第十四章 微专题4：巧构全等三角形解决问题-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·上册（人教版） 微专题4：巧构全等三角形解决问题 A基础巩固●· 落实课标 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AM=AN,BN=CM,若∠AMB=126°，求∠MAN的大小. B能力提升●。。 灵活应用 2.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,BC=CD.求证∠ADC+∠B=180°. 3.如图，在△ABD中，∠D=90°，延长AB至点C,使BC=AD,过点B作BE⊥BD,使BE=AB,连接 EC. (1)求证△ABD≌△BEC; (2)若AD=6,AC=16,求BE的长. ●>46● 第十四章全等三角形 C拓展应用 ●● 深度思考 4.(2025春·深圳期中【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系. 图1 图2 【初步探索】 小亮同学认为：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是 【探索延伸】 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，∠EAF= 司∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由。 ●>47●6.证明：，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90. D是BC的中点， ∴.BD=CD (DE-DF, 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DB=DC, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴.∠B=∠C 7.证明：：OC平分∠MON, ∠BOC=∠AOC. (OB-OA. 在△BOC与△AOC中，∠BOC-=∠AOC, OC=OC, .△BOC≌△AOC(SAS),∴.∠BCO=∠ACO. PD⊥AC于点D,PE⊥BC于点E, ∴.PD=PE 8.解：：DE⊥AB,∠DEB=∠DEA=90. ∴.∠C=∠DEA=90° AD平分∠BAC, ∴.DE=DC,∠EAD=∠CAD. .△ACD≌△AED(AAS) ..AC=AE=5. ,BD=DF,.Rt△DEB≌Rt△DCF(HL). ..CF=BE=2. .AF=AC-CF=5-2=3. 第18课时角平分线的判定 1.D2.15 3.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°， (BD=CD, 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线. 4.(1)解：∠BAC的度数为a, ∠EBC=∠BAC+∠ACB,∠FCB=∠BAC+∠ABC, ∴.∠EBC+∠FCB=∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC =a+∠ACB+a+∠ABC=180°+a, ,BD,CD分别是∠EBC,∠FCB的平分线， ∴∠DBC+∠DCB=Z(∠EBC+∠FCB. ∴∠BDC=18O-号（∠EBC+∠FCB) =180°-2180+a）=90°-7a (2)证明：如答图，作DM⊥AE, DQ⊥AF,DN⊥BC, M BD,CD分别是∠EBC, ∠FCB的平分线， D .DM-DN,DN=DQ, 答图 则DM=DQ, 即AD平分∠BAC. 参考杏案 5.(1)解：已知：PD⊥AO,PE⊥BO,垂足分别是D,E, 且PD=PE.求证：OC平分∠AOB. 证明：：PD⊥AO,PE⊥BO, .∠PDO=∠PEO=90. (OP-OP, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， PD=PE, .Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). ∴.∠DOP=∠EOP, .OC是∠AOB的平分线. (2)证明：如答图，过点E作EF⊥AD于F, ,DE平分∠ADC,∠C=90°， ∴.EC=EF, E是BC的中点， ∴.EC=EB, ∴.EF=EB. 答图 又.∠B=90°， AE是∠DAB的平分线， 又DE平分∠ADC, ∴∠ADE=合∠ADC,∠DAE=合∠DAB, 又：∠B=∠C=90°， .AB∥CD: .∠ADC+∠DAB=180°， :∠ADE+∠DAE=∠ADC+号∠DAB =2(∠ADC+∠DAB)=90, .∠AED=90即AE⊥DE, 微专题4：巧构全等三角形解决问题 1.解：：∠AMB=126°，.∠AMC=180°-∠AMB=54°， (AB=AC, 在△ABN和△ACM中，AN=AM, BN=CM, ,.△ABN≌△ACM(SSS), .∠ANB=∠AMC=54°， .∠MAN=180°-∠AMC-∠ANB=72°. 2.证明：如答图，在AB上截取AE=AD,连接CE, 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC, (AE-AD, 在△ACE和△ACD中，∠DAC=∠EAC, AC=AC, 所以△ACE≌△ACD(SAS), 所以∠ADC=∠AEC,CE=CD, 因为BC=CD,所以CE=BC,所以 ∠CEB=∠B, 答图 因为∠AEC+∠CEB=180°，所以∠ADC+∠B=180° 3.(1)证明：∠D=90°，BE⊥BD, .∠A+∠ABD=∠CBE+∠ABD=9O°， .∠A=∠CBE, BC=AD,BE=AB,∴.△ABD≌△BEC(SAS). 数学八年级上册(RJ) (2)解：，BC=AD=6,AC=16, ∴.AB=AC-BC=16-6=10, ∴.BE=AB=10. 4.【初步探索】EF=BE+FD 【探索延伸】解：结论仍然成立.理由如下： 延长FD到H,使DH=BE,连接AH,如答图所示， ∴.HF=DH+FD=BE+FD, .∠B+∠ADC=180°， ∠ADH+∠ADC=180°， ∠B=∠ADH, AB=AD, 在△ABE和△ADH中，∠B=∠ADH, 答图 BE=DH, ,.△ABE≌△ADH(SAS), ∴.AE=AH,∠BAE=∠HAD ,∴.∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠HAD+∠EAD=∠HAE, :∠EAF=名∠BAD,∴∠EAF=∠HAE, AF是∠HAE的平分线， ∠EAF=∠HAF, (AE-AH, 在△AEF和△AHF中，〈∠EAF=∠HAF, AF-AF, .△AEF≌△AHF(SAS),∴.EF=HF, 又HF=BE+FD,.EF=BE十FD, ∴结论仍然成立. 第十四章《全等三角形》易错疑难集训 1.A2.123.D4.AD=AC5.A 6.解：(1)所作∠BCE如答图所示. D C 答图 (2)所作图形如答图所示. (3)PF=CA.理由如下： :∠A=∠BCP=∠CFP, ∠ACB+∠A+∠ABC=∠ACB+∠BCP+∠FCP=180°， ∴.∠ABC=∠FCP, AB=FC,.△ABC≌△FCP(ASA),.PF=CA. 7.3或7或108.15 9.解：(1)如答图，过点D作DF⊥AB,交BA的延长线于点F, :BD为∠ABC的平分线， ∠FBD=∠EBD, DF⊥AB,DE⊥BC, ∴.∠AFD=∠DEC=∠BED=90°， 又BD=BD, ∴.△FBD≌△EBD(AAS), 答图 .BF=BE, :∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠FAD=180°， ∴.∠FAD=∠BCD, 又AD=CD,∠AFD=∠DEC=90°， .△FAD≌△ECD(AAS),∴AF=CE, .BC=BE+EC=BF+CE=AB+AF+CE=12+2CE =16, ∴.CE=2. (2)BE=7m 10.C11.①②③ 第19课时《全等三角形》章末复习 1.B2.C 3.证明：：AD∥CE,.∠A=∠C :∠DBC+∠ABD=180°，∠DBC+∠CEB=180°， .∠ABD=∠CEB, ∠A=∠C, 在△ADB和△CBE中， ∠ABD=∠CEB, BD-EB. ·△ADB≌△CBE(AAS), ..AD=CB. 4.证明：DA=EB, ..DA+AE=AE+EB, .DE-AB, EF∥BC, ∴.∠FED=∠B, (FE=BC, 在△DEF和△ABC中，∠FED=∠CBA, DE-AB, ,△DEF≌△ABC(SAS). 5.证明：A,O,B三点共线，C,O,D三点共线， .∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠AOC=∠BOD. ∠C=∠D, 在△AOC和△BOD中，{∠AOC=∠BOD, (AC=BD, ∴.△AOC≌△BOD(AAS). 6.解：(1)PC⊥PQ.理由如下： .AC⊥AB,BD⊥AB,.∠A=∠B=90° 由题意可知AP=BQ=2cm, .BP=AB-AP=6 cm..BP=AC. (AP=BQ, 在△ACP和△BPQ中， ∠A=∠B, AC=BP, ∴.△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠C=∠BPQ. ∠C+∠APC=90°，∴.∠APC+∠BPQ=90. ∴.∠CPQ=90°.∴.PC⊥PQ. (2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ, 可得6=8-t,t=xt,解得x=1,t=2;