60°， .AE EF, :∠AFE=∠FAE=180-,∠4EF=60°. 2 周DE=EE时，DEF180°-DFE=758 .∠DEF=∠DEC=75°， .∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=30°. AE EF, :∠AFE=∠FAE=180°-∠AEF-75, 2 综上所述，∠AFE的度数为30°或60°或75° 19.(1)证明见解析；(2)证明见解析：(3)BD=4或2：(4)∠ADE=45°或67.5° 【详解】(1)证明：：△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°， :DE∥BC .∠ADE=∠B=60° :.∠BDE=180°-∠ADE=120°， ,将△ADE沿DE折叠得到△A'DE, :.∠A'DE=∠ADE=60°， .∠ADB=180°-∠ADE-∠ADE=60°， 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.△A'BD是等边三角形： (2)证明：由(1)知：∠ADE=60°，∠ADB=60°， 同理可得∠AED=∠ACB=60°，∠AEC=60°， ∴△ADE是等边三角形，∠A'DB=∠A'EC, .'AD=AE, :将△ADE沿DE折叠得到△ADE, .A'D=AD,A'E=AE, .A'D=A'E, AB=AC,AD=AE, ..BD=CE. .△A'BD≌AA'CE(SAS): (3)解：如图1， 图1 当∠BAD=90°时， ∠BD'A=60°， :BD=2A'D. A'D=AD, .BD =2AD. 片BD=24B=2×6=4. 2 3 3 如图2， 图2 当∠ABD=90°时， 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A'DB=60°， .AD=2BD, 1 .BD=。AB=二×6=2 3 3 综上所述： BD=4或2： (4)解：如图3-1， A 图3-1 图3-2 图3-3 当∠BD4=90P时，ZADE=∠ADE=I80°-∠BDA-180°-90°=45o 2 如图3-2， 当∠BAD=90°时，∠BDA'=∠ABD=45°， :∠ADE=180°-45 =67.5°， 2 如图3-3， 当∠ABD=90°时，∠BDA'=45°， ∴.∠ADE=67.5°， 综上所述：∠ADE=45°或67.5°」 10110 专题02 等腰三角形中的分类讨论 题型一 等腰三角形的边长或周长问题中的分类讨论 【典例1】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍， 则腰长为______． 【答案】8 【详解】解：设一边为，则另一边为， ①当长为的边为腰时，此时三角形的三边长分别为、、， 由题意可列方程：， 解得， 此时三角形的三边长分别为：5、5和10， 因为，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意； ②当长为的边为底时，此时三角形的三边长分别为：、、， 由题意可列方程：， 解得：， 此时三角形的三边长分别为：4、8、8，满足三角形的三边之间的关系， ∴这个三角形的腰长为． 【典例2】 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，一边的长为6，则腰的长为____________． 【答案】6或12 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：为腰，即腰长为6， ① 若底边长，则底边长为 ． ∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 可以构成三角形，腰长6符合要求． ② 若底边长，则底边长为 ． ∵ ， 不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形，此种情况舍去． 情况2：为底边，设腰长为x， ① 若，则 ． ∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 可以构成三角形，腰长12符合要求． ② 若，则 ，解得． ∵ ， 不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形，此种情况舍去． 综上，腰的长为6或12． 题型二 等腰三角形的角的度数问题中的分类讨论 【典例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求顶角的度数． 【答案】或 【详解】解：当顶角为钝角时，如图1，是腰上的高，， ∴， ∴， 即等腰三角形的顶角为； 当顶角为锐角时，如图2，是腰上的高，， ∴， 即等腰三角形的顶角为60°； 综上所述，该等腰三角形的顶角为或． 【典例4】数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    【答案】见解析 【详解】解：由题意得，分三种情况： （1）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形内部， ∴，； （2）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形外部， ∴，； （3）如图，当点C为顶角的顶点时（此时，这种情况与小明同学的做法相同，舍去）， ， ∴，． 如图：       题型三 等腰三角形的分割方式不同导致的分类讨论 【典例5】如图，在等腰中，，点D为边的中点，点P为边上一动点（不与端点重合），连接，将沿所在直线折叠，点B的对应点为，已知，当点落在等腰的腰上时，的度数为________． 【答案】或 【详解】解：①当点落在边上时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点落在边上时，如图， 由①可知，， 由折叠的性质可得，， ∵点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【典例6】定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． （1）如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点D，则_________是等腰三角形，底角为______度． （2）如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】（1）作图见解析，，；（2）的度数为或 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于点D， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴的三个内角与的三个内角相等， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是“和谐分割线”； （2）解：如图，分三种情况： ①当时，， ∵是的“和谐分割线”， ∴ ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵是的“和谐分割线”， ∴， 则， ∴； ③当时，，则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 题型四 动点问题中的等腰三角形 【典例7】如图，，C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当的度数为______时，是等腰三角形． 【答案】或或 【详解】解：当是等腰三角形时，分3种情况： ①， ∵， ∴； ②， ∵， ∴； ③， ∵， ∴． 综上所述，或或． 【典例8】 如图，，，点B是延长线上的一点，动点P从点A出发，沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发，沿射线以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形． 【答案】3或6 【详解】解：当P点在线段上时， ∵，是等腰三角形， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得； 当P点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得； 综上，当或6时，是等腰三角形． 1．等腰三角形中，则的度数为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 【答案】C 【详解】解：根据题意， 当为顶角时，； 当为顶角时，，； 当为顶角时，． 故的度数可能是或或． 2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 3．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：在等腰中，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 4．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 5．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】D 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形． 6．在中，，，，则满足上述条件的三角形个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：过点B作，交所在直线于点D， ∵，， ∴在中，， ∵，即， ∴在直线上可找到两个不同的点A满足，因此满足条件的三角形共有2个． 7．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（    ）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有5个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有3个； 故符合条件的点C共有8个． 8．定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石分割线”，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图a， 当时， 则， ∴， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； 如图b， 当，时， ∵， ∴， ∴； 如图c， 当，时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 9．等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】20 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， ∵该三角形是等腰三角形， ∴三边长为4，4，8或8，8，4， ∵，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， ∴等腰三角形的周长为． 10．已知是等腰三角形，，那么的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：分三种情况讨论： 当为顶角时，为底角，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可得： ； 当为底角，为顶角时： ； 当为底角，为底角时： ； 综上，的度数为：或或． 11．在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【答案】；或 【详解】解：在中，， ∴， ∵与相邻的外角为， ∴， ∵， ∴； 等腰三角形一个外角等于，分两种情况讨论： ①若该外角为顶角的邻补角，则顶角为， ②若该外角为底角的邻补角，则底角为，顶角为， 故答案为；或． 12．如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 【答案】或或 【详解】解：①时，，则； ②当时，或； ③当时，，则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 13．如图，在中，，，D为边上一点，将沿折叠，点B落在点E处，的对应边与线段相交于点F，若为等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， 设， ∴，，， ∴，， ∴， 当时， 则，即， 解得，不符合题意，舍去． 当时， 则，即， 解得， ∴， 当时， 则，即， 解得， ∴． 综上：的度数为或． 14．如图，在中，，，点D、E、F分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或 【详解】解：∵，， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 15．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点F，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：∵，， ∴， 令， ∵和关于直线对称， ∴，， ∴， ∵，且平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， 解得：， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 16．在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】的度数为或 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 当时，如图①， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，如图②， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 综上，的度数为或． 17．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． （1）当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； （2）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）20，110；小；（2）的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴逐渐变小． （2）解：当时， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴点D、E分别与B、C重合，不符合题意，此种情况不存在， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：的形状是等腰三角形，的度数为或． 18．在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点E是边上一点，点D是边上一点，将沿着折叠，点C的对应点是点F． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点D与B重合，将折叠后，点F落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点F落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点E是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，理由见解析；（3）的度数为或或 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵E是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 19．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或2；（4）或 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：，， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图1， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴ 综上所述：或2； （4）解：如图3-1， 当时，， 如图3-2， 当时，， ∴， 如图3-3， 当时，， ∴， 综上所述：或． 7 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $