专题4.3 等差数列的前n项和（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题4.3 等差数列的前n项和（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 4 【题型3 求等差数列的前n项和】 6 【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 7 【题型5 等差数列前n项和的性质】 10 【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 12 【题型7 等差数列前n项和的最值】 13 【题型8 根据等差数列前n项和的最值求参数】 15 【题型9 等差数列的简单应用】 17 考点1 等差数列的前n项和 知识点1 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式： (公式一). (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东东莞·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列前项和公式列方程计算即可求得结果. 【解答过程】由题意得,解得， 又，解得, 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解题思路】设等差数列的公差为，求解关于的方程组，再由通项公式代值计算即得. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则由可得， 解得，则. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列前项和公式和通项公式进行求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 在等差数列中，，， 所以有， 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·广东佛山·期末）等差数列的前项和为，，，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】利用递推公式和等差数列的性质，求出公差，再结合题目条件即可判断出的值. 【解答过程】已知数列为等差数列，且，， 则，，即， ，， ，满足，故. 故选：B. 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 【例2】（25-26高二下·新疆喀什·阶段检测）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据，可求出，进一步判断选项即可. 【解答过程】因为， 所以时， ， 又时， ,符合上式， 故，所以公差. 故选： 【变式2-1】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________． 【答案】 【解题思路】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论. 【解答过程】由知， 当时，； 当时，， 此时，当时，， 当时，，而， 若数列是等差数列，则， 所以，则. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故 . 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再解一元二次不等式，结合为正整数，即可得解. 【解答过程】（1）由可知，，， 联立两式，解得，故， 因此数列的通项公式为； （2）因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 【题型3 求等差数列的前n项和】 【例3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列满足，，则其前30项和（   ） A．585 B．957 C．1020 D．1085 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式结合题设先求得，再根据求和公式计算即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期末）在等差数列中，若，与的等差中项为8，则数列的前11项和（   ） A．22 B．44 C．66 D．88 【答案】B 【解题思路】设等差数列公差为，由题设可得与，据此可得答案. 【解答过程】设等差数列公差为， ， 与的等差中项为，则. 则，，从而. 故选：B. 【变式3-2】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差中项的性质及等差数列通项公式与求和公式列方程，解方程组； （2）根据等差数列的求和公式直接计算. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由是，的等差中项，得， 即，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得， 所以前n项和. 【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 【例4】（25-26高二上·天津·期末）在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 【答案】B 【解题思路】根据已知条件先求出等差数列的通项公式，然后判断数列的性质，然后化简，最后根据等差数列的前项和公式计算即可. 【解答过程】因为为等差数列，， 所以设公差为，则由得. 所以. 当时，，当时，， 记等差数列的前项和为， 所以. 由于. 所以. 故选：B. 【变式4-1】（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【解题思路】利用等差数列前n项和及其性质求基本量，进而得到，再确定的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，最后由的前12项和求结果. 【解答过程】由，可得， 所以，故数列的公差，且， 所以，令，， 所以的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，且， 所以的前12项和. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知数列为等差数列，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式求，即可得通项公式； （2）根据的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，即的通项公式为. （2）由（1）可得，， 令，解得，则； 令，解得，则； 当时， 则； 当时，则； 所以. 【变式4-3】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； (3). 【解题思路】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； （3）， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【解答过程】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【解答过程】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【解答过程】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【解答过程】依题意得. 故选：A. 【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【例6】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的前项和是关于的二次函数，由二次函数的对称性即可求解. 【解答过程】因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，, 可得，解得. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【解题思路】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【解答过程】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B. 【变式6-2】（2026高二·湖南·专题练习）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【解答过程】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 【变式6-3】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据的表达式为关于的二次函数，且则易得的对称轴方程，再利用对称轴方程，结合易得. 【解答过程】设等差数列的公差为． 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数， 又故对称轴方程为． 又，解得． 故选：B. 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【解答过程】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，则满足的最大整数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【解题思路】根据的函数性质，结合的正负，即可容易判断. 【解答过程】因为数列的前n项和有最大值，且，故可得， 由，可得，且. 又，， 由等差数列的前项和公式可知： ，， 故满足题意的的最大值为. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2) ，-25 【解题思路】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由通项公式求解. （2）求解的表达式，即可根据二次函数的性质求解最值. 【解答过程】（1）设数列的公差为， 由题意可知，解得． 所以． （2）因为 ， 所以当时，取得最小值，最小值为． 【变式7-3】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为9. 【解题思路】（1）应用等差数列的前n项和公式求得，再由等差数列的通项公式求得公差，进而写出数列的通项公式； （2）根据（1）所得通项公式，结合等差数列的单调性确定对应的范围，进而确定最大值及其对应值. 【解答过程】（1）由题设，，所以， 令的公差为，则， 所以； （2）由（1），若，且，则， 而时，故时取得最大值， 所以. 【题型8 根据等差数列前n项和的最值求参数】 【例8】（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【解答过程】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【解题思路】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【解答过程】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 【变式8-2】（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围. 【解答过程】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又 ，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，进而得，解出即可求解. 【解答过程】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 【题型9 等差数列的简单应用】 【例9】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【解题思路】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【解答过程】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 【变式9-1】（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【解答过程】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解题思路】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【变式9-3】（2026·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等差数列的前n项和（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 3 【题型3 求等差数列的前n项和】 3 【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 4 【题型5 等差数列前n项和的性质】 5 【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 5 【题型7 等差数列前n项和的最值】 6 【题型8 根据等差数列前n项和的最值求参数】 7 【题型9 等差数列的简单应用】 7 考点1 等差数列的前n项和 知识点1 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式： (公式一). (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东东莞·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·广东佛山·期末）等差数列的前项和为，，，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 【例2】（25-26高二下·新疆喀什·阶段检测）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________． 【变式2-2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 【题型3 求等差数列的前n项和】 【例3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列满足，，则其前30项和（   ） A．585 B．957 C．1020 D．1085 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期末）在等差数列中，若，与的等差中项为8，则数列的前11项和（   ） A．22 B．44 C．66 D．88 【变式3-2】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【题型4 含绝对值的等差数列前n项和】 【例4】（25-26高二上·天津·期末）在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 【变式4-1】（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【变式4-2】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知数列为等差数列，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式4-3】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则=（   ） A． B． C． D． 【题型6 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【例6】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【变式6-1】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【变式6-2】（2026高二·湖南·专题练习）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，则满足的最大整数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式7-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【变式7-3】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【题型8 根据等差数列前n项和的最值求参数】 【例8】（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【变式8-2】（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9 等差数列的简单应用】 【例9】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【变式9-1】（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【变式9-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式9-3】（2026·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $