精品解析：四川绵阳市南山中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

绵阳南山中学高2024级高三上期10月月考试题 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写． 4．请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求解集合的取值范围，再计算集合与集合的交集即可. 【详解】可因式分解为：，即，故集合，则. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 因为“”“”，且“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C 【详解】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 5. 通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 爱好跳绳与性别独立 B. 爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好跳绳与性别不独立 D. 爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【解析】 【详解】假设：爱好跳绳与性别无关，由列联表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故爱好跳绳与性别无关． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 若，则无意义，所以， 两边同除以，得， 又，所以，解得. 7. 某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（ ）（参考数据：） A. 30次 B. 31次 C. 32次 D. 33次 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件求出的近似值，再代入，根据对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意可得当时，， 所以， 即， 所以， 即， 当时， 则有， 即， 所以， 所以. 8. 若函数在上的最大值是3，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值，利用导数求极值，找到函数在上的最大值点，从而建立方程求解即可. 【详解】设，则， 所以， 将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值， 因为， 令，得， 令， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 所以当时，方程有两个解，设为 则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在处取极大值，也是最大值， 所以， 即， 又因为，即， 所以， 解得或(舍), 所以，所以， 所以， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】1 【详解】1 10. 设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. ，，成等差数列 C. ，，成等比数列 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】依题意，，即有. 有，而数列是公比为的等比数列， 则，又， 所以，A正确； 由于，因此成等差数列，B正确； 显然，由，得， 由，得， 因此，不成等比数列，C错误； 由A知，又，故，而，D正确. 11. 已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. C. 函数的单调递减区间为， D. 已知数列满足，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数及偶函数的性质，利用替换思想可判断A，再由周期性判断B，利用对称的性质及周期性判断C，根据函数性质计算数列各项判断D. 【详解】由为偶函数可得， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以， 所以两式相加可得， 故函数的图象关于点中心对称，故A正确； 由，可得，故函数周期为， 所以， ，即，故B错误； 因为当时，单调递增，又为上奇函数， 所以当时，单调递增， 又由知函数图象关于轴对称， 所以函数在时单调递减，又函数周期为， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由可知，， ，，，可知，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果. 【详解】为幂函数，可设，，解得：， ，. 故答案为：. 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题. 13. 已知实数满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 14. 已知函数，若对定义域内任意，恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】按照分段情况讨论，每段内保证成立，求出的范围，最后取两段结果的交集. 【详解】当时，， 所以，即， 对恒成立，即， 又，当且仅当，即时取等号， ，即； 当时，，即对成立， 当时，上式成立； 当时，有，解得，所以或， 所以； 综上，的取值范围为. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，. 所以. 所以 . 16. 已知函数． （1）求函数的值域及单调递增区间； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，求不等式的解集． 【答案】（1）值域为，单调递增区间为， （2）， 【解析】 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，从而得到的解析式，结合原正弦函数的单调性即可求出单调递增区间； （2）由图象平移的性质得到，结合原正弦函数的图象即可求解． 【小问1详解】 ． 由于，所以函数的值域为． 令，，得，． 因此，函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由题意，． 由，得． 于是，， 解得，． 所以不等式的解集为，． 17. 某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） （1）已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； （2）记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）将数据代入公式，计算即可； （2）将数据代入回归方程计算后判断是否成立即可. 【小问1详解】 ， ， ． 关于的回归方程是； 【小问2详解】 ∵回归方程为， ，，是“精准调研数据”， ，，不是“精准调研数据”， ，，是“精准调研数据”． ∴“精准调研数据”为，． 18. 定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知任意的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识，回答下列问题： 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求的对称中心，并求不等式的解集； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 （2）对称中心为，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出的两实根为，，分三种情况讨论的正负即可； （2）三次函数的拐点为对称中心，所以利用求出对称中心的横坐标后求解，再根据对称中心将不等式化简成求解； （3）根据的单调性和极值求出，根据零点关系可得， ，化简进行求解. 【小问1详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，，．．令．得，所以对称中心为：即； 所以不等式可得：， 由（1）知：当时，在上单调递增，所以：，得；不等式的解集为：； 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， ． 当时，取得最大值，此时． 19. 已知函数，，其中． （1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； （2）是否存在非零实数，使得曲线与曲线存在一条过原点的公切线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，证明：对任意的恒成立． 【答案】（1） （2）存在， （3）证明：当，时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 只需证明：成立； 即证明：；即证：； 构造函数，问题转化为证明：， 而，，，即在上单调递增， ∴原命题要成立则须满足：． 又令，而， 故：在上单调递增， ，故：成立 ∴当，时，不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）根据零点定义转化为与的图象有1个交点，借助导数求出的图象，利用图象交点求出即可. （2）分别求出过原点且与曲线与曲线相切的直线，然后使这两条直线相等即可求出的值. （3）将问题转化为证明，构造函数，借助导数判断单调性进而证明即可. 【小问1详解】 因为有1个零点，即方程有1个解， 等价于方程有1个解；等价于与的图象有1个交点， 因为，令，解得， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 则当时，取到最大值，且，又当时，且时，， 当时，，且时，， 故的图象如图所示， 由图可知：函数有一个零点，得的取值范围为． 【小问2详解】 设过的公切线与相切于点， 因为，所以切线的斜率， 又， 故，化简得，解得， 所以切线方程可化为，再设该直线与相切于点， 因为，所以切线的斜率， 又， 故，解得，从而， 又，得，即， 令，则，，所以， 可得在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，故． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2024级高三上期10月月考试题 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写． 4．请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 4. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 爱好跳绳与性别独立 B. 爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好跳绳与性别不独立 D. 爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（ ）（参考数据：） A. 30次 B. 31次 C. 32次 D. 33次 8. 若函数在上的最大值是3，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 10. 设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. ，，成等差数列 C. ，，成等比数列 D. 若，则 11. 已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. C. 函数的单调递减区间为， D. 已知数列满足，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 13. 已知实数满足，则的最大值为________． 14. 已知函数，若对定义域内任意，恒成立，则的取值范围是________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求函数的值域及单调递增区间； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，求不等式的解集． 17. 某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） （1）已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； （2）记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 18. 定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知任意的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识，回答下列问题： 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求的对称中心，并求不等式的解集； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值． 19. 已知函数，，其中． （1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； （2）是否存在非零实数，使得曲线与曲线存在一条过原点的公切线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，证明：对任意的恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $