精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级10月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的两点式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的截距式方程为 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上是减函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则_____. 13. 若，则__________. 14. 在平面直角坐标系中，圆：与关于直线对称，直线：过坐标原点，当直线与，各有两个交点时，直线将，截成四段圆弧，若其中存在两端圆弧长度相等，则的所有可能值的乘积为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：及圆：. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 16. 为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）求甲离子残留百分比的第百分位数； （3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径. 18. 如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2. （1）若平面平面，证明：； （2）若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 19. 已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高二年级10月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程的一般式确定直线斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由直线方程为， 则该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算和模的计算公式求解即可. 【详解】， 故. 故选：C 4. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意两次都没通过的概率，应用对立事件的概率求法可得答案. 【详解】因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为， 所以两次面试都没有通过的概率为：， 所以该同学通过面试的概率为：. 故选：C. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，，又，所以， 故. 故选：B. 6. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示： 故 ． 故选：D． 7. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 8. 与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正三角形与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径即可. 【详解】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图， 根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面， 因为与都是边长为2的正三角形，则，又， 则是正三角形， 又，，，平面， 所以平面，所以在平面内， 故，易得， 故， 故，又，故球的半径， 故球的表面积为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的两点式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的截距式方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上是减函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】根据辅助角公式，化简可得，根据周期公式，可判断A的正误；当时，可得，根据正弦型三角函数的单调性，即可判断B的正误；将代入，求得，即可判定C的正误；根据平移变换的原则，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】A选项，由题意可得， 所以的最小正周期为，故A正确； B选项，当时，， 由于在上单调递减， 所以在区间上为减函数，故B正确； C选项，当时，，故， 所以关于点中心对称，故C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位， 得到，故D错误. 故选：AB 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定列方程，解方程即可. 【详解】由直线：，：， 因为，可得，即，解得. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方和公式和三角函数的基本关系化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，圆：与关于直线对称，直线：过坐标原点，当直线与，各有两个交点时，直线将，截成四段圆弧，若其中存在两端圆弧长度相等，则的所有可能值的乘积为___________ 【答案】8 【解析】 【分析】由两圆关于直线对称，可以求得圆的圆心和半径，根据题意直线可能过两圆的圆心， 过两圆的圆心到直线的距离相等，可得的所有可能值，进而可得. 【详解】 由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，设的圆心坐标为， 因圆和圆关于直线对称，且直线的斜率为， 故圆的半径为1，且得， 由题意可知两圆的圆心到直线的距离相等且小于，或直线过两圆圆心， 故，得或 当直线过的圆心时，， 当直线过的圆心时，， 故的所有可能值的积为， 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：及圆：. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离为半径求出的值即可； （2）分别用勾股定理和圆心到直线的距离建立等量关系求出的值. 【小问1详解】 圆心，半径为， 由题意得：，解得或. 【小问2详解】 如图： 设点到直线的距离为，利用勾股定理得：， 同时利用圆心到直线的距离：，解得. 16. 为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）求甲离子残留百分比的第百分位数； （3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，利用频率之和为1可求出； （2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法即可求解； （3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由已知得，解得， 所以． 【小问2详解】 根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为， 则，解得， 所以甲离子残留百分比的第百分位数为. 【小问3详解】 乙离子残留百分比的平均值的估计值为. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的单调性求解； （2）由求得，根据余弦定理求得，再由正弦定理求得答案. 【小问1详解】 由，，得，， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 由题知，，而，则， 由，得，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径. 18. 如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2. （1）若平面平面，证明：； （2）若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】（1）证明: 由题知，平面平面，平面平面， 因为H为圆周上一点，且NF为直径， 所以，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）1 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及圆的性质，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，设，进而可得，，坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，列出等式，可求得m，n的值，代入求模公式，即可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为x、y、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，， 设，则， 所以，，， 设平面的法向量， 则， 所以， 令，则可取法向量， 设直线与平面所成线面角为， 所以 . 所以，解得，或，（舍）， 所以，则. 19. 已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） 设，则， 直线方程是：，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值. 【解析】 【分析】（1）设点，，根据向量运算公式可得，代入圆的方程，可得轨迹方程； （2）根据，方程确定，，结合两点间距离公式化简可得证. 【小问1详解】 由已知，， 设，， 则，， 则，即， 则，即， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $