苏州市2026-2027学年度高一上学期数学期中考试模拟试卷

苏州市2026-2027学年度高一上学期数学期中考试模拟试卷 范围：必修一第1-3章 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，则集合的元素个数为（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）命题“都有”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，均为实数，集合，，若，则的取值组成的集合为（     ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题（共18分） 9．（本题6分）若，则下列不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）设集合若对任意，都有，则称为对称集，同时规定空集为对称集．设集合，若对任意，都有，且对任意，都有，则称集合与相互对称，那么下列命题中正确的是（ ） A．集合是对称集 B．集合与相互对称 C．若集合与相互对称且为对称集，则 D．“集合和均为对称集”是“与相互对称”的充要条件 第II卷（非选择题） 3、 填空题（共15分） 12．（本题5分）已知集合，则的真子集个数为________． 13．（本题5分）设集合，，若，则的值为__________． 14．（本题5分）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 4、 解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（本题15分）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 17．（本题15分）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 18．（本题17分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，的最小值为，求实数a的值； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： (1)若，，，求的最小值； (2)已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏州市2026-2027学年度高一上学期数学期中考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A D A A ABD BC 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】因为， 所以集合的元素个数为. 2．C 【详解】该全称命题为真，等价于对所有实数，不等式恒成立 因为，所以，即的最小值为，因此. 3．B 【分析】根据，分或，两种情况讨论，进而求解. 【详解】由，所以或， 当时，或， 当时，，满足题意， 当时，不满足集合的互异性， 当时，或， 当时，，所以不满足题意， 当时，，所以不满足题意， 所以，所以. 4．C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 5．A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为1， 因为有解，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．D 【分析】根据方程有四个实数解分析可得方程有一个正数解，一个零解，还有两个负数解，再结合一元二次方程的根与系数关系可得结果. 【详解】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 7．A 【分析】先根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的奇偶性推导出的周期，进而利用函数的周期性即可求解． 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 8．A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 9．ABD 【分析】要判断当时，哪个不等式错误，需结合不等式的性质（如乘法，加法性质，作差比较法等）对每个选项分析. 【详解】对于选项A：若为负数（如，满足），则此时，与矛盾. 若为一正一负（如，满足），则，此时，也与矛盾. 因此，时，不总是成立，A选项错误； 对于选项B：若为正数，为负数（如，满足）， 此时，，. 因此，时，不总是成立，B选项错误； 对于选项C：对于任意实数，因此（分母恒正）. 又， 所以即因此C选项正确； 对于选项D：， 已知故，又， 故分子. 若，则，故， 因此，即成立； 若，且，（例如），分母， 此时差值大于，即，原不等式不成立； 若，（即）；分母此时差值小于，原不等式成立. 因此该不等式并不恒成立，是错误的. 10．BC 【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】对函数， 由或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以. 由或. 由或或. 所以不等式组的解集为. 故选：BC 11．BC 【分析】对于AB：解不等式化简集合，结合题意分析判断即可；对于C：根据题意可证，，即可得；对于D：举反例说明即可. 【详解】选项A：由不等式整理可得， 等价于，解得， 所以集合为， 因为属于该集合，但不属于该集合，因此该集合不是对称集，故A错误； 选项B，因为，， 对任意，均有， 所以两个集合相互对称，故B正确； 选项C，因为集合是对称集，则任取，均有， 又因为与相互对称，故，可知； 同理可得，所以．故C正确； 选项D，若与相互对称，则和都是对称集；但反过来不成立， 例如取，，则，两者都是对称集， 但是与不相互对称，因此该条件不是充分条件．故D错误． 12． 【详解】因为，所以的真子集个数为． 13． 【分析】根据集合相等的定义及集合元素的互异性，分情况求解参数、的取值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】首先由集合元素的互异性可知，集合中元素互不相同，故，，， 因为，两集合均含元素，因此剩余元素满足， 分两种情况讨论： 当时， 由，解得或，结合，得， 将代入，得，解得， 此时，，满足，符合题意； 当时， 将代入，得， 解得，与矛盾，故该情况舍去； 将，代入， 得： . 14． 【分析】由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 15．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用元素与集合之间的关系建立不等式求解即得； （2）由题意，分为空集和不为空集两种情况列不等式求解即可； （3）由必要不充分条件推得集合间包含关系，列不等式求解即得. 【详解】（1）因为，所以 解得，即实数的取值范围是． （2）由题意知， 若， 当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是或． （3）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 16．(1) (2) 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【详解】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 17．(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 18．(1)当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为，定义域为， 若，则，满足， 所以为偶函数； 若， 因为，因为不能恒为0，所以不是偶函数； 因为，因为不能恒为0，所以不是奇函数. 所以函数为非奇非偶函数. 综上，当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数. (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念，分和讨论. （2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的最小值问题求解. （3）先把问题转化成“在上恒成立”，再结合基本不等式求在的最大值即可. 【详解】（1）略 （2）因为， 设，，因为函数在上单调递增，所以. 又， 可设，. 问题转化为，的最小值为，求的值. 因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 当即时，在上单调递增，所以，不合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，可得； 当即时，在上单调递减，所以， 由， 因为，故不合题意，舍去. 综上可知：. （3）当时，. 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 由在上恒成立. 则不小于在的最大值. 因为，当且仅当即时取等号，所以. 所以，即实数的取值范围为. 19．(1)； (2)最大值为，取得最大值时； (3)对任意，. 证明： 当且仅当时取等，但是任意时，所以等号不成立， 故任意时，. 【分析】（1）代数式中共有三项且各项均为正数，三项的乘积为定值，直接用三元均值不等式求最小值； （2）将代数式中拆成三个，构造四个正数，使四个数之和为定值，利用四元均值不等式求最大值； （3）要比较两个幂的大小，对变形，构造个正数，使用均值不等式放缩进行证明. 【详解】（1）因为，，，有，， 所以，当且仅当时取等， 故的最小值为. （2）因为，所以 当且仅当，即，取等 所以时，的最大值是，取最大值时. （3）略. 【点睛】（1）代数式拆项时，要满足和为定值，还可以拆成； （2）对进行变形使用，常用变形和. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $