第14章 专题训练四 证明三角形全等的常见辅助线作法-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（人教版·新教材）

28川川2对勾·八年级数学·上 专题训练四 证明三角形全等的常见辅助线作法 类型1利用“两条相等且垂直的线段”构造 类型2半角模型（倍半角法构造全等三角形) 全等三角形（一线三垂直） 方法点睛 方法点睛 (1)等边三角形含半角 如图，若AB=AC,AB⊥AC,则可分别 如图，△ABC是等边三角形， 过斜边的两端点B,C向过A点的直线作垂线 ∠BDC=120°，BD=CD, BD,CE. ∠EDF=60° 结论：EF=BE+CF, ∠DEB=∠DEF, ∠DFC=∠DFE. B (2)正方形含半角 D 结论：△ABD≌△CAE,DE=BD+CE. 如图，四边形ABCD是正方 1.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),B 形，∠EAF=45°. (0,2),AB⊥AC,且AB=AC,求点C的 结论：EF=BE十DF, ∠AFD=∠AFE, B 坐标. ∠AEB=∠AEF. 2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在 边BC,CD上，∠EAF=45°，延长CD到 点G,使DG=BE,连接EF,AG. 求证：EF=FG, B 第十四章全等三角形129 类型3截长补短法 【拓展延伸】 方法点睛 (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=2∠B, 适用条件：已知条件或求证中涉及“角的平分 ∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线.请判断 线”“线段的和差倍分”等问题 线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC 理由， (1)截长法 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=2∠B, ∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的平 分线时，(2)中AB,AC,CD之间存在的数 量关系是否成立？若成立，请说明理由；若 不成立，请直接写出线段AB,AC,CD之 作法：如图，在AC上取一点E,使AE= 间的新数量关系，不必说明理由 AB,连接DE 结论：△ABD≌△AED. (2)补短法 D 图2 图？ D 作法：如图，延长AB至点E,使AE=AC, 连接DE. 结论：△ACD≌△AED, 3.【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助 线的添加方法.截长就是在长边上截取一条 线段与某一短边相等，补短是通过在一条短 边上延长一条线段与另一长边相等，从而解 决问题.当题目中有等腰三角形、角平分线 等条件，可用“截长补短法”构造全等三角 形来进行解题， 【问题解决】 (1)如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B, ∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，在AB 上截取AE=AC,连接DE.请写出线段 AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由. (提示：如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等)AB=CD 4.证明：：C是BD的中点，∴BC=DC 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, (AB=ED, AE-CF 在△ABC和△EDC中， AC=EC, ..△ABE≌△CDF(SAS)」 BC=DC (2),∠BCE=30°，∠CBE=70°， ,∴.△ABC≌△EDC(SSS). ∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°+70°=100 5.解：如图所示，△ABC即为所求 .'△ABE≌△CDF, C ∴.∠CFD=∠AEB=100° 微专题3 1.C 2.证明：如图所示，延长 AE到F,使EF=AE 连接DF,AE是 △ABD的中线，∴.BE ED. 能力提升 在△ABE与△FDE中 BE-DE 1.B2.B3.C ∠AEB-∠FED, 4.65 AE-FE, (AC=BD, ∴.△ABE≌△FDE(SAS), .AB DF 5.证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD, ∠BAE=∠EFD,.·∠BDA是△ADC的外 AB-BA. 角，∴.∠DAC ∠C=∠BDA=∠BAD. ∴.△ABC≌△BAD(SSS),.∠C=∠D. .∠BAE+∠EAD=∠BAD, ∠BAE= 6.解：如图，在△ABC ∠EFD,,.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠C, 与△ADE中， .∠ADF=∠ADC,AB=DC,.DF=DC, (AB=AD, BC=DE, D (AD-AD, 在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC, AC=AE :△ABC≌△ADE(SSS),B 2 FD-CD, E ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴. ∠C ..∠B=∠D,∠BAC ∠AFD-=∠BAE. ∠DAE,.∠BAC-∠BAE=∠DAE 第2课时 三角形全等的判定二 ∠BAE,,.∠1=∠DAB=25°，∠B= ∠D,∠BOE=∠AOD,∴.∠2=∠DAB=25 (ASA、AAS) 7.解：(1)证明：AD=BE,.AD十BD 基础达标 BE+BD,即AB=DE,在△ABC和△DEF 1.∠B=∠E2.ASA (AB=DE, 3.证明：ABCD,AE∥CF 中， AC=DF,∴.△ABC≌△DEF(SSS) .∠B=∠D,∠AEB=∠CFD BC=EF BF=DE,∴.BE=DF, (2),△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E= I∠B=∠D 45°，∴.∠A=∠FDE=55°，∴.∠F=180° 在△ABE与△CDF中， BE=DF, (∠FDE+∠E)=180°-(55°+45)=80 ∠AEB=∠CFD, 微专题4 .△ABE≌△CDF(ASA),AB=CD. 4.C5.∠B C 1.证明：如图，连接AD, 6.解：(1)证明：点O为EF的中点， AB=AC, ..FO=EO, 在△ABD和△ACD中，{AD=AD, I∠AOE=∠BOF, BD=CD. 在△AOE和△BOF中， ∠A=∠B, ∴.△ABD≌△ACD(SSS),.∠B=∠C OE=OF, .△AOE≌△BOF(AAS). (2).△AOE≌△BOF,.OA=OB AB=12,0A=zAB=6. 能力提升 1.C2.D3.C4.C 5.DE=EF(答案不唯一)6.3 7.解：(1)证明：MN∥CD,∴.∠BMN= 2.证明：连接AC,如图， ∠BPD,∠BPD=∠APC,,,∠BMN= ∠APC,:'∠C+∠MND=180°，∠BNM+ ∠MND=180°，∴.∠C=∠BNM,在△ACP I∠C=∠BNM, 和△BNM中， CP=NM, ∠APC=∠BMN AB=CD. .∴.△ACP≌△BNM(ASA). (1)在△ABC和△CDA中，{BC=DA, (2)由(1)知△ACP≌△BNM,∴.BM=AP AC=CA, 3.AB=7..PM=AB-AP-BM=1. ∴.△ABC≌△CDA(SSS), 8.解：由题意，得CD⊥BD,AB⊥BD.,.∠CDP ,∴.∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC ∠PBA=90°.∠DPC=17°，∴.∠PCD (2)由(1)可知，△ABC≌△CDA, 90 -∠DPC=73°. .·∠APB=73 .∠B=∠D. .∠PCD=∠APB.在△CPD和△PAB中， ∠CDP=∠PBA, 第4课时 作一个角等于已知角 DC=BP, ∴.△CPD≌△PAB(ASA). 基础达标 ∠PCD=∠APB, 1.A .'PD AB.DB 33 m,BP =8 m, 2.解：如图所示，∠DCB即为所求 ∴.AB=PD=DB-BP=33-8=25(m). A ,∴.楼AB的高度是25m. D 第3课时 三角形全等的判定三(SSS) 基础达标 1.C2.C3.C 活20川川2树勾·八年级数学·上 能力提升 :AD与A'D分别为BC,B'C边上的中线， 1.解：如图，点M即为所求 .'BC=2CD,B'C'=2C'D'..BC=B'C'. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， E AC=AC ∠C=∠C'=90, A BC=BC' ∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) 7. 解：由题意得∠C=∠QAP=90° B 根据直角三角形全等的判定方法HL可知， M ①当点P运动到PA=BC时， 2.解：如图，△ABC即为所求 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (BC=PA, AB=QP. .Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). ∴.BC-PA=5cm. 1 Q ,'.CP=AC-AP=10-5=5(cm) PA=CP,即点P运动到AC的中点处 ②当点P运动到与点C重合时，AP一AC, 在R△ABC和R△PQA中，(AC-PA, AB=PQ, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). '.AC=PA=10 cm. 综上所述，当点P运动到AC的中点处或与点 3.解：答案不唯一 C重合时，△ABC才能和△APQ全等 方法 专题训练三全等三角形的 作法：(1)作△ABC (2)在AC的延长线上载取CA'=AC,在BC 基本模型 的延长线上载取CB'=BC 1.证明：BE=CF,.BE一CE=CF一CE (3)连接AB,如图1，则△A'B'C≌△ABC 即BC=EF..AC⊥BC,DF⊥EF, (SAS). ∴·∠ACB与∠DFE都是直角.在Rt△ABC 和R△DEF中，E-E.∴R△ABC☑ Rt△DEF(HL). ∴.AC=DF A 2.证明：AB∥DE,∴.∠B=∠DEF.BE= CF,.BE+EC=CF+EC.∴.BC=-EF,在 ∠A=∠D, △ABC与△DEF中， ∠B=∠DEF, A B BC=EF. .△ABC≌△DEF(AAS). 图1 图2 3.证明：E,D分别是CA,CB的中点 方法二 作法：(1)作△ABC CE=2CA,CD=CB. (2)在AC的延长线上载取CB'-CB,在BC CA=CB,..CE=CD. 的延长线上载取CA'=CA CA=CB, (3)连接A'B',如图2，刚△A'BC≌△ABC 在△ACD和△BCE中， ∠C=∠C (SAS) CD=CE. 4.解：因为∠ABC=60°，∠BAC=75°， ∴.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠A=∠B 所以∠ACB=45 4.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， 如图所示，△ABC即为所求， ∠C- ∠D=90°， ∠CBA=∠DAB, AB=BA ,.△ABC≌△BAD(AAS). (2)20 5.证明：，E为AC的中点，AE=EC, CF∥AB,∴∠F=∠ADE, ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中， ∠AED-∠CEF, AE-CE. ∴.△ADE≌△CFE(AAS), B C DE=FE 第5课时 直角三角形全等的判定(HL)6.解：，1)证明： 在△ABC和△ADE中， (AB-AD, 基础达标 ∠BAC=∠DAE,..△ABC≌△ADE(SAS) 1.C2.A3.D4.AC=AD(答案不唯一) AC-AE 5.证明：BE=CF,,.BE十EF=CF+EF (2)'△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE 即BF=CE.∠A=∠D=90°，∴.△ABF ∠E= ∠C,:∠BAC=∠BAD+∠DAC, 与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和 ∠DAE=∠DAC+∠CAE,∠BAD=20, R△DCE中，B-E:R△MBF≌ ∠CAE=∠BAD=20°，∠E=∠C, ∠AOE=∠DOC,,.∠CAE=∠CDE, Rt△DCE(HL). ,∴.∠CDE=20 6.解：相等.理由如下： 7.证明：∠C=90°，DE⊥AB于点E, .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°，在 ∠C= ∠BED=90°.，BD∥AC, (AB=AC. ∠DBE A Rt△ADB和Rt△ADC中， 在△ABC和△BDE中， LAD-AD 1∠A=∠DBE, ∴.Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴.BD=CD AC=BE, .△ABC≌△BDE(ASA). ,两锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等. ∠C=∠BED, 能力提升 .'.AB=BD. 1.B2.C3.D 8. 证明：： ∠ADC=∠ACB= ∠CEB, 4.ABE DCF 5.30 ∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，∠ACD+ 6.证明：在Rt△ACD和Rt△A'CD'中， ∠ACB B=80,.. ∠DAC= AD=AD,R△ACD≌R△AC'D(HD. AC=AC ECB,在△ADC和△CEB中 ∠ADC=∠CEB, .CD=C'D'. ∠DAC-∠ECB,.△ADC≌△CEB(AAS) AC=CB, ..AD=CE,CD=BE,,.DE=CE+CD= (2)△AEF≌△CEB,∴.EF=BE=4, AD+BE. AE=CE, ∴AE=CE=CF+EF=5+4=9. 专题训练四 证明三角形全等的 14.解：(1)△CGO≌△OFB.理由如下： 由题意可知∠CGO=∠OFB-90°，OB=OC 常见辅助线作法 ∠BOC=90°，.∠COG+∠BOF 1.解：过点C作CD ∠BOF+∠OBF=90 ∴.∠COG=∠OBF ∠CGO=∠FB, 在△CGO和△OFB中， ∠COG=∠OBF, ∠ADC=90°，，∴.∠0AB+ OC=BO, ∠CAD=90°， ∠OAB+ ,.△CGO)≌△OFB(AAS). AB)=90...AB)= (2)△CG O≌△OFB, ..G=OF,OG= ∠CAD,在△AOB和 0 BF.'.'BF =1.8 m,CG=2.2 m,OF= △CDA中， 2.2m,(G=1.8m. ..FG=OF-OG= I∠ABO=∠CAD 2.2-1.8=0.4(m)..妈妈在距地面1.2m ∠AOB=∠CDA,∴.△A(OB≌△CDA(AAS) 高的B处接住小丽，即MF1.2m, AB=CA. .MG=MF+FG=1.2+0.4=1.6(m). ..OA=CD,OB=AD,A(1,0),B(0, 二爸爸是在距离地面1.6m高的地方接住小 2),.OB=2,OA=1,∴.AD=OB=2. 即的. CD=QA=1,..OD=0A+AD=1+2=3, 14.3 角的平分线 .点C的坐标为(3,1)， 2.证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG 第1课时 角的平分线的画法及性质 AD=AB,在△ABE和△ADG中， 基础达标 AB=AD 1.C ∠ABE=∠ADG,∴.△ABE≌△ADG(SAS),2.解：(1)如图，AD即为所求 BE=DG .∠BAE=∠DAG,AE=AG,.∠EAG= D木 90°，∴.∠GAF=∠EAG ∠EAF=45°，在 (AE-AG, △FAE和△FAG中， ∠EAF=∠GAF=45 A R AF=AF, (2)∠C=80°，∠B=40°，∴.∠CAB ∴.△FAE≌△FAG(SAS),∴.EF=FG 180°-∠B-∠C=60°，：AD平分∠CAB, 3.解：(1)AB=AC+CD.理由如下： ,AD为∠BAC的平分线， .∠EAD .∠CAD=∠DAB=2 ×60°=30， ∠CAD,在△EAD和△CAD中， ∴.∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110° (AE=AC, 3.B4.C ∠EAD=∠CAD,∴.△EAD≌△CAD(SAS), AD=AD. 5.证明：E是∠AOB的平分线上一点，EC OA,EDLOB,.EC=ED. ∴.ED=CD,∠AED=∠C=90°，.∠BED /C=P) 90°，∠ACB=2∠B=90°，∴.∠B=45° 在Rt△(OCE和Rt△ODE中， ∠EDB=∠B=45,ED=EB,.EB OE=OE, .Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)..OC=OD. CD...AB=AE+EB=AC+CD. 6. 证明：：BD是∠ABC的平分线， (2)AB=AC CD 理由如下： ∴，∠ABD=∠CBD. 如图，在AB上载币AF= (AB=CB. AC,连接FD,AD为 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, ∠BAC的平分线. BD=BD ∠FAD ∠CAD,在 ,.△ABD≌△CBD(SAS). △FAD和△CAD中， AF=AC, B 洋分地 .∠ADP=∠CDP ∠FAD=∠CAD,'.△FAD≌△CAD(SAS), 又PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PN. AD-AD. .FD=CD,∠AFD=∠ACB,,∠AFD= 能力提升 ∠B ∠FDB. ∠ACB=2∠B,∴.∠B+ 1.C2.A ∠FDB=2∠B,,∠FDB=∠B,,FD= 3.12 FB, .FB CD,,AB AF+FB 4.解：(1)，BD平分∠ABC,∠ABC=40°， AC+CD. ·∠DBC=7∠ABC=7X40°=20°， (3)不成立，新数量关系为CD=AB十AC 'CD平分∠ACB,∠ACB=70°， 滚动练习一（14.1~14.2) 1.C2.C 3.D4.B5.B6.C ∠DCB=2∠ACB=2X70°=35， 7.12070768.(6,-4) .∠BDC=180°-20°-35°=125° 9.AB=AC(答案不唯一)10.8 (2),BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, 11.解：如图所示.（答案不唯一） DE=2,DF DE =2.BC =9, S△BD=2 XBCX DF=2X9X2=9, 5.解：(1)∠ABC的平分线BD如图所示 H D 12.证明：，ACBE, ∠DBF (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∠C= DRE BD平分∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB, 在△ABC和△DEB中， BC=EB. ∴.CD=DH=3. ∠ABC=∠E ∴.△ABC≌△DEB(ASA), ∴.S△AC=S△D十S△ABD= BC·CD+ ..AB=DE. 13.解：(1)证明：△ABC的两条高AD,CE 2AB·DH= X3BC+ 1 2 交于点F,.∠BEC ∠AEF=90°， ·∠BCE+ /R- ∠DAB+∠B=90° 3(BC-+AB)= 2×3×16=24. ∠BCE=∠DAB,在△AEF和△CEB中， 6.证明：(1).AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC= I∠FAE=∠BCE, 180°. AM平分∠BAD,DM平分∠ADC AEF-∠CEB,∴.△AEF≌△CEB(AAS) ,.∠BAD=2∠MAD,∠ADC=2∠ADM AF=CB, .2∠MAD+2∠ADM=180°. ∴.∠MAD