第十五章 微专题5：手拉手模型-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学八年级上册(RJ) .DE=DF,AE-AF, 点A,D都在EF的垂直平分线上 .AD垂直平分EF. (2)解：：∠BAC=60°，AD平分∠BAC, .∠EAD=30 .AD=2DE,∠EDA=60°. ,AD垂直平分EF, ∴.∠EOD=90°. .∠DE0=30. ∴.DE=2DO ..AD=4DO. ∴.AO=3OD=6. 第30课时等腰三角形、等边三角形习题课 1.C2.A3.C4.a-105.156.177.45 8.解：(1)，∠C=90°，∠DBC=60°， ∴.∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30°. ∠A=15°，∠A+∠ABD=∠BDC, ∴.∠ABD=15°. (2)在△BDC中，∠BDC=30°，∠C=90°， ∴.BD=2BC=2 ∠ABD=15=∠A,.AD=BD=2. 9.解：(1)△ABC是等边三角形， ∠B=∠ACB=60°. :DE∥AB, .∠EDC=∠B=60° EF⊥DE, ∠DEF=90, .∠F=180°-∠DEF-∠EDC=30°， (2)∠ACB=60°，∠EDC=60°， △EDC是等边三角形， .DE=CD=4. :∠DEF=90°，∠F=30°， .DF=2DE=8. 10.解：(1).△ABC为等边三角形， .∠B=60°.∴.BP=BQ时，△BPQ为等边三角形 根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, .BP=(16-3t)cm. 16-31=2,解得1=9 :当1=9时，△BPQ是等边三角形。 (2)由(1)知BQ=2tcm, ∴.BP=(16-3t)cm,∠B=60°， ∠BQP=90°，∴∠BPQ=30° BQ-BP,即2=16-30， 解得=9 当1=9时，∠BQP是直角， 第31课时综合与实践：最短路径问题 1.C2.C3.②相等4.105.B6.C 7.解：如答图所示，AQ一QP-PB为所求 草地 A● 0 N B 马A 答图 8.解：(1)如答图，△A'BC即为所求， (2)如答图，点P即为所求。 YA --L- 0 ----- }----- 答图 9.解：如答图，AC十CD+BD=AC+CD+B'D=A'B',故牧羊 人应让羊群在点C处吃草，在点D处饮水，才能使他出行路 线最短。 A 草地 羊 PB休息区 河流Dg 答图 10.C 微专题5：手拉手模型 1.A 2.证明：：△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， BC,DE是底边， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE 3.证明：△ABD和△ACE是等腰直角三角形， ∠BAD=∠CAE=90°， ..AB-AD,AC=AE, ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, .∠DAC=∠BAE. AB=AD 在△AEB和△ACD中， ∠BAE=∠DAC, (AE-AC. ∴.△AEB≌△ACD(SAS), .BE=CD. 12 4.(1)证明：，'△OAB与△APQ都是等边三角形， .OA=BA,PA=AQ,∠OAB=∠PAQ=60°， .∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB, .∠OAP=∠BAQ, (AO-AB 在△OAP和△BAQ中，∠OAP=∠BAQ, LAP=AQ, ∴.△OAP≌△BAQ(SAS),.OP=BQ: (2)解：△COB是等腰三角形，理由如下： △OAP≌△BAQ,∴.∠ABQ=∠AOP=90°， .∠ABC=180°-∠ABQ=90°， .在等边△OAB中，∠AOB=∠ABO=60°， .∠COB=∠CB0=90°-60°=30°， .CO=CB,.△COB是等腰三角形 5.(1)证明：，△CDE是等边三角形， .CE=CD,∠D=∠ECD=60° :△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形， 且AD=BE, ∴.∠ACD=∠BCE=90°，Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). ∴∠ACB=∠ECD=60°，∠CBF=∠CAD=90°-60°=30. ∠CFB=180°-∠CBF-∠BCF=90°..BE⊥AC. (2)解：Rt△ADC≌Rt△BEC,∴.BE=AD=6. :∠CBE=30,∠BCE=90,CE=专BE=3. :∠ECF=∠ACD-∠ECD=30°，BE⊥AC, ∴EF=专CE=BF=BE-EF= 6.A 微专题6：特殊三角形常见辅助线的作法 1.证明：如答图，连接AM, ,∠B=∠C(已知)， .AB=AC(等角对等边)， ,M为BC的中点， ∴.AM平分∠BAC, MD⊥AB,ME⊥AC, ∴.MD=ME. 2.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如答图所示. :∠B=∠C, ..AB=AC,.BD=CD, :M,N是边BC的三等分点， ∴.BM=MN=CN, ∴.BD-BM=CD-CN, 即MD=ND, .AD为线段MN的垂直平分线， ∴.AM=AN. 3.(1)证明：过点P作PF∥BC,交AC 于F,如答图所示， :△ABC为等边三角形且边长 为4， 参考咨案 .AC=4,∠A=∠B=60°， PF∥BC, ∴.∠APF=∠B=60°，∠DPF=∠Q, ∴.△APF为等边三角形，.PA=PF, PA=CQ,∴.PF=CQ, I∠DPF=∠Q, 在△DPF和△DQC中， ∠PDF=∠QDC, PF-CQ, '.△DPF≌△DQC(AAS), PD=QD,即点D为PQ中点. 4.解：(1)AD=CE 理由如下：如答图1，过点D作DP∥BC,交AB于点P, ,△ABC是等边三角形， ∴△APD也是等边三角形， ∴.AP=PD=AD, ∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=6O°， DB=DE,.∠DBC=∠DEC, DP∥BC,.∠PDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠DEC, 又∠BPD=∠A+∠ADP=120°， ∠DCE=∠A+∠ABC=120°， 即∠BPD=∠DCE, 在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE, DB=DE, ∴△BPD≌△DCE, .PD=CE,∴.AD=CE C D 答图1 答图2 (2)成立.理由如下：如答图2，过点D作DP∥BC,交AB的 延长线于点P, ,△ABC是等边三角形， △APD也是等边三角形， ∴AP=PD=AD, ∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°， .DB=DE, ∴∠DBC=∠DEC, DP∥BC, ∠PDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠DEC, I∠PDB=∠DEC, 在△BPD和△DCE中，∠P=∠DCE=60°， DB-DE, .△BPD≌△DCE, .PD=CE, ∴.AD=CE.数学·八年级·上册（人教版） 微专题5：手拉手模型 A基础巩固●· 落实课标 1.如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF,则△DEF是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2.如图，△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC,DE分别是底边，求证BD=CE. 3.如图，△ABD和△ACE都是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=90°，求证BE=CD. ●>76● 第十五章轴对称 B能力提升。· 灵活应用 4.如图，在Rt△AOP中，以OA为边作等边三角形OAB,以AP为边作等边三角形APQ,连QB并延 长交OP于点C (1)求证OP=BQ: (2)判断△COB的形状，并说明理由. 5.如图，△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形，BE=AD,△CDE是等边三角形. (1)求证BE⊥AC: (2)若AD=6,求BF的长. C拓展应用。。· 深度思考 6.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A,C,E三点共线.AD与BE交于点O,AD与BC 交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下四个结论：①AD=BE;②AP=BQ;③△PCQ是等边 三角形；④PQ∥AE,其中正确的结论有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ●>77●