4.2 指数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学指数函数核心知识点，系统梳理指数函数的概念（含底数规定）、图像与性质（定义域、值域、定点、单调性、对称性），通过概念与图像、解析式与求值等七种题型构建递进式学习支架，衔接基础概念到综合应用及实际问题。 该资料以题型分类为特色，每种题型配“方法提炼”，如单调性比较大小题培养数学思维推理能力，实际应用题（如保鲜时间模型）助学生用数学眼光观察现实，建立指数模型发展数学语言表达能力。课中便于教师系统授课，课后学生可分层练习查漏补缺，提升解题与应用能力。

§4.2 指数函数 目录 题型1：指数函数的概念与图像 3 题型2：求指数函数的解析式或求值 6 题型3：与指数函数有关的定义域（值域）问题 8 题型4：利用指数函数单调性比较大小 13 题型5：由指数函数的单调性解不等式 16 题型6：指数型函数的性质的综合 19 题型7：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 25 1. 指数函数的概念 函数(且)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 提醒 规定且的原因：时()无意义;时为常数；时对某些无实数意义. 2. 指数函数的图像和性质 解析式 图象 性质 定义域 R 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 3. 指数型函数模型 (1) (且)，当时为指数增长型函数模型. (2) (且)，当时为指数衰减型函数模型. 题型1：指数函数的概念与图像 方法提炼 (1) 函数概念的注意点：①函数的特征：底数，且.②指数幂的系数为1. (2) 指数函数图像的注意点： ①函数图象只出现在轴上方. ②当时，有，故过定点. ③当时，底数越小，图象越靠近轴. ④当时，底数越大，图象越靠近轴. ⑤任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 【例1.1.】 （多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【难度】0.9 【知识点】指数函数的判定与求值 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 【例1.2.】 函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值、根据函数是指数函数求参数 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【例1.3.】 已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、幂函数图象的判断及应用 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 【例1.4.】 (多选)函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.7 【知识点】指数型函数图象过定点问题、判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 【例1.5.】 （多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【难度】0.82 【知识点】指数型函数图象过定点问题、幂函数图象的判断及应用 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 题型2：求指数函数的解析式或求值 【例2.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】令，代入计算可得出的值. 【详解】因为，则. 故选：B 【例2.2.】 函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值、指数函数的判定与求值 【分析】应用分段函数解析式求解函数值. 【详解】函数，则. 故选：D. 【例2.3.】 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、求指数函数解析式 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 【例2.4.】 设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 题型3：与指数函数有关的定义域（值域）问题 方法提炼 (1) (且)的定义域与函数的定义域相同。 (2) (且)的值域，先求出的值域，再结合的单调性求出的值域.若的取值范围不确定，则需对进行分类讨论. 【例3.1.】 求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【难度】0.76 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 【例3.2.】 已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【例3.3.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）根据是定义在上的奇函数，则时，，当时，，表示出，结合求解析式即可； （2）根据不等式的性质可得，结合奇函数的性质得到值域即可． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则． 故； （2）当时，，则，， 即当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 又，所以的值域为． 【例3.4.】 已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式、求指数型复合函数的定义域 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 【例3.5.】 设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)令函数，，求函数的值域． 【答案】(1)函数在区间上的单调递增，证明如下： 由解析式知，函数的定义域为R，令， 所以， 由，，，故， 所以，故函数在区间上的单调递增； (2). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】（1）应用单调性的定义，令，作差法比较大小即可证； （2）由题设，应用分类讨论，结合的性质求的值域. 【详解】（1）略 （2）由题设，则， 当，则，而在上单调递减，则，此时； 当，则； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值2，故在上，此时， 综上，. 题型4：利用指数函数单调性比较大小 方法提炼 一般地，比较幂大小的方法有： (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. 【例4.1.】 （多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、比较指数幂的大小 【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而利用的单调性得到，即可得解. 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确； 因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确. 故选：CD. 【例4.2.】 填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 【例4.3.】 设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【例4.4.】 已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，又， 则， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 【例4.5.】 设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、比较对数式的大小、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 题型5：由指数函数的单调性解不等式 【例5.1.】 解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【难度】0.78 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式、利用不等式求值或取值范围、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 【例5.2.】 已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由指数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 【例5.3.】 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，可得求解． 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 【例5.4.】 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【难度】0.63 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 题型6：指数型函数的性质的综合 【例6.1.】 已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解不等式、求指数函数解析式 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 【例6.2.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【难度】0.64 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性求参数值、求幂函数的解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就分类讨论后可求不等式的解. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 【例6.3.】 已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.62 【知识点】指数幂的运算、指数函数最值与不等式的综合问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 【例6.4.】 已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.61 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数是指数函数求参数、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 【例6.5.】 已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、指数函数最值与不等式的综合问题、由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 题型7：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 方法提炼 (1) 函数(,且；，且)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律；若 ，则刻画指数衰减变化规律. (2) 解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 【例7.1.】 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的解析式，代入已知点，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】由题意，食品在的保鲜时间是． 将代入函数，得，所以． 因为食品在的保鲜时间是，所以，即． 又因为，所以，则． 当时，． 又因为，所以， 则， 所以该食品在的保鲜时间是． 故选：C． 【例7.2.】 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（1）、指数函数模型的应用（2） 【分析】设某地的耕地面积每年减少率为,依题列出方程，再进行整体代入，即得2026年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少率为，因为耕地面积在最近50年内减少了10%， 所以，所以， 因为2021年的耕地面积为， 所以，2026年的耕地面积为. 【例7.3.】 若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数模型的应用（1） 【详解】由题意，，∴， 又， 即， ∴， ∴. 【例7.4.】 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【难度】0.85 【知识点】列出指数函数模型的解析式、指数函数模型的应用（1）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.2 指数函数 目录 题型1：指数函数的概念与图像 3 题型2：求指数函数的解析式或求值 4 题型3：与指数函数有关的定义域（值域）问题 4 题型4：利用指数函数单调性比较大小 5 题型5：由指数函数的单调性解不等式 6 题型6：指数型函数的性质的综合 7 题型7：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 8 1. 指数函数的概念 函数(且)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 提醒 规定且的原因：时()无意义;时为常数；时对某些无实数意义. 2. 指数函数的图像和性质 解析式 图象 性质 定义域 R 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 3. 指数型函数模型 (1) (且)，当时为指数增长型函数模型. (2) (且)，当时为指数衰减型函数模型. 题型1：指数函数的概念与图像 方法提炼 (1) 函数概念的注意点：①函数的特征：底数，且.②指数幂的系数为1. (2) 指数函数图像的注意点： ①函数图象只出现在轴上方. ②当时，有，故过定点. ③当时，底数越小，图象越靠近轴. ④当时，底数越大，图象越靠近轴. ⑤任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 【例1.1.】 （多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【例1.2.】 函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【例1.3.】 已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【例1.4.】 (多选)函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型2：求指数函数的解析式或求值 【例2.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【例2.3.】 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【例2.4.】 设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 题型3：与指数函数有关的定义域（值域）问题 方法提炼 (1) (且)的定义域与函数的定义域相同。 (2) (且)的值域，先求出的值域，再结合的单调性求出的值域.若的取值范围不确定，则需对进行分类讨论. 【例3.1.】 求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【例3.2.】 已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【例3.4.】 已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【例3.5.】 设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)令函数，，求函数的值域． 题型4：利用指数函数单调性比较大小 方法提炼 一般地，比较幂大小的方法有： (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. 【例4.1.】 （多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【例4.3.】 设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【例4.4.】 已知，则（ ） A． B． C． D． 【例4.5.】 设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 题型5：由指数函数的单调性解不等式 【例5.1.】 解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【例5.2.】 已知，则不等式的解集为________． 【例5.3.】 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 题型6：指数型函数的性质的综合 【例6.1.】 已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【例6.2.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【例6.3.】 已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例6.4.】 已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【例6.5.】 已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 题型7：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 方法提炼 (1) 函数(,且；，且)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律；若 ，则刻画指数衰减变化规律. (2) 解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 【例7.1.】 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 【例7.4.】 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $