山东省青岛第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

2026一2027学年度第一学期高一年级阶段性检测 高一数学试题 2026.10 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.若命题p:3x>0,x2-3x+2≤0，则命题p的否定为() A.Hx>0,x2-3x+2≤0 B.x≤0，x2-3x+2≤0 C.x>0,x2-3x+2>0 D.3x≤0，x2-3x+2>0 2.已知全集U=R,集给A={xlx-1|≥2}， B=(xx2-4x<O,则阴影部分表示的集合为() B A.{x|-1≤x<0} B.{x|3≤x<4} C.{x0<x≤3) D.(xx≥4] 3.定义：函数M(x)=max(f(x),g(x)},即M(x)表示函数f(x),g(x)中的较大 者.己知函数f(x)=x2-2,g(x)=x+4,则M(x树的最小值为() A.0 B.7 C.4 D.2 4.使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将5g的砝码放在天平左盘中， 取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将20g的砝码放在天平右盘 中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡、两次称得的物品甲放在一起， 记其质量为mg,则下列判断一定正确的是() -A.m>20 B.m<25 C.m=25 D.m>25 第】币廿· 5.已知函数fx+1)的定义域为[-1,2]，则函数y=的定义域为) A.0,3] B.[0,2) C.(2,3] D.[-1,2) 6.数学里有一种证明方法叫Proofs without words,也 称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释 就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性 无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条 理.如图，在等腰直角△ABC中，O为斜边AB的中点，D是斜边AB上异于A、B 的一个动点，设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明是() ≤ A. a2+b2 B.≤a西 c.≥va D. a2+b2 2≥Vab 7不等式子≤x的解集为() A.[-1,2]U[3,+o) B.(-1,2]U(3,+∞) C.(-1,2)U(3,+∞) D.(-∞，-1)U[2,3) 8.设集合A={-1,0,1},集合B={(x1,x2,x3)x:∈A,i=1,2,3),那么集合B中 满足|x1x2l+x3≥1的元素的个数为() A.12 B.18 C.22 D.24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题为真命题的是() A.若a>b,则ac2≥bc2 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,则a2>b2 D.若a>b>0,则片< 第2页共4页 10.“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y).已知关于实数x,y 的二元函数f(x,y)=(x+1)y,则(1 A.f(1,5)=f(5,1) B.x>Qx>0,fx,y)f()≥4 C.x∈Rf2x,x-a)≥-a-2,则实数a的取值范围是[-引 D.x≥2，f(2x,x-a)≤-a-2,则实数a的取值范围是[3，+o) 11.已知a>0,b>0,是+=1-则下列选项正确的是() A.b>2 B.4a+b的最小值为4W5+6 C.+的最小值为2 D.(2a-1)b最小值为4v3+8 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.若命题3x0∈R,2x行+2ax+1<0”是假命题，则a的取值范围是 13.已知A={x≤0}，B=x2m+1<x<7-m,若An(CRB=A,则 m的取值范围是 (1,x是有理数 14、对于狄利克雷函数f(x)= ,下列命题中说法正确的有 0,x是无理数 ①对于任意x∈R,都有f[f(x)]=1 ②对于任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0 ③存在x是无理数，使得f(x+1)=f(x)+1 ④若a<0,b>1,则有(xf(x)>a}=(xf(x)<b} 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知集合A={2≤0}，B=(xx2-2x-m<0. (1)当m=3时，求An(CRB): (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 第3页共4页 16.(1)求y=V3+x+V5-x的最大值：(2)求函数f(x)=x+V1-x的值域： ③)求函数y=学的值域：（④求函数）=+x>1)的最值， 17.已知关于x的不等式ax2+(a-1)x-1>0. (I)若a=一2时，求不等式的解集； (2)若a∈R,解这个关于x的不等式； (3)xe{x号≤x≤3}，(ax-1)(x+1)+a+x>0恒成立，求实数a的取 值范围. 18.某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子 芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成 本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动 成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=x2+4x:当年产 量超过14万件时，f)=19x+°-120，假设该公司每年生产的芯片都能够被 销售完 (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式：（注：年利润=年 销售收入一固定成本一流动成本) (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多 少万件该芯片？ 19.已知集合S={0,1,2,,5)(n∈N),集合T≤S,记T的元素个数为Tl.若集 合T中存在三个元素a,b,c(a<b<c),使得c+2a>3b,则称T为“理想集”. (1)若n=1,分别判断集合T1=(0,2,3.5,T2=(0,12,5)是否为“理想集”（不 需要说明理由)： (2若n=1,写出所有的“理想集T的个数并列举： (3)若|T=4n+2,证明：集合T必为“理想集” 第4页共4页 2026一2027学年度第一学期高一年级阶段性检测 高一数学试题参考解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.D4.A5.C6.A7.B8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.[-V2,V2 13.[0,+o) 14.①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)1){x-2<x≤-1或3≤x≤53(2)(15，+∞) 【详解】1篇≤0，则财-850， 解得-2<x≤5，则A={x-2<x≤5)， m=3,x2-2x-m=x2-2x-3=(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3, ·B={x-1<x<3},CRB={xx≤-1或x≥3}， An CRB={x-2<x≤-1或3≤x≤5}： (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 即x∈(-2,5]时，x2-2x-m<0恒成立，m>x2-2x在(-2,5]上恒成立， 函数y=x2-2x在(-2,1)上单调递减，在(1,5)上单调递增， 当x=-2时，y=8,当x=5时，y=15,当x=1时，y=-1, 故y=x2-2x∈[-1,15]，m>15,即实数m的取值范围为(15，+∞). 16.(15分)1)求y=V3+x+V5-x的最大值为4； (2)令t=V1-x,则t≥0，则x=1-t2, 故fw=x+-即为y=1-2+t,而1-2+t=-(t-)+ 则y=1-t2+t在0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减， 第1页共8页 故y=1-t2+t的最大值在t=时取得，y4 故函数f(x)=x+V1-x的值域(-∞，引： (3(-23]【详解】y=祭-2-2+ x2+1 因为x2+1≥1，所以0<≤5，-2<-2+≤3， 则函数y=答的值域为(-23. ④0最小值为8【详解】f)=+=+x+是 x2+1 因为x≥1，+x22,令+x=t≥2，则有y=t+, 因为t≥2，所以y=t+≥2W116=8,当且仅当t=6,即t=4,即+x=4, 即x=2+V3时取等，所以函数的最小值为8. 17.(15分)(1)当a=-2时，则-2x2-3x-1>0, 即2x2+3x+1<0,因式分解可得：(2x+1)(x+1)<0, 所以-1<x<-2则不等式的解集为(-1，-)： (2)当a=0时，则ax2+(a-1)x-1>0为-x-1>0,即x<-1, 当a≠0时，则ax2+(a-1)x-1>0, 因式分解可得：(ax-1)x+1)=a(x-)(x+1)>0, 当a>0时，有。>-1，则此时不等式解集为(-∞，-1)U(后+∞)： 当a<0时，a(x-月(x+1)>0等价于(x-)(x+1)<0, 若：<-1，即-1<a<0时，不等式解集为（台，-1）月 若>-1，即a<-1时，不等式解集为(-1，)： 若：=-1，即a=-1时，不等式解集为空集： 综上所述，当a=0时，解集为(-∞，-1)；当a=-1时，解集为0： 当a>0时，解集为(-∞，-1)U(后+∞)：当-1<a<0时，解集为（得，-1）： 当a<-1时，解集为(-1，) 第2页共8页 (3)因为(ax-1)(x+1)+a+x>0恒成立，所以a(x2+x+1)>1, 因为2+x+1=c+2+≥>0， 则a>+x本7则题目等价于a>(+本)max,xe[B,3], 1 令y=2+x+1,开口向上，对称轴为x=-2 因为xEB,3],所以当x=时，二次函数y=x2+x+1有最小值好 因此4x的最大值为，即a>号所以实数a的取值范围为（作，+∞） 18.(17分)1)9(x)= 号+14x-350≤x514 -(x+09)+85,14<x≤40 (2)20万件 【详解】(1)根据题意得，当0≤x≤14时，9()=18x-f()-35=-号x2+ 14x-35；当14<x≤40时，9()=18x-f(x)-35=-(x+40)+85, 2x2+14x-35,0≤x≤14 故g(x)= -(x+400)+85,14<x≤40 (2)当0≤x≤14时，9()=-x2+14x-35,由二次函数的性质可知，当x= 2名号时，960取得最大值g(学)=-号共+14号-35=385； 14 21 当14<x≤40时，9()=-(x+0)+85≤-2， .40+85=45, 当且仅当x=9,即x=20时，等号成立.因为45>385，故当x=20时，即 每年生产20万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为45万元. 19.(17分)(1)T1不是“理想集”，T2是“理想集” 由题意，令a=0,b=2,c=3,则3+2×0<3×2； 令a=0,b=2,c=5,则5+2×0<3×2：令a=0,b=3,c=5,则5+2×0< 3×3;令a=2,b=3,c=5,则5+2×2<3×3；所以T1不是“理想集”. 令a=1,b=2,c=5,则5+2×1>3×2，所以T2是“理想集” (2)共16个“理想集”.若n=1,有S=〔0,1,2,3,4,5).当1T1=3时，若a=0,则b≥ 1,由c+2a>3b可知c>3b≥3，故(b,c)=(1,4)或(1,5)： 第3页共8页 若a=1,则b≥2，由c+2a>3b可知c+2>3b≥6，则4<c≤5，故(b,c)= (2,5).故含有三个元素的“理想集”T={0,1,4},{0,1,5)或(1,2,5)，共3个。 当1T|=4时，T=(0,1,2,4,{0,1,3,4,[0,1,2,5,{0,1,3,5},{0,1,4,5),{1,2,3,5), 或(1,2,4,5)，共7个. 当1T1=5时，T=(0,1,2,3,4,{0,1,2,3,5),0,1,2,4,5,(0,1,3,4,5),(1,2,3,4,5}, 共5个.当|T1=6时，T=(0,1,2,3,4,5},共1个。 综上所述，所有“理想集”T的个数为16个分别为：(0,1,4}，(0,1,5)，(1,2,5)，{0,1,2,4}， {0,1,3,4),(0,1,2,5},(0,1,3,5},0,1,4,5),(1,2,3,5},(1,2,4,5},(0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5, (0,1,2,4,5,(0,1,3,4,5),1,2,3,4,5),(0,1,2,3,4,5). (3)若1T1=4n+2,记T=(x1,x2,,x4n+2}且0≤x1<x2<…<x4n+2≤5”。 利用反证法，假设对于T中任意三个元素a,b,c(a<b<c),均有c+2a≤3b, 则3x+1≥X4m+2+2x,i=1,2,,4n+1.记y=x4n+2-x1>0,于是y+1≤3y1, 则y4m+1≤号yn≤（佾ya-1≤…≤（目1.因此1≤y4n1≤（⑤）"(x4+2 x)≤()”(5”-0)=()”<1，矛盾故集合T必为“理想集” 选填参考解析 1.C【详解】命题p3x>0,x2-3x+2≤0的否定是x>0,x2-3x+2>0. 2.B【详解】全集U=R,集合A={x‖lx-1|≥2}={(xx≥3或x≤-1}，B= (〔xx2-4x<0}={x0<x<4),则图中阴影部分表示的集合为A0B=(x3≤ x<4}.故选B. 3.D【详解】令f(x)≥g(x),即x2-2≥x+4,解 得x≤-2或x≥3；令f(x)<g(x),即x2-2<x+4, y=M(x) 解得-2<x<3.故M(x)= x2-2,x∈(-0，-2u3,+o),作出M(x)的图象（图 x+4,x∈(-2,3). 中的实线部分).由图象结合函数解析式可知，M(x) 第4页共8页 在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增， 当x=-2时，M(x)的最小值为2.故选：D. 4.A【详解】设天平的左臂长为a,右臂长为b,(不妨设a>b>0),设第一次 称得物品甲质量为x,则5a=xb,解得x=号，设第二次称得物品甲质量为y, 则y0=206,解得y=尝所以m=x+y=号+g≥2 5a2 2=20,当且仅 b a 当=20，即a=2b时取等号，因为a=2b不一定成立，所以m>20. 5.C【详解】因为函数f(x+1)的定义域为[-1,2]，即x∈[-1,2]，所以x+1∈[0,3]， 所以f(x)的定义域为[0,3]，又x-2>0,则x>2,所以x∈(2,3]，因此函数y= 得的定义域为(23引，故选：C. 6.A【详解】由题设A8=a+6,且C0=A0=B0=,其中0D=AD-401= 1a-1=12,或0D=BD-B01=b-1=21,且cD= V0D2+c0=空2+(2=2生，由图知cD≥c0,即 a2+b2 26 a2+b2 2 7.B【详解】-x≤0，即+2-9≤0，即2≥0， 3+2x-x2 (x-3)(x+1) 因为2+x+1-(k++>0恒成立，所以原不等式等价于云8可之0， 即(x-2)(x-3)(x+1)≥0，且x≠-1，x≠3， 可利用根法进行求解，如图：解得-1<x≤2或x>有 3,故原不等式的解集为(-1,2]U(3,+∞).故选：B. 8.C【详解】集合B中元素个数共有33=27个， 可看出x1x2+x3的值要么等于0，要么大于0，大于0的必大于等于1， 若x1x2+|x3=0,则有x3=x1x2=0,则可能x1=x2=x3=0,共1种； 或x1=x3=0,x2=1或-1，共2种；或x2=x3=0,x1=1或-1，共2种： 故集合B中满足引x1x2l+x3|≥1的元素的个数为27-(1+2+2)=22.故选C. 9.AD【详解】A选项：当c=0时ac2=bc2,当c≠0时，c2>0,若a>b, 则ac2>bc2,故A正确；B选项：当c=0时ac2=bc2,故B错误： C选项：若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2,故C错误： D选项：若a>b>0,则言<0，即<分故D正确 10.BCD【详解】因为f(x,y)=(x+1)y.对于选项A:因为f(1,5)=(1+1)×5= 10,f(5,1)=(5+1)×1=6,所以f(1,5)≠f(5,1),故A错误： 对于选项B:因为x>0,y>0,f)=(（任+1月 则fx,f(眼)=(x+1y(促+1)月=x++2≥2x+2=4, 当且仅当x=是即x=1时，等号成立，所以fx,y)f()≥4，故B正确： 由题意可得：f(2x,x-a)=(2x+1)(x-a)=2x2+(1-2a)x-a, 对于选项C:因为f(2x,x-a)≥-a-2,可得2x2+(1-2a)x+2≥0， 即x∈R,2x2+(1-2a)x+2≥0，则△=(1-2a2-16≤0，解得-≤a≤号 所以实数a的取值范围是[，引，故C正确： 对于选项D:因为f(2xx-a)≤-a-2,且x≥2，可得x+≤2，即3x≥ 2,x+≤2，因为g()=x+在2，+∞)内单调递增，则g()≥g(2)=可 得22≥多解得a≥3，所以实数a的取值范围是3，+∞)，故D正确： 1.AD【详解】对于A,由+号=1-去分母，整理得(a-1b=2a+1, 因a>0,b>0,则a>1,且6==2+号因。号>0，则有b>2,故A a-1 正确； 对于B,由A得b=则4a+b=4a+=4a-)+号+6， a-1 因a>1,则4(a-1)+≥24(a-1)号=4V5,当且仅当4(a-1)= 第6页共8页 即a=1+,b=2+2V时取等号，此时4a+b的最小值为6+4W3,故B错 误： 对于C,站+号=1-去分母，得ab-2a-b=1,即得(a-1)b-2)=3, ab 因>1，>2，则+≥2高-2=2，当且仅当=对等 号成立，由 ，解8名，即当a=26=5时+高取得 (ab-2a-b=1 小值为2，故C正确； 对于D,由A得b=2a1,代入(2a-1)b,得(2a-1)b=2a-12a+卫=4a2 a-1 a-1 a-1 设a-1=t>0,则(2a-10b=+2-1=4t+2+8≥24t2+8=4W3+8, t 当且仅当4t=即t=,也即Q=1+,b=2+2V3时，等号成立，此时(2a- 1)b取得最小值4W3+8,故D正确， 12.「-V2,V2【详解】因为命题“3x0∈R,2x6+2ax+1<0”是假命题，所以 命题Vx∈R,2x2+2ax+1≥0”是真命题，所以△=4a2-8≤0，解得-V2≤ a≤V2.则实数a的取值范围是[-V2,VZ.故答案为：[-V2,V冗 13.[0,+∞)【详解】由题意，集合A={x≤0}=(x-3≤x<1,B= {x|2m+1<x<7-m},因为An(CRB)=A,可得A∈CRB,即AnB=p, 当B=p时，可得2m+1≥7-m,解得m≥2： 当8时，则满足m士1m或7+m3”,解得0≤m≤2或动， 综上可得，实数m的取值范围是[0，+oo).故答案为：[0，十∞) 14.①④【详解】因为f(x)= (1,x是有理数 0,x是无理数 对于选项①：因为f(x)的值域为[0,1]，即f(x)为有理数， 所以对于任意x∈R,都有f[f(x)]=1,故①正确； 对于选项②：例如x=1,则-x=-1,即x,-x均为有理数， 则f(-x)+f(x)=1+1=2≠0，故②错误： 对于选项③：若x是无理数，则x+1是无理数，则f(x+1)=f(x)=0, 所以不存在x是无理数，使得f(x+1)=f(x)+1,故③错误： 对于选项④：因为f(x)的值域为0,1)，且a<0,b>1,则{xlf(x)>a}=R, {xf(x)<b)=R,所以{xlf(x)>a)=(xf(x)<b},故④正确 第8页共8页