专题4.2 指数函数（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题4.2 指数函数（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 指数函数的判定】 1 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 2 【题型3 求指数函数的解析式】 2 【题型4 比较指数幂的大小】 4 【题型5 解指数不等式】 5 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 5 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 7 【题型8 指数（型）函数的最值问题】 8 【题型9 指数型复合函数及其应用】 8 【题型10 指数函数的实际应用】 10 考点1 指数函数的概念 知识点1 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式2-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【变式3-3】（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 考点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 解指数不等式】 【例5】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高一上·全国·课前预习）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【变式5-3】（25-26高一上·天津河北·期末）已知指数函数，且的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求不等式的解集. 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-2】（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【变式7-2】（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【题型8 指数（型）函数的最值问题】 【例8】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【变式8-2】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数 (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求a的值； (2)当时，函数的最小值为，求的值. 【题型9 指数型复合函数及其应用】 【例9】（25-26高一上·北京延庆·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并说明理由； (3)若对任意恒成立，求x的取值范围． 【变式9-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数为奇函数． (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·期末）设，函数． (1)是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； (2)当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【变式9-3】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数. (1)求的定义域和值域； (2)判定函数的单调性，并用定义证明； (3)若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型10 指数函数的实际应用】 【例10】（25-26高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-1】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【变式10-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 指数函数的判定】 1 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 2 【题型3 求指数函数的解析式】 4 【题型4 比较指数幂的大小】 7 【题型5 解指数不等式】 9 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 11 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 14 【题型8 指数（型）函数的最值问题】 16 【题型9 指数型复合函数及其应用】 19 【题型10 指数函数的实际应用】 23 考点1 指数函数的概念 知识点1 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【解题思路】由指数函数定义可判断选项正误. 【解答过程】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可判断. 【解答过程】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数定义可得答案. 【解答过程】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C. 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【解题思路】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【解答过程】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的定义求解即可. 【解答过程】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【解答过程】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 【变式3-3】（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据指数函数的定义及函数图像所过点求解； （2）根据函数单调性转化为恒成立，通过分类讨论结合分离参数得解. 【解答过程】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由题意得，所以是偶函数. 由（1）得, 任取则， ， ，所以在上单调递增， 由，得， 易得，， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为， 所以， 得， 即t的取值范围为. 考点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数函数的单调性求解. 【解答过程】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】要比较的大小，先将它们转化为同底数幂，再根据指数函数的单调性判断大小. 【解答过程】将统一底数为，则： ， ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数与幂函数的单调性，求得和，再结合指数幂的运算公式，求得，即可得到答案. 【解答过程】由指数函数在上单调递减，可得， 又由幂函数在上单调递增，可得，所以，即， 因为且，可得，即， 又因为且，可得，即， 所以. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数的单调性判断. 【解答过程】因为在上单调递减，又， 所以； 因为在上单调递增，所以. 综上，. 故选：A. 【题型5 解指数不等式】 【例5】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将不等式变形为，根据指数函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】由题意，可将转化为，即， 又指数函数是增函数，所以，即，解得． 故原不等式的解集为. 故选：D． 【变式5-1】（26-27高一上·全国·课前预习）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解答过程】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式5-2】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由指数函数定义求得，再由已知函数值求得； （2）由函数的单调性解不等式． 【解答过程】（1）因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． （2），它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 【变式5-3】（25-26高一上·天津河北·期末）已知指数函数，且的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值. （2）将分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值. （3）将中的1代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为指数函数，且的图象过点， 所以，解得， 又因为， 所以的值为； （2）由（1）知， 因为，即， 所以， 故； （3）不等式， 因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【解答过程】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【解答过程】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【解答过程】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A. 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【解答过程】由函数，则满足， 即，解得，即函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【解题思路】（1）根据复合函数的单调性，即可求解； （2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析 (2)或 【解题思路】（1）首先求得函数表达式，分离常数即可判断，按定义法证明即可. （2）由单调性解不等式结合一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】（1）函数在上是增函数． 证明如下： 由已知，则，即，解得， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，所以，即， 又，，所以， 即，则， 所以函数在上为增函数． （2）由（1）知函数在上为增函数， 由，可得， 即，，解得或， 所以的取值范围为或. 【题型8 指数（型）函数的最值问题】 【例8】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【解题思路】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【解答过程】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【解答过程】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数 (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)33； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用换元法，结合指数函数单调性、二次函数性质求出最大值. （2）利用指数函数、二次函数单调性确定函数在上的单调性，由此脱去法则“f”并分离参数，利用二次函数性质求出最大值即得. 【解答过程】（1）函数，令，则， 当时，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以函数在上的最大值为33. （2）由（1）知，函数，函数在上单调递增， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 由，得，则由，得， 依题意，对恒成立，则在上恒成立， ， 当时，，则当，即时，取得最大值1， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求a的值； (2)当时，函数的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性列方程，由此求得的值. （2）利用换元法化简的表达式，对进行分类讨论，根据的最小值求得的值. 【解答过程】（1）是偶函数，， 即，即，； （2）由（1）可知，， ， 令，由，可得， 上述函数转化为， 当时，在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，在上单调递减， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，显然不合题意， 综上所述： 【题型9 指数型复合函数及其应用】 【例9】（25-26高一上·北京延庆·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并说明理由； (3)若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在是增函数，理由见解析； (3). 【解题思路】（1）应用奇偶性的定义判断证明即可； （2）由指数函数、复合函数的单调性判断即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性得对任意恒成立，列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）为奇函数，证明如下： 因为定义域为，且， 所以为奇函数； （2）在是增函数，理由如下： 因为在是增函数，所以在是减函数， 所以在是增函数，故在是增函数， 所以在是增函数； （3）由（1）（2）可知为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，，只需，解得， 所以，则x的取值范围为. 【变式9-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数为奇函数． (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用函数奇偶性性质可得答案； （2）利用函数单调性定义可得答案； （3）利用函数的奇偶性、单调性得出在区间上恒成立，令，再利用单调性定义判断出的单调性可得答案． 【解答过程】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，又，所以，所以； （2）函数在上单调递增，证明： 设，且， 则， 因为单调递增，所以， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）因为函数为奇函数， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 令， 设，且， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，由题意，得， 所以a的取值范围为． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·期末）设，函数． (1)是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； (2)当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）先求出定义域，再根据奇函数的性质即可求解； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇偶性与单调性得出，再根据二次函数图象求解最大值即可求解． 【解答过程】（1）因为，所以定义域为， 若为奇函数，则，即，解得， 所以，，符合题意． （2）在上单调递增，证明如下： 当时，，定义域为， 任取，且， ， 因为，所以，则， 所以，即在上单调递增． （3）当时，，在上是增函数且为奇函数， 所以 ， 因为关于的不等式在上有解， 且在的最大值为， 所以，解得． 【变式9-3】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数. (1)求的定义域和值域； (2)判定函数的单调性，并用定义证明； (3)若对，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义域；值域； (2)函数在R上单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域； （2），利用函数的单调性的定义证明即可； （3）根据函数在R上单调递增，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，则，解一元二次不等式即可得解. 【解答过程】（1）对于函数，因为，所以恒成立， 所以函数定义域； ，因为，所以，所以， 所以，即函数的值域； （2）函数在R上单调递增，证明如下： ，任取，且， 则 ， 因为，所以，因为，所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递增； （3）对，，且，不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由（2）知函数在R上单调递增，因为即， 所以， 因为，所以， 即，所以， 即，解得， 故实数的取值范围为. 【题型10 指数函数的实际应用】 【例10】（25-26高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 【变式10-1】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一上·云南昆明·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. 【解答过程】（1）设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； （3）设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 【变式10-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 【答案】(1) (2)20 【解题思路】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得. 【解答过程】（1）依题意可得，由可得：，即，故， 代入①，，故. （2）令，即得，因是减函数， 则，解得， 故t的最小值为20. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $