精品解析：山东省部分校联考2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月高一年级阶段性检测 数 学 试 题 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正实数、满足，则的最小值为 A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 10. 已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则__________． 13. 已知命题，，若，则．能说明p为假命题的一组x，y的值为__________，__________． 14. 对于任意一个非空有限数集X，将其元素按从大到小的顺序排列为，，…，，定义X的“交错值”为．设集合，则的所有非空子集的交错值之和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，证明：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）设方程的解分别为，，若，求实数a的值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，y的最小值为3，求实数a的值． 18. 已知矩形的周长为12，设． （1）以所在直线为轴，将矩形绕旋转形成一个圆柱，求该圆柱侧面积的最大值； （2）如图，若，将沿折到的位置，使交于点P． （ⅰ）用x表示，并求出x的取值范围； （ⅱ）求面积的最大值及相应x的取值． 19. 已知，记集合．若存在某个不超过的正整数，使得的子集中，任意两个元素的差都不等于，则称为的一个疏差集． （1）当时，判断集合与是否为的疏差集，并简述理由； （2）当时，若是的一个疏差集． （ⅰ）定义集合．求证：是的疏差集； （ⅱ）求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高一年级阶段性检测 数 学 试 题 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，，两集合的公共元素为和，因此. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据命题否定的原则，该命题“，”的否定是，. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，所以，A错； 对于B选项，因为，，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，因为，，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，D错. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的运算即可求解. 【详解】， 即， 即， 即且，不等式的解集为. 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本关系即可求解. 【详解】，，，. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，因为， 故“”是“”的必要不充分条件. 7. 已知正实数、满足，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题. 8. 已知实数a，b满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用表示，再利用不等式性质求出范围. 【详解】设，则，解得，即， 由，得，由，得， 则，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题真假判断、全称命题真假判定、充分必要条件的推导，需结合不等式性质逐一分析选项可得. 【详解】选项A：若，正数的平方恒为正，故一定成立，该命题是真命题，A正确； 选项B：对任意实数，都有，因此恒成立，该全称命题是真命题，B正确； 选项C：解不等式，得或，故无法推出， 但可以推出，因此“”是“”的必要不充分条件，C错误； 选项D：若且，根据正数同向不等式的可乘性，可得，充分性成立； 若，例如，满足但不满足，必要性不成立， 因此“且”是“”的充分不必要条件，D正确. 10. 已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】，且； ，. ，. 当时，解得，结合，得； 当时，解得或，结合，得. 对于A，当时，符合题意，故A正确； 对于B，当时，符合题意，故B正确； 对于C，当时，不符合题意，故C错误； 对于D，当时，不符合题意，故D错误. 11. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过一元二次方程根与系数的关系计算的关系，使用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由题意知方程的两根分别为：，且选项A错误； 则，，得，，选项B正确； ，选项C正确； 不等式即，化简得， 解得或，故不等式的解集为或，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解一元一次不等式得到集合，再依据补集的定义计算在实数集上的补集可得. 【详解】解不等式，得，即， 所以，由补集的定义得或. 13. 已知命题，，若，则．能说明p为假命题的一组x，y的值为__________，__________． 【答案】 ①. (答案不唯一) ②. (答案不唯一) 【解析】 【详解】因为命题，若，则. 不妨取，. 此时，满足条件； 但，不满足结论. 因此，这组值能够说明命题为假命题. 14. 对于任意一个非空有限数集X，将其元素按从大到小的顺序排列为，，…，，定义X的“交错值”为．设集合，则的所有非空子集的交错值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据X的“交错值”定义为，对集合的“交错值”进行分类求解，再求和. 【详解】假设的一个非空子集为，且元素按从大到小的顺序排列， 当时， 设，集合中比更大的元素有个， 那么在的“交错值”中的系数为， 比更大的元素，只能从集合中选取，共有个，从中选出个有种选法， 比更小的元素只能从集合中选取，共有个，共有种选法， 故元素对的所有非空子集的交错值之和的总贡献为： ， 当时，由于是中最大的元素，故系数为，比更大的元素，没有；比更小的元素，从集合中选取，共有个，共有种选法，此时总贡献值为， 综上，的所有非空子集的交错值之和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，证明：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） ， ，， 所以，即，当且仅当取等号，得证. （2），， ，，即， 又，， 所以. 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ； 当时，，则或； . 【小问2详解】 由 “”是“”的充分不必要条件，得是的真子集. ，， 或，解得或； 综上所述，；即实数m的取值范围为. 17. 已知函数． （1）设方程的解分别为，，若，求实数a的值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，y的最小值为3，求实数a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程根的判别式及韦达定理求解. （2）利用一元二次不等式恒成立列式求解. （3）按二次函数图象对称轴与区间关系分类求出最小值，进而列式求出值. 【小问1详解】 方程的解分别为，则， 解得或，且，由，得，解得， 所以实数a的值为. 【小问2详解】 ，不等式恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【小问3详解】 函数的图象对称轴为直线， 当，即时，原函数在上单调递增，则当时，，无解； 当，即时，原函数在上单调递减，则当时，舍去； 当，即时，，，则, 所以实数a的值为4. 18. 已知矩形的周长为12，设． （1）以所在直线为轴，将矩形绕旋转形成一个圆柱，求该圆柱侧面积的最大值； （2）如图，若，将沿折到的位置，使交于点P． （ⅰ）用x表示，并求出x的取值范围； （ⅱ）求面积的最大值及相应x的取值． 【答案】（1） （2）（i），；（ii），. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到旋转形成的圆柱的侧面积为，再利用基本不等式求解即可. （2）（i）设，根据得到，再利用勾股定理求解即可；（ii）结合，得到，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ∵矩形的周长为12，，∴，． 旋转形成的圆柱的侧面积为． 当且仅当，即时等号成立． ∴圆柱侧面积的最大值为． 【小问2详解】 （i）设，则． ，，， ，． 在中，由勾股定理得，即， 解得，即，得， 由于，则，故； （ii）的面积为 ，， 由于，当且仅当，即时等号成立， ∴． 即的面积最大值为，此时. 19. 已知，记集合．若存在某个不超过的正整数，使得的子集中，任意两个元素的差都不等于，则称为的一个疏差集． （1）当时，判断集合与是否为的疏差集，并简述理由； （2）当时，若是的一个疏差集． （ⅰ）定义集合．求证：是的疏差集； （ⅱ）求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）不是疏差集，是疏差集. 当时，， 设为集合中任意两个元素的差，故，， 所以不存在不超过4的正整数，使得， 故不是疏差集. 设为集合中任意两个元素的差，则或， 取即可满足， 所以是疏差集. （2）（i）当时，， 由，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由是的疏差集，知存在不大于7的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，，其中， 则， 所以集合是的疏差集. （ii）9. 【解析】 【分析】（1）当时，，由疏差集的定义直接判断即可； （2）（i）若时，则，根据，任取，其中，可得，利用疏差集的定义加以验证即可证明；（ii）设集合有个元素，由（i）知：任取，，则和中必有一个不超过7，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过7，然后利用疏差集的定义进行分析可得，解不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）设集合有个元素，由（i）知：若为的疏差集，那么集合也是的疏差集， 任取，，则和中必有一个不超过7， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过7， 不妨设中有个元素不超过7， 由为的疏差集，得存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 所以，即，解得，又，故. 当时，，满足，存在， 对于集合中任意两个元素都有，即为的疏差集，而此时集合中有9个元素， 因此集合中元素个数的最大值是9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $