精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年度上学期12月月考 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 5. 某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示： 宣传费用（万元） 3 1 2 6 销售额（万元） 10 4 16 根据上表可得回归方程，则宣传费用为2万元时销售额为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 7. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为30° B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点P在x轴上，则的最小值是5 11. 圆：和圆：的交点为A，B，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则________． 13. 已知 ，则______． 14. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有______种（用数字作答）． 四、解答题（共计77分） 15. 为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示． （1）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（同一组中数据用该组区间的中点值作代表） （2）把年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？ 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 中老年 合计 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程． （3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元; 方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元. 某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 10 40 30 以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. 求的分布列； 以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期12月月考 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可求得. 【详解】直线的斜率为2，两直线垂直， 故直线的斜率，即. 故选：D． 2. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 3. 已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直和斜率的关系设直线的方程为，代入点坐标，求出直线方程，再联立直线即可. 【详解】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点的坐标为. 故选：C. 4. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 5. 某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示： 宣传费用（万元） 3 1 2 6 销售额（万元） 10 4 16 根据上表可得回归方程，则宣传费用为2万元时销售额为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本点的中心，即可得到答案； 【详解】， ， 故选：C. 6. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 7. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 8. 圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解. 【详解】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断. 【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大， 因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确. 故选：BCD. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为30° B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点P在x轴上，则的最小值是5 【答案】ABC 【解析】 【分析】由斜率公式求出直线AB的斜率即可判断A， 根据两条直线垂直求出a，进而判断B， 利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C， 作B关于x轴的对称点C，进而利用对称性得到答案，进而判断D. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若两条直线垂直，则2a-3=0，得，故错误； 对C，直线可化为，则两条直线间的距离，故C错误； 对D，如图，设点B关于x轴的对称点为C（-1，-1）， 则，当且仅当A,P,C三点共线时取“=”，故D正确. 故选：ABC. 11. 圆：和圆：的交点为A，B，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的方程相减即可得出公共弦方程，进而判断A； 由两直线位置关系可得线段AB的垂直平分线的斜率，结合和直线的点斜式方程即可判断B； 利用几何法求出弦长即可判断C； 将直线AB方程联立方程，求出点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即两圆的公共弦AB所在直线的方程为，故A正确； B：由，知，半径， 由，知，半径， 由选项A可知线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，即，故B正确； C：圆心到直线的距离为， 所以公共弦AB的长为，故C错误； D：，消去y，得，解得或，则或1， 若，，则， 若，，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则________． 【答案】0或 【解析】 【分析】分和两种情况求解即可 【详解】当时，由，得解得， 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行． 综上，当或时，两直线平行． 故答案为：0或 13. 已知 ，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意得到，即可计算求解 【详解】由已知得，，所以，可得，所以， 故答案为：32 14. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有______种（用数字作答）． 【答案】30 【解析】 【分析】分两类，甲、丙两人去同一个村庄与甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，按照分组分配的方法计算可得. 【详解】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法； 第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法． 故共有种分配方法． 故答案为： 四、解答题（共计77分） 15. 为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示． （1）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（同一组中数据用该组区间的中点值作代表） （2）把年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？ 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 中老年 合计 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）a的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁 （2） 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 90 20 110 中老年 60 30 90 合计 150 50 200 能认为阅读方式与年龄有关联 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为得到方程求出，再根据频率分布直方图中平均数的求法计算可得； （2）首先完善列联表，再计算卡方，即可判断. 【小问1详解】 由题图可得，，解得． 各组的频率依次为，，，，， 所以通过电子阅读的居民的平均年龄为: （岁）． 所以a的值为，通过电子阅读的居民的平均年龄为岁． 【小问2详解】 因为200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为， 所以通过电子阅读的有150人，通过纸质阅读的有50人． 因为年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组， 所以电子阅读的青年有（人）， 中老年有（人）． 补全列联表如下：(单位：人) 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 90 20 110 中老年 60 30 90 合计 150 50 200 零假设为：阅读方式与年龄无关． 根据表中数据，计算得． 所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为阅读方式与年龄有关联． 16. 已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程． （3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2），或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解； （3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解. 【小问1详解】 圆心到直线的距离， 所以圆的半径为， 所以； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切． 直线斜率存在，设直线， 由，得所以切线方程为，或． 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线， 由，解得：， 故的方程是，即， 综上所述，直线的方程为或 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 19. 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元; 方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元. 某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 10 40 30 以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. 求的分布列； 以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？ 【答案】(1)的分布列为: (2)选择延保方案一所需费用元,选择延保方案二所需费用元, 则当，即时， 选择方案二； 当，即时，选择方案一，方案二均可； 当，即时，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）确定所有可能的取值为，依次计算每个取值所对应的概率，从而可列出分布列；（2）分别求解两种方案的数学期望，根据数学期望的大小比较，确定选择哪一种更划算. 【详解】（1）所有可能的取值为 ，， ，， ，， 的分布列为 （2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： (元) 选择延保方案二，所需费用元的分布列为： (元) 当，即时， 选择方案二 当，即时，选择方案一，方案二均可 当，即时，选择方案一 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、利用数学期望解决实际问题，关键是明确选择方案的原因在于平均花费更少，即数学期望更小，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $