吉林长春市第二实验中学2026-2027学年度高二上学期10月阶段练习数学试题

2026-2027学年度上学期阶段练习 高二阶段测试答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C D B A A D ACD AB ABC 7．A【详解】关于的对称点设为，则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值，的圆心为，半径， 连接，则即为最小值，即. 8．D【详解】因为，所以设，则．由椭圆的定义，得，， 在中，，因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，，又因为，所以椭圆的离心率． 11．ABC【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，， 在圆中，，半径，. A项，过作圆的切线，切点为，如图所示， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； B项，重心坐标，即，所在直线：，即. 又线段的中点，所以的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， 联立，解得：，所以外心 因为的“欧拉线”为，所以过和， 故直线：，即， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； C项，因为圆上有且只有两个点到的距离都为1， 所以圆心到直线：即的距离小于直径. 即，解得：，故C正确； D项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误. 15．(1)(2) 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 16．(1)或 (2) 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则，则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小， 最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17．(1)57 (2)， 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 18．(1) (2)或 【详解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 19．(1) (2)在定直线上． （ⅱ）． 【详解】（1）由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期阶段练习 高二数学答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C D B A A D ACD AB ABC 7．A【详解】关于的对称点设为，则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值，的圆心为，半径， 连接，则即为最小值，即. 8．D【详解】因为，所以设，则．由椭圆的定义，得，， 在中，，因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，，又因为，所以椭圆的离心率． 11．ABC【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，， 在圆中，，半径，. A项，过作圆的切线，切点为，如图所示， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； B项，重心坐标，即，所在直线：，即. 又线段的中点，所以的垂直平分线为：，同理，的垂直平分线为：， 联立，解得：，所以外心 因为的“欧拉线”为，所以过和，故直线：，即， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； C项，因为圆上有且只有两个点到的距离都为1， 所以圆心到直线：即的距离小于直径. 即，解得：，故C正确； D项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误. 15．(1)(2) 【详解】（1）若，则，————4分 解得：.————————6分 （2）若，则，————————9分 当时，即，解得：或，————11分 又，所以.————12分 综上，；——————13分 16．(1)或 (2) 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线，——1分 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线；————3分 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.————4分 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，——————6分 解得，————7分 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或.————8分 （2） 如图，由圆心到直线的距离为 ，————9分 可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则，————11分 则当最小时，有最小值，由图知，当时，最小， 最小值恰为点到直线的距离，————14分 故的最小值为.——————15分 17．(1)57 (2)， 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为，————2分 圆，即， 则圆心为，半径为，， ————4分 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，——————6分 解得.——————7分 （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为，——————10分 圆心到直线的距离为，————12分 所以公共弦长为.————————15分 18．(1) (2)或 【详解】（1）由题知，则，——————2分 又因为，————4分 所以椭圆的标准方程为．——————5分 （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为，————6分 联立，消去，得， 因为恒成立，所以，————10分 则，————12分 所以的面积，————13分 化简得，解得，所以或，——————16分 所以直线的方程为或．————17分 法二：设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或．所以直线的方程为或． 19．(1) (2)在定直线上． （ⅱ）． 【详解】（1）由题意知，，————1分 将点代入椭圆方程得，解得，————3分 所以椭圆的方程为．————4分 （2）（i）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得————6分 （法一）设过点的切线为， 联立，得， 令上式中，————8分 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为，————10分 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上————12分 （法2：直接给切线方程总分扣2分）由题意可得过P切线的方程可化为，————5分 同理可得过点的切线的方程为，——————6分 联立，化简得， 两式相减得，————8分 即，所以点在定直线上————10分 （ii）将代入直线的方程，得，所以，————13分 再由，及得，中点，————14分 因为，所以三点共线． 所以，————16分 因为，所以，所以．——————17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度上学期阶段练习 高二数学答题卡 姓名： 班级： 座号： 考场： 注意事项 1答题前请将姓名、班级、考场、座位 号和准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 贴条形码区 改时用橡皮擦干净 3.主观题必须使用黑色签字笔书写 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 出答题区域书写无效 5.保持答卷清洁完整 正确填涂■缺考标记☐ 一、选择题(40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C]I[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题(18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] I[A][B][C][D] 三、填空题(15分) 12 13 I 14 四、解答题(77分) 15、(13分) 16、(15分) 17、(15分) 1 0 18、 (17分) 1 1 1 ■ 19、(17分) ■ 2026-2027学年度上学期阶段练习 高二数学试题 时间 2026/10/08 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（ ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 13.椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 14．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 17．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 19．已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 高二数学试题 第1页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $