第03讲 4.3对数讲义（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心内容，系统梳理对数概念（含常用对数、自然对数）、指数式与对数式转化、对数性质、运算性质及换底公式，构建从概念理解到性质应用再到运算深化的递进式学习支架。 资料以思维导图搭建知识框架，通过即学即练与分题型精讲（如概念判断、运算应用、实际问题求解）培养数学思维与眼光，题型精练分层设计，课中辅助教学高效推进，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第03讲 4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 【即学即练1】（多选）（25-26高三·全国·二轮复习）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点02：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点03：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【即学即练2】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数加法运算性质合并对数，再结合对数幂的运算性质化简，匹配选项得到结果. 【详解】根据对数的运算性质： 同底对数加法法则：对任意正实数，有， 因此对原式合并得： . 对数的幂运算法则：对任意正实数和实数，有，由于， 因此： 与选项C一致，故答案为C. 【即学即练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）, 知识点04：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点05：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练4】（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 【答案】# 【分析】利用指数与对数的互化及运算法则并结合换底公式计算即可. 【详解】由题意得，即，，即， 代入得 ． 由换底公式得，即， 所以，则． 第三部分 题型精讲 题型01对数概念判断与求值 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 【典例2】（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. 题型02指数式与对数式相互转换 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式1】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 题型03对数运算性质的应用 【典例1】（多选）（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）有以下四个结论，其中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】由指数与对数式的互化、对数运算性质即可逐项分析求解. 【详解】A中，，故A正确； B中，，故B正确； C中，若，则，故C错误； D中，，而没有意义，故D错误． 故选：AB． 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2)100 (3) 【详解】（1）因为，所以.所以. （2）因为，所以.所以. （3）. 【变式1】（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则__________． 【答案】## 【分析】根据对数运算先得到，再根据指数运算的关系可直接求得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)/ (2) (3)/ 【分析】利用指数与对数的运算性质进行计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式； （3）因为， 所以原式. 题型04对数的运算 【典例1】（湖南邵阳市2026-2027学年高一上学期拔尖创新班9月联考数学试题）计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 【典例2】（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算及换底公式求解. 【详解】 . 【变式1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【详解】【变式2】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【答案】 【详解】原式化为 . 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 题型05对数方程求解 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得应满足的条件，再将对数方程转化为一元二次方程，解方程即可得解. （2）先求得应满足的条件，将方程转化，再利用换元法转化为一元二次方程，解方程即可求解. 【详解】（1）， 方程中的应满足，原方程可化为， ，即， 解得或（舍去），经检验是原方程的解. （2），方程中的应满足且， 原方程可化为，即， 令，则，解得或， 即或，或， 经检验，都是原方程的解. 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）将下面的（1）（2）（3）化为指数式，（4）（5）（6）化成对数式，并求出x值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， 【分析】直接利用对数的定义进行指数式与对数式的互化． 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因为，所以，所以. （3）因为，所以，所以. （4）因为，所以，所以. （5）因为，所以，所以. （6）因为，所以，所以. 【变式1】（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 【变式2】（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据条件，利用特殊的对数值，得到，即可求解； （2）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，得到，且不为，即可求解； （3）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）转化为同底数的对数相等，再由等价方程求解即可； （2）将对数式等价转化为指数式，再解二次方程即可； （3）以与为整体，应用完全平方公式、立方和公式、平方差公式分别求出、、的值，代入求值即可. 【详解】（1）解：由题得：，， 则，所以，故； （2）解：由题得：且，因为， 所以，即，得． 题型06换底公式的应用 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）（方法一）； （方法二）． 【典例2】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） （1） （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用对数运算法则计算出答案即可； （2）利用对数的换底公式及运算法则进行化简即可. 【详解】(1)原式 (2) 由于， 则 【变式1】（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【分析】利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，即可得出的值. 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，，所以，， 所以 . 【变式3】（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 题型07有附加条件的对数求值问题 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质和指数幂的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 【变式1】（25-26高二下·天津·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式的倒数关系表示和，代入已知等式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 【变式2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 【变式3】（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【答案】/0.5 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 题型08对数的实际运用 【典例1】（26-27高三上·北京平谷·开学考试）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据，） A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒 【答案】C 【详解】设最坏情况下破译该密码需要秒，则， 方程两边同时取以为底的对数得，，化简得， 所以，化简得， 由题目提供的参考数据，，，所以， 所以； 估算，与接近，因此有， 故 【典例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元，根据题意得出，化简结合对数的运算得出，即可得出答案. 【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元， 由题意得出，整理得， 两边取对数得，则， ， 则，即该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元的年份是年． 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当，，时，，代入公式，可求出的值，再将，，代入公式，结合换底公式以及对数的运算性质化简可求得的值. 【详解】由题意，当，，时，， 代入公式得，即，解得， 将，，代入公式得， 所以，故， 所以从降温到大约需要. 【变式2】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 【变式3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由对数运算法则可知，，故（1）不成立； ，故（2）不成立； ，故（3）恒成立； ，故（4）不成立． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使成立，需要满足. 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．52 【答案】B 【详解】由，得； 由​，得 ； 所以. 6．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 7．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 8．（多选）（23-24高一上·湖北·期末）下列运算结果正确的有（   ） A． B． C．设，则 D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂和对数运算法则即可判断． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，，， 所以，故D 错误； 故选：BC 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则______，______. 【答案】 2 3 【分析】利用对数运算性质计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 10．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 【答案】/ 【详解】 . B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 【答案】（1）1；（2）12 【详解】（1）因为，所以. （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 所以，， 所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 3．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【详解】（1）. （2） （3） 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即得； （2）根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】（1）因为 （2） 5．（25-26高一上·广东·期末）（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； 【详解】解：（1）由指数幂的运算公式，可得 又由对数的运算公式，可得： ， 所以. （2）由对数的运算公式，可得： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 【即学即练1】（多选）（25-26高三·全国·二轮复习）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点02：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点03：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【即学即练2】（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3) 知识点04：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点05：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练4】（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 第三部分 题型精讲 题型01对数概念判断与求值 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【典例2】（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【变式1】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，得______. 题型02指数式与对数式相互转换 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 题型03对数运算性质的应用 【典例1】（多选）（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）有以下四个结论，其中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【变式1】（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则__________． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3). 题型04对数的运算 【典例1】（湖南邵阳市2026-2027学年高一上学期拔尖创新班9月联考数学试题）计算：______________． 【典例2】（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 【变式1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【变式2】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 题型05对数方程求解 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）将下面的（1）（2）（3）化为指数式，（4）（5）（6）化成对数式，并求出x值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式1】（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【变式2】（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）解方程：； （2）解方程：． 题型06换底公式的应用 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【典例2】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） （1） （2）已知，试用表示. 【变式1】（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 【变式3】（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 题型07有附加条件的对数求值问题 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【变式1】（25-26高二下·天津·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 题型08对数的实际运用 【典例1】（26-27高三上·北京平谷·开学考试）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据，） A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒 【典例2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【变式3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．52 6．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 7．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一上·湖北·期末）下列运算结果正确的有（   ） A． B． C．设，则 D． 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则______，______. 10．（26-27高三上·北京·开学考试）________． B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 2．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 3．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 5．（25-26高一上·广东·期末）（1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $