精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市讷河市部分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年度高二月考数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，再计算得到答案. 【详解】，故 故选： 【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2. 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先由椭圆标准方程得的值，接着由求出c，再由椭圆定义即可计算求解的周长. 【详解】因为，， 所以， 故的周长为． 故选：D. 3. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限，，， 且. 故选：B. 4. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率． 【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个， 由正方体的结构及锯木块的方法， 可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个， ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p． 故选C． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 6. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [3，5] 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示：    设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 7. 已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值. 【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：A. 8. 如图，由点P射出的部分光线被椭圆挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆的“外背面”．若位于椭圆的“外背面”，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设过点的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求的最值，进而可求实数的取值范围． 【详解】设过点的切线方程为， 联立方程组，得， 则，即，解得， 所以切线的方程为：，即， 切线的方程为：，即， 若位于椭圆的“外背面”， 则与相切时取最小值，由，解得或， 结合图形可得的最小值为， 则与相切时取最大值，由，解得或， 结合图形可得的最大值为， ． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是9 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于ABC，根据各自的几何意义找到几何背景，由几何直观得到最值即可；对于D，利用三角换元，求得最值即可. 【详解】由，可得, 即曲线为圆心为，半径为2的圆. 对于A，几何意义为曲线到原点距离平方最大值， 所以当时，曲线到原点距离平方最大，最大值为9，A正确. 对于B，几何意义为曲线上的点与连线的斜率的最大值， 如下图所示，当过的直线与圆相切时，斜率有最大值， 设直线方程为， 则，即，解得或， 由图可知，的最大值是. 对于C，几何意义为曲线上与直线有交点时，直线截距的最大值， 如图，当直线与圆相切时，直线截距有最大值. 此时有，解得或（舍去）， 所以的最大值是，C正确. 对于D，设， 则可化为 因为，所以， 故的最小值是，D错误. 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（ ） A. B. 存在点使得 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求出根据的范围利用配方法可判断A；假设存在点使得，利用椭圆定义、勾股定理可判断B；设内切圆半径为，根据三角形面积相等、的范围，求出取得最大值可判断C；设，求出，根据的范围可判断D. 【详解】，，， 对于A，所以，故A正确； 对于B，假设存在点使得，由题意可得， 整理可得，因为，方程无解， 故不存在点使得，故B错误； 对于C，设内切圆半径为， 由， 即，若能构成三角形，则， 显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确； 对于D，设，则，，且， ， 所以， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解决焦点三角形问题要注意应用三个方面的知识：①圆锥曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为_____． 【答案】x+2y﹣8=0． 【解析】 【详解】由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y﹣2=k（x﹣4），即 kx﹣y+2﹣4k=0， 代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0， ∴x1+x2==8，解得 k=﹣，故直线l的方程为 x+2y﹣8=0， 故答案为： x+2y﹣8=0． 13. 与圆外切于点且半径为1的圆的方程为______. 【答案】（x－5）2＋（y＋1）2＝1 【解析】 【详解】试题分析：圆心为 ，如下图所示，由图可知，所求圆圆心为，方程为. 考点：圆与圆的位置关系. 【思路点晴】本题主要考查数形结合的数学思想方法. 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点； ，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点； ，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为：. 四､解答题､本题共5小图､共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. （1）求今年一月份生产的产品长度在的件数； （2）现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【答案】（1）件 （2） 【解析】 【分析】（1）将产品长度在的频率乘以可得结果； （2）分析可知，在的产品有（件），设编号分别为、、，在的产品有（件），编号分别为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）. 【小问2详解】 由题可知，按分层抽样抽取的件产品中， 在的产品有（件），设编号分别为、、 在的产品有（件），编号分别为、、、， 则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、，共有个基本事件， 其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有： 、、、、、、、、、 、、，共个基本事件， 故所求概率为. 16. 已知圆，圆． （1）若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； （2）若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆所满足的条件得到不等式，得到，两圆相减得，根据公共弦方程，得到，求出答案； （2）由求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式得到方程，求出. 【小问1详解】 由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； 【小问2详解】 圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求大小； （2）若边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理，得，因为， 所以，，所以， 【小问2详解】 设边上的中线为，在中，由余弦定理得：， 即①． 在和中，， 所以，即 化简， 代入①式得， 所以的面积 18. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在，或，理由如下： 取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为，得， 化简得 解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 【解析】 【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论； （2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）是， （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据和过点可求结果； （2）设，所以，，从而得到． （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 ，， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上， 直线和的斜率都存在且不为， 设，所以， ， ， 所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去，整理得， ，则， 则， ， 点到直线的距离为， ， 当，即时面积最大，且最大值为， 此时直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二月考数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 12 3. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为 A. B. C. D. 6. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [3，5] 7. 已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，由点P射出的部分光线被椭圆挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆的“外背面”．若位于椭圆的“外背面”，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是9 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（ ） A. B. 存在点使得 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为_____． 13. 与圆外切于点且半径为1的圆的方程为______. 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 四､解答题､本题共5小图､共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. （1）求今年一月份生产的产品长度在的件数； （2）现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 16. 已知圆，圆． （1）若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； （2）若圆与直线相交于两点，且，求的值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求大小； （2）若边上的中线长为，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $