云南省名校协作体2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

·高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人救A版选择性必修第一册第一章一第二章第4节，解三角形。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线4x-5y+19=0的斜率是 A是 B等 c- D. 5 4 (2.点P(2,一3，一4)关于平面Oxy对称的点是 A.(2,-3,4) B.(2,-3,-4) C.(-2,3,-4) D.（-2,3,4) 3.已知点A(-5,一2,3)，B(1,一4,2)，点P满足BP=2PA,则点P的坐标是 A(-3-号号) B(1,-9,3) C.(7,-6,1) D.(-11,0,4) 4.以A(1,2),B(3,6)为直径的两个端点的圆的方程为 A.(x-1)2+(y-2)2=√5 B.(x-2)2+(y-4)2=√5 C.(x-2)2+(y-4)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5 5.已知点A(1,0,一2)，B(3,1,0),若平面a的一个法向量n=(0,一2,1)，则直线AB与平面a 的位置关系是 A.AB∥a B.AB⊥a C.ABCa D.AB∥a或ABCa 6已知点(1,1)在圆z+y2-ax+a2-2=0外，则实数a的取值范围为 A.(-∞，0)U(5,+∞) B(-2,0)U(告2) C.（-2,-号)U(0,2) D.(-2,2) 【高二第一次月考·数学第1页（共4页）】 27-T-067B (7.已知点A(1,2,3),B(0,1,1),P(2,3,4),O为坐标原点，则点P到平面OAB的距离为 AG B⑤ c号 号 8.已知点A(1,0),B(2,0),C为直线y≥x十2上一点，则|CA|+|CB的最小值是 A.37 B.7 C.2√7 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a,b,c,则 A.|a=|b是a=b的必要不充分条件 B若a,b,c不共面，则a,b,a十c也不共面 C.若a·b=b·c,且b≠0，则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.已知O为坐标原点，过点M(一1,1)的直线1与坐标轴交手A,B两点，若△AOB的面积为 2,则直线l在x轴上的截距可以是 A.2+2√2 B.2-2√2 C.-2 D.2 11.如图，多面体ABCD-EFH是各棱长均为1的平行六面体ABCD-EFGH截去三棱锥 G-CFH后剩下的几何体，若点P是三角形CHF的重心，∠EAB=∠EAD=∠DAB =60°，AQ=入A户，则下列说法正确的是 AAP=号 B异面直线AP,CD所成角的余弦值为写 C.AP⊥BD D.若E,Q,B,D四点共面，则点Q是线段AP的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面ABC的一个法向量为m=(1,y,z),M(-1,1,0),N(1,2,一1)，若直线MN⊥平 面ABC,则y一x= 13.若直线l1:ax十4y一5=0与直线l2:2x+(a十2)y一5=0平行，则实数a= 14.某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物AB的高度，选释了与小 矮山底部在同一水平线上的两点C,D(在矮山的同侧)，如图所示， 测得在C处看A,B的仰角分别为30°，60°，在D处看B的仰角为 45°，CD=6m,由此可以计算求得AB= _m. 【高二第一次月考·数学第2页（共4页）】 27-T-067B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知A(2,2),B(3,1),C(0,4). 求：(I)过点A且与BC垂直的直线方程； (2)过点B且倾斜角为直线AB倾斜角的令的直线方程。 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3b=3 acos C十csin A. (1)求A的大小； (2)若a=2√3，c=2√2，求b和△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AC=4,AB=AA1=6,E,F分别是BC,A1B 的中点 (1)证明：直线EF∥平面AA,C1C; A (2)求平面ABC与平面EFC1夹角的余弦值 B 【高一第一次月考·数学第3而（共4而）】 ?7-T-n67R 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，B(4,3),边BC上的中线所在直线的方程为l1:x一2y十7=0，边AB上的高所 在直线的方程为12：3x一y一9=0，求： (1)点A的坐标； (2)边AC所在直线的方程； (3)△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程 如 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2,AD⊥CD,AB⊥BC,PA⊥平面PBC (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求四棱锥P-ABCD体积的最大值； (3)若△PBC的面积为1，求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值 平方的最小值， 【高二第一次月考·数学第4页（共4页）】 27-T-067B参考答案、提示及评分细则 1.B因为直线方程为4红一5y十19=0，即y=号+号，所以直线的斜率为号故选B 2.A关于平面Oxy对称的两点的x轴，y轴坐标相同，之轴坐标互为相反数，所以点P(2,一3，一4)关于平面 Oxy对称的点是(2，一3,4).故选A. 3.A设点P(x,y,2),又A(-5,-2,3),B(1,-4,2),所以B驴=(x-1,y十4，-2)，PA= (-5-x,-2-y,3-x),又BP=2PA,所以(x-1,y十4，x-2)=2(-5-x,-2-y,3-2),解得x=-3, y=-号=号所以点P的坐标是（一3，-号，号）故选A 4.C易知该圆圆心为A1,2),B(3,6)的中点C(2,4),半径，=4B=5,所以该圆的方程为：（x一2)2+ 2 (y-4)2=5.故选C 5.D因为AB=(2,1,2),所以AB·n=(2,1,2)·(0,-2,1)=0,所以AB∥a或ABCa.故选D. a2-4(a2-2）>0, 6.B由题意得 1+1-a+ac2-2>0, 得-2<a<0,或号<a<2.故选B 7.DOA=(1,2,3),O=(0,1,1),O求=(2,3,4)，设m=(x,y,z)为平面OAB的法向量，则 1m·OA=x+2y+32=0 m·Oi=y十x=0, 令y=1,得之=-1，x=1,所以m=(1,1,-1),点P到平面OAB的距离d= O2·ml_12+3-4-3 m 3 故选D n C在直线y=x十2上，设点A关于直线y=x十2的对称点为A1(m,n).MJm一了X1 解得 2 m?2故A(一2,3)，连接AB交直线y=x+2于点P,当C在P点时，CA+1CB取得最小值，其 n=3. 最小值为|A1B|=√(-2-2)2+(3-0)2=5.故选D. 9.ABa=b的充要条件是a,b的大小相等，方向相同，故由a=b→|a=|b,反之则不然，故A正确；假设 a,b,a十c共面，则存在实数x,y,使得a十c=a十3b,所以c=(x一1)a十b,所以a,b,c共面，与条件矛盾， 故B正确；在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C 错误；对于D,若b=0,a,c不一定共线，故D错误.故选AB. 10.ABC由题意直线1显然不过原点，所以不妨设直线L的方程为后+若=1，其中a,b分别为1在x轴，)y轴 上的截距，A(a.0,B(0.b),又点M(一1,1)在直线1上，所以。+名=1，又△A0B的面积为2，所以 号a6=2,即6=合或6=-年当6=4时，2+号=1，即。2-4a-4=0,解得a=2-22或a=2+ 22:当6=一告时，君-号=1，即公2+4a十4=0，解得a=-2.故选AC 1.BCD因为点P是三角形CHF的重心，所以A市=号A花+号A市+号Ai=号(A店+AD)十 号(A+A应)+号(A市+A)=号A店+号A市+子A应，所以A:=号(A:+A市：+1A:+ 2A.A0+2A证.A正+2A0.A应)=告1+1+1+1+1+1D=号，所以AP-2雪，放A错误：因为 【高二第一次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-067B AB/CD,所以∠PAB就是异面直线AP与CD所成的角，因为A市.A店=（号A店+号AD+号A)·A店 =号，所以cos∠PAB= A市.AB =1 API AB26×1 。,故B正确A币·前专忘 3 (AD-AB)=号(A亦-A亦+A花·AD-A正·AB)=0,所以AP⊥BD,故C正确：若E,Q,B,D四点共 面，则存在有序数对(.x,y),使B戒=xBD十yB驼，即A夜-A店=x(AD-AB)十y(A正-AB),即 {层1=- (号x-1)A+号AA心+号xA花=(-y)A+xA心+yA应.所以号= 解得入=2，所 以点Q是线段AP的中点，故D正确.故选BCD, 12.1因为直线MN⊥平面ABC,所以m∥M衣，又M不=(2,1，-1)，所以存在实数入使得m=入M= (2d,-),即1)=(2以。-》，所以2以=1=1=-A解得X=号=7=-号所以y之 =1 13.-4由l1∥l2,得a(a+2)-2×4=a2+2a-8=(a-2)(a十4)=0，解得a=2,或a=-4.当a=2时，l 与l2重合；当a=一4时，符合题意. 14.6+2√3设AB=xm,由题意得AC=AB=x,所以BC=√3x,由题意得∠CBD=15°，在△BCD中，由正弦 定理，得nnD即0 im45=sn16,解得x=6+23. 15.解：(1)设过点A且与BC垂直的直线的斜率为k,直线BC的斜率kx=4 0-3 =-1,…2分 由kx·k=一1，得k=1,… …4分 所以y一2=1X(x一2)，即所求直线的方程为x一y=0.…6分 2)直线AB的斜率k出=？_2=一1，设直线AB的倾斜角为c&,则tana=一 9分 又0°≤Q180°，所以Q=135°，…10分 由题意知所求直线的倾斜角为多三45，故所求直线的斜率为tan45三1，…1☑ 所以y-1=1X(x-3),即x-y-2=0.… …13分 16.解：(1)因为√3b=√3 acos C+csin A, 所以W3sinB=√3 sin Acos C+sin Csin A,… 2分 又B=π-(A十C),所以sinB=sin(A十C)=sin Acos C.+cos Asin C,…3分 所以W3 sin Acos C-+√3 cos Asin C=√3 sin Acos C+sin Csin A, 即W3 cos Asin C-=sin Csin A,… …5分 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sinA=√3cosA,即tanA=√3， 又A∈(0，)，所以A=5 …7分 (2)由1)知A=号，又a=2W3,c=22, 由a2=2+c2-2 bccos A,得12=b+8-2W2b, 10分 即b一2√2b-4=0,解得b=√2十√6（负根舍），… …12分 所以△ABC的面积S=合einA=号×(2+6)X22X写-3+原.…15分 17.(1)证明：连接AC, 因为E,F分别是BC,A1B的中点，所以EF∥A1C,…2分 【高二第一次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-067B 又EF￠平面AACC,A1CC平面AA1C1C,所以直线EF∥平面AA1C1C. …5分 (2)解：在直三棱柱ABC-A1B1C中，AA1⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC 所以AA1⊥AB,AA⊥AC,又AB⊥AC,所以AB,AC,AA两两垂直，故以A为 原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 B 因为AC=4,AB=AA1=6,所以B(6,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,6), C(0,4,6), 又E,F分别是BC,AB的中点，所以E(3,2,0),F(3,0,3).…9分 因为AA1⊥平面ABC,所以AA1=(0,0,6)是平面ABC的一个法向量， …10分 E=(0,-2,3),EC=(-3,2,6),设平面EFC的法向量为m=(,y,z),则 m乎=0，即 -2y+3z=0, m.EC=0, -3.x+2y+6z=0, 令y=3,则x=6,x=2, 所以m=(6,3,2)是平面EFC1的一个法向量. 12分 设平面ABC与平面EFC1的夹角为0， 则cs0=cos(AA,m1=A国·m 12 2 AAm 6X√62+32+22 三7 即平面ABC与平面EFC,夹角的余弦值为号. 15分 18.解：(1)设A(x,y1), 因为边BC上的中线所在直线l1:x一2y十7=0经过点A,所以x1一2y1十7=0，…1分 因为边AB上的高所在直线的方程为L2:3.x一y一9=0，所以AB⊥l2,即3kB=一1， 又如寻所以3x身二 x-4 =-1,即十3y-13=0,…2分 由2-2M+7=0 得一”所以点A的坐标为，4)，4分 (m+3y-13=0,府y=4, (2)设C(x2,2),因为边AB上的高所在直线l2:3x-y-9=0经过点C,所以3x2-y2-9=0,…5分 因为边BC上的中线所在直线的方程为l1:x一2y+7=0, 所以边5C的中点(1生2,3产)在4：一23十7=0上，即4生-(3+)+7=0， 2 所以x2-2y归十12=0，… 6分 3一一9=0，得=6所以点C的坐标为(6,9).…8分 由 x2-22+12=0, y2=9, 因为边AC所在直线的斜率&e一号1， 所以边AC所在直线的方程为y一4=1X(x一1)，即x-y十3=0.…10分 （3因为边A让所在宜线的斜率长e-分 所以边AB所在直线的方程为y一3三了(x一4)，即x十3y一13=0.…11分 因为l2:3x一y一9=0过B,C两点，所以边BC所在直线的方程为3x一y一9=0. …12分 设P(o,o)是∠ABC的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边AB所在直线，边BC所在直线的距离相等， 即w+36-131=|3-h-9 …14分 √12+32 √32+(-1) 所以x0-2y%十2=0或2x0十y%-11=0.…15分 因为∠ABC的角平分线应该与边AC(不含端点)有交点，所以∠ABC的角平分线所在直线的斜率k∈ (-0,-号)U(3,十0)，所以。一230十2=0不符合，2十%-1=0符合， 所以△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程为2x十y-11=0.…17分 【高二第一次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-067B 19.(1)证明：因为PA⊥平面PBC,BCC平面PBC,所以PA⊥BC,…1分 又AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,…3分 又BCC平面ABCD,故平面PAB⊥平面ABCD.…4分 (2)解：如图，在△PAB中，作PH⊥AB,垂足为H,连接AC, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PHC平面 PAB,所以PH⊥平面ABCD,…5分 因为PA⊥平面PBC,PBC平面PBC,所以PB⊥PA,所以PA?+PB=AB B =4,所以PA·PB<PAPB=2,当且仅当PA=PB=2时取等号， H 2 因为Sw=号PBXPA=号ABXPH,.所以PHPB≤号-1. AB … 因为AD⊥CD,所以AD+CD=AC=AB+BC=8, 因为AD+CD≥2AD·CD,所以AD·CD<ADCD=4,当且仅当AD=CD=2取等号， SADXCDX2. 8分 又S=号×ABX BC-号×2X2-2,所以Saa=5m十5≤2+2=4 …9分 所以四棱锥P-ABCD的体积V=号SEm×PH≤号X4X1-号， 即四棱锥P-ABCD体积的最大值为学· …10分 (3)解：取AB的中点N,以N为原点，NA为x轴，过点N且平行于BC的直线为y轴，过点N且平行于 PH的直线为之轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由(I)知BC⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以BC⊥PB. 比三7 PBX BC=-l,所以PB=1, 因为AB=2.PA=VA店-PF-5所以PH-PAPB-停NP=合AB=1 …12分 AB 所以NF=NPr-PF=1-(号)=所以NH=,故P(-3o.), …13分 设AC的中点为M,因为A1,0,0),C-1,2,0,所以M0,1,0),AC-22,DM=AC=2, 设以My为始边，MD为终边的角为0，则0E(-T,3F),D(V2sin0,1+2cos0.0), 所以Pi-(2sn叶号1+2cas0,-9） 14分 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), …15分 设直线PD与平面ABCD所成角为a, 则sina=|cos(Pi,m)l= |PD·m 3 PDm 2 (2sim0+2）广+(1+2cos)2+ √5 （其中tan0=2),… …16分 2W4+√10sin(0+p) 所以当sin(0叶g)=1,即an0=之时，sina有最小值，最小值为 3 2W4+10 即(sin2a)m= 3 4-√10 16+4√10 8 所以直线PD与平面ABCD所成角的正弦值平方的最小值为4一0 8 …17分 【高二第一次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-067B