专题4.3 等比数列（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题4.3 等比数列 教学目标 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系． 教学重难点 1.重点 （1）等比数列的概念与等比中项； （2）等比数列的通项公式； （3）等比数列的前n项和。 2.难点 （1）累乘法求数列通项公式； （2）等比数列的前n项和的性质与特征，错位相减法求和等。 知识点01 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 知识点02 等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 知识点03 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 知识点04 等比数列的有关结论 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 题型01 等比数列的概念 【典例1】．已知是等比数列，若，则（    ） A．6 B．18 C．216 D．无法计算 【答案】C 【难度】0.86 【知识点】等比中项的应用 【详解】因为是等比数列，所以，故. 【变式1】．一直角三角形三边长成等比数列，则（   ） A．三边边长之比为 B．三边边长之比为 C．较小锐角的正弦值为 D．较大锐角的正弦值为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、等比中项的应用 【分析】设直角三角形三边并设斜边为最长边，结合等比中项与勾股定理构造方程，换元得到关于较小锐角正弦的一元二次方程，取正根求出正弦值，再依次验证排除其余错误选项． 【详解】设直角三角形三边长为（为斜边，）， 由三边成等比数列，则，由勾股定理，得， 把代入，得， 两边除以，令（即较小锐角的正弦值）： ， 解得 由于边长比值为正，故， 即较小锐角的正弦值为， 对于A，不是等比数列，A错误； 对于B，不满足勾股定理，B错误； 对于C，较小锐角的正弦值为，C正确； 对于D，较大锐角的正弦值为，D错误． 【变式2】．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）若正实数，，成等比数列，则的值为__________. 【答案】1 【难度】0.9 【知识点】等比中项的应用 【详解】因为正实数成等比数列，所以， 解得或，因为，所以． 【变式3】．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 【答案】 【难度】0.68 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，，所以， 两式相除得，所以，所以， 所以，解得，代入， 得，解得，， 所以. 【变式4】．（25-26高二下·河南南阳·期末）若成等比数列，则该数列的公比为________． 【答案】 2 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用 【详解】因为成等比数列，所以， 解得，所以该数列的公比为. 题型02 等比数列的通项公式 【典例2】．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式，将用首项表示，由等差数列中项性质建立方程，求解首项，进而写出通项公式. 【详解】因为等比数列的公比为2， 所以， 因为，，成等差数列， 所以， 即，解得， 所以. 【变式1】．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【详解】由等比性质可得：，结合得， 即，解得，又数列各项均为正数，故， ，故数列的通项公式为. 【变式2】．（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 【变式3】．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项 【详解】因为，所以， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以. 【变式4】．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 【变式5】．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.92 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 【变式6】．在等比数列中， (1)已知，求； (2)已知，求n． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）方法一：设等比数列的公比为q，可得，求出的值，代入通项公式即可；方法二：设等比数列的公比为q，则，求出q值，代入通项公式即可； （2）方法一：根据条件求出的值，代入通项公式，结合条件，即可得n值；方法二：根据条件求出q及的值，代入通项公式，结合条件，即可得n值. 【详解】（1）方法一：设等比数列的公比为q，则， 解得，所以 ． 方法二：设等比数列的公比为q，则，解得， 所以． （2）方法一：设等比数列的公比为q，则，解得， 代入可得，从而． 由，得，即，解得． 方法二：设等比数列的公比为q． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 由，得，解得． 题型03 等比中项 【典例3】．（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】等比中项的应用 【详解】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即. 【变式1】．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用 【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题可得，即，解得， 所以， 故选：A. 【变式2】．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比中项的应用 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以 所以 . 故选：A. 【变式3】．若正项等比数列中的是方程的两个根，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、等比中项的应用 【分析】根据等比中项结合对数运算分析求解. 【详解】因为正项等比数列中的是方程的两个根， 则， 所以 . 故答案为：. 【变式4】．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、等比中项的应用 【分析】先由等差数列前n项和的性质求得，然后利用等比中项的概念求解即可. 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 题型04 等比数列的前n项和 【典例4】．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 【变式1】．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】39 【难度】0.85 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【详解】由等比数列满足， 可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得. 【变式2】．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 【变式3】．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 【变式4】．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 【变式5】．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设的公差为d，的公比为，由题意得，联立可得和的值，即可得的通项公式，进而可得和的值，联立可得d值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）可得，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】（1）设的公差为d，的公比为， 由题意得，则，即， 代入可得，所以. 所以，， 又，解得， 所以. （2）由（1）可知， 所以. 【变式6】．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列和满足．. (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，， 则将两式相加，可得，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． (2) 【难度】0.71 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）通过对已知递推式分别相加、相减，构造出数列与，结合等比、等差数列定义完成证明；（2）利用平方差公式转化通项，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前n项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，， 所以． 记① 则② ①②得， 所以， 所以． 题型05 错位相减法 【典例5】．（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由题意可得，当时，，   当时，，，两式相减得，   当时，，满足上式，   所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2) 【难度】0.67 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、前n项和与通项关系、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)利用数列前项和与通项的递推关系，写出时，和已知的两式作差，得到与的递推比例关系，再验证首项符合等比数列定义即可完成证明. (2)先由第一问结论得出的通项，代入化简得到可使用错位相减的差比型数列，通过乘公比后错位相减，整理计算即可得到前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以，   所以，①   所以，②   由①②，得，   所以．   【变式1】．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过构造辅助等比数列求解； （2）将通项拆分为等差乘等比型项与等差数列项的差，分别用错位相减法和等差数列求和公式计算后合并结果 【详解】（1）因为， 所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以. 【变式2】．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，因为，所以． 【难度】0.64 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）借助等差中项建立方程求出等比数列的公比，再结合前三项和得到首项，最后根据等比数列通项公式即可得到； （2）先化简，根据的特点利用错位相减法进行求和，最后通过放缩即可证明. 【详解】（1）设是等比数列的公比， 由题可得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项． （2）略 【变式3】．（25-26高二下·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.64 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，即可得数列的通项公式，分析可知数列是等比数列，可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用分组求和法，结合等差数列求和公式以及错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，且，，即， 可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 又因为，可得， 且，可知数列是等比数列，首项为3，公比为3， 所以，即. （2）由（1）可知：， 则， 因为， 令，则， 两式相减得， 可得， 所以. 【变式4】．（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）设数列的公比为，计算基本量，利用等比数列通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 题型06 综合应用 【典例6】．（25-26高二下·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：当时，，又，所以； 当时，，故， 两式相减得，即， 则，首项， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 通项公式为； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）先根据与关系求出的递推公式，进一步构造数列，利用定义证明等比数列；再根据等比数列的通项公式求的通项公式； （2）变形得到，利用数列单调性得到数列的最大值，进而得到实数的取值范围； （3）根据得到，将利用二项式定理展开，再分类讨论n为奇数和偶数，得到的通项公式，再分组求和即可. 【详解】（1）证明略；，所以； （2）由（1）知，，所以， 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以实数的取值范围为； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 【变式1】．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 【变式2】．（25-26高一上·河北邯郸·期末）如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】根据数列的递推公式，和等比数列的定义，求出等比数列的通项公式，再根据分组求和法，求出数列前n项和. 【详解】由题图可知，， 分析可得递推关系式：， 则有，又， 所以，则有，所以为等比数列， 首项为，公比为3，所以，得， 则． 故选：B． 【变式3】．（25-26高二下·江西九江·期末）（多选题）已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．满足，且的所有的和为1225 C．满足的的取值集合为 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.35 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】A选项，变形得到，因为，所以，A正确；B选项，得到，，所以当或时，，从而求出所有的和；C选项，的奇数项为1，偶数项为0，求出C正确；D选项，当为偶数时，，当为奇数时，，求和即可 【详解】A选项，中取，得， 所以，因为，，……，所以，故A正确； B选项，取，，结合A选项的分析，得， 因为，所以，，所以当或时，， 所以满足，且的所有的和为 ，故B错误； C选项，的奇数项为1，偶数项为0， 所以满足的的取值集合为，故C正确； D选项，当为偶数时，.当为奇数时，， 所以，故D正确. 【变式4】．（2026·陕西渭南·三模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 【答案】7 【难度】0.45 【知识点】求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】通过构造辅助等比数列推导数列总和的正确递推通项，求出构造次数，归纳首个插入数的变化规律完成求解. 【详解】设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为. 初始数列总和. 由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和， 可得，. 联立化简得，变形为， 因此，是以为首项、为公比的等比数列， ，， 前次插入所有数字的总和满足， 结合题设，可得，，， 解得，即. 归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次. 因此，第次构造时，. 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列的定义 【详解】充分性验证： 若非零实数、、、依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为， 则，，， 所以，，因此， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”； 必要性验证： 若，当，，则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”. 因此，“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的充分不必要条件. 2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】根据等比中项及等差数列基本量计算即可求解． 【详解】由已知得， 所以． 3．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求出，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得 ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 5．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列满足，则______． 【答案】 27 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、等比中项的应用 【分析】由对数的运算性质和等比中项的性质求解. 【详解】由题知，，由等比中项， 则，则（负值舍去）. 7．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】根据等比中项和等差中项列出方程组，通过代数变形消元，推导出，进而求解. 【详解】由成等比数列，成等差数列， 得即，即得< 故，即． 所以． 故答案为：. 8．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程，求出公差，检验后得到答案. 【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列， 可得， 即为，化为，解得或， 若，即有4，6，9成等比数列，满足要求； 若，即有1，0，0不成等比数列．则成立． 故答案为：2 9．记为等比数列的前项和，若，，则_____. 【答案】24 【难度】0.74 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： ，整理得， 所以. 10．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【难度】0.63 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和性质求解. 【详解】根据等比数列的性质，当时，也成等比数列， 不妨设，则， 即是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，， 可得，则. 故答案为：. 11．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【详解】（1）由等比数列的通项公式得． （2）设等比数列的公比为，则，解得， 所以． 12．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足. (1)写出数列的前三项，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)前三项为，，，通项公式为 (2)数列的前项和为。 【难度】0.74 【知识点】裂项相消法求和、数列综合 【详解】（1）： ； ：； ：. 由已知条件可知当时：. 两式相减得：，. 当时，，也满足此公式，所以通项公式为. （2）. 设前n项和为，. 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.77 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 14．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，且，等差数列满足， (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【难度】0.7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，得到即可求出的通项公式；再根据等差数列的基本项即可求出的通项公式. （2）由，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由，当时，； 当时，，两式相减，得，即， 所以 是首项为、公比为的等比数列，即的通项公式为； 由，代入 得；，代入得， 设公差为，则，得， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知，，，所以， 由于数列的前项和为，， ， 两式相减得， 故. 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． (2) (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【难度】0.71 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以． （3）略 16．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.72 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意得 又，解得 所以，． （2）设， 所以，① ，② 得： ． 即数列的前n项和． 17．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知数列的前项和为，当时满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2) 所以， 当时，，不等式成立， 当时， 综上． 【难度】0.46 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）对时的递推式变形，构造新的等比数列； （2）分别对等比部分和常数部分求和，合并得到的表达式，将代入化简通项，结合裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，由得 因为，所以，故， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，即． （2）略 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 19．（25-26高二下·广西钦州·期末）（多选题）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若为数列的前n项和，则数列中存在最小项 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和 【详解】由题意，得，故， 所以，，…， ，， 由累加可得， 因为，所以，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， 所以数列为正项单调递增数列，且， 故，数列中存在最小项，故D正确． 20．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为，，，，⋯，面积依次记为，，，，…，则________，________．    【答案】 【难度】0.5 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、图与形中的归纳推理 【分析】答题空1：先找出初始周长，观察每次迭代周长变为原来的，判定周长数列为等比数列，代入算出； 答题空2：先求初始三角形面积，分析每次迭代新增小三角形的数量与面积，发现新增面积构成等比数列，用等比求和叠加初始面积得到的通项． 【详解】答题空1： 初始正三角形边长为，， 每一次迭代：每条边被分成等份，去掉中间段底边、向外作正三角形，每条边变为条长度为原的小边，周长变为原来的倍， 因此是首项、公比的等比数列， 所以，； 答题空2： 设初始正三角形面积， 第次迭代（图①→图②）：每条边上新增个小正三角形，共新增个，小三角形边长为，面积为原三角形的，新增总面积，， 第次迭代（图②→图③）：边数变为，每条边新增个边长为的小正三角形，新增总面积， 第次迭代：每次新增的面积构成首项，公比的等比数列， ， 21．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【答案】(1)①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． (2)先证“充分性”： 当数列具有性质时，则，所以． 又因为，所以， 所以，． 因为，，所以，即“数列为常数列”． 再证“必要性”： 当“数列为常数列”时，则， 即“数列具有性质”． 综上，“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件. (3) 【难度】0.35 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】（1）严格对照定义代入检验，特值法否定不满足的数列； （2）利用递增条件双向夹逼完成充分性证明，常数列直接验证必要性； （3）先锁定底数，放缩结合反证法夹逼得到公比，严谨推导通项. 【详解】（1）① ，左边：，​ 右边：，左边 = 右边，具有性质P(2)； ② 取验证，左边：， 右边：，不满足对任意成立，不具有性质P(2)； ③ 左边：，右边：， 若，则，不是正整数，对任意不成立， 所以不具有性质P(2). 综上所述，①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． （2）略. （3）由题设，当时，有，即． 当时，有，即，所以，为3的正整数次幂， 依此类推，可得数列中的所有项都是3的正整数次幂， 即 ，，使得（*）． 以下证明． ①证明：． 因为数列具有性质，所以，． 当时，有，即， 又因为且，， 由，所以，． 同理，，． 所以，所以． 又由（*）式可知，． ②利用反证法证明． 假设数列中存在相邻的两项之比大于9， 即存在满足或， 得． 所以，又由（*）式可知，． 依此类推，可得，这与矛盾， 所以． 综上． 又，所以． 经检验，该通项公式满足， 所以． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等比数列 教学目标 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系． 教学重难点 1.重点 （1）等比数列的概念与等比中项； （2）等比数列的通项公式； （3）等比数列的前n项和。 2.难点 （1）累乘法求数列通项公式； （2）等比数列的前n项和的性质与特征，错位相减法求和等。 知识点01 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 知识点02 等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 知识点03 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 知识点04 等比数列的有关结论 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 题型01 等比数列的概念 【典例1】．已知是等比数列，若，则（    ） A．6 B．18 C．216 D．无法计算 【变式1】．一直角三角形三边长成等比数列，则（   ） A．三边边长之比为 B．三边边长之比为 C．较小锐角的正弦值为 D．较大锐角的正弦值为 【变式2】．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）若正实数，，成等比数列，则的值为__________. 【变式3】．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 【变式4】．（25-26高二下·河南南阳·期末）若成等比数列，则该数列的公比为________． 题型02 等比数列的通项公式 【典例2】．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【变式1】．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________. 【变式2】．（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【变式3】．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【变式6】．在等比数列中， (1)已知，求； (2)已知，求n． 题型03 等比中项 【典例3】．（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式1】．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】．若正项等比数列中的是方程的两个根，则______． 【变式4】．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 题型04 等比数列的前n项和 【典例4】．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【变式1】．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【变式2】．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【变式3】．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【变式5】．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式6】．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列和满足．. (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 题型05 错位相减法 【典例5】．（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和． 【变式1】．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【变式2】．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 【变式3】．（25-26高二下·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式4】．（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 题型06 综合应用 【典例6】．（25-26高二下·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【变式1】．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【变式2】．（25-26高一上·河北邯郸·期末）如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·江西九江·期末）（多选题）已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．满足，且的所有的和为1225 C．满足的的取值集合为 D．若，则 【变式4】．（2026·陕西渭南·三模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列满足，则______． 7．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 8．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______． 9．记为等比数列的前项和，若，，则_____. 10．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则__________. 11．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 12．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足. (1)写出数列的前三项，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 14．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，且，等差数列满足， (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 16．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 17．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知数列的前项和为，当时满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 19．（25-26高二下·广西钦州·期末）（多选题）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若为数列的前n项和，则数列中存在最小项 20．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为，，，，⋯，面积依次记为，，，，…，则________，________．    21．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $