第5章 1 认识二元一次方程组-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

55 第五章二元一次方程组 5.1认识二元一次方程组 01基础达标 02能力提升 知识点一二元一次方程（组）的概念 8.设适当的未知数，列二元一次方程组（不用求解）， 1.下列方程中，是二元一次方程的是 (1)某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两 A.3x-2y=4z B.6xy+9=0 种票共花去370元，其中甲种票每张10元，乙 C十4y=6 D.4x=y-2 种票每张8元，问购买甲种票和乙种票各多少 4 张？ 2.若x+2十y1=一2是关于x,y的二元一次方 (2)甲、乙两人各有若干本书，如果甲送给乙10 程，则a,b应满足 本，那么两人的书相等；如果乙送给甲10本， A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 那么甲的书就是乙的书的2倍，问甲和乙原来 C.a=-1,b=2 D.a=1,b=2 各有多少本书？ 知识点二二元一次方程（组）的解 x=2, x=5, 3.在下列数对中：① y=-2:② y=0 ③ [x=1, 1x=5 ,其中是方程x十y=0的 y=2 解的是 ;是方程x-4y=5的解的是 ;既是方程x十y=0的解，又是方程 x一4y=5的解的是 .(填序号) x=1 4.已知 y=-1 是方程2x一ay=3的一个解，那 9.已知=2， 是二元一次方程a.x一2=一by的 么a= y=-1 5.请写一个二元一次方程组 ,使它 一组解.求4-2a+b的值. x=2 的解是 y=-2i 知识点三根据实际问题列方程组 6.现有参观爱国主义教育基地的参观券若干张， 分给若干名同学，若每人4张则多14张，若每 人5张则少26张.问有多少张参观券，多少名 03 思维拓展 同学？若设有x张参观券，有y名同学，根据 10.若关于x,y的二元一次方程组 x-y=3 题意，可列出关于x、y的二元一次方程组为 的 B=0 7.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女 y=1,则多项式B可以是 x=4 解为 生人数x的2倍少2人，列出符合题意的二元 一次方程组 .(写出一个即可)3 (2)将点P(a,-3)代入y=2, ,一次函数mx十m一2的图象 经过第一、二、四象限，.m<0, 得多a=-3,解得a=一2： ∴m=-2√2，m=22（舍去). (3)当y=-1时，2x=-1,解 ∴.该一次函数的解析式为y= -22x+6. 得x=一号，当y=1时，是x 3 15.1)x+2y=4,y=2(4-x, 1,解得x-号放一号<≤号 ∴5=号×4×2(4-)=4 14.(1)由题意，得AB=AD=CD=2, x,即S=4一x.点P(x,y)在 点B在直线y=2x上， 第一象限内，且x十2y=4, ∴点B的坐标为(1,2)， x>0 ∴.OA=1,.OD=OA+AD=3, ,解得0<x<4; .点C的坐标为(3,2)， 24 ·点C在直线y=x上， (2)当S=3时，4-x=3,解得x 30-26-号 =1,此时y= 24-1=, (2)k的值不会发生变化.理由： 故点P的坐标为(1，)： 由题意，得AB=a,在直线y= (3)若直线OP平分△AOB的面 2x中，当y=a时x-号 积，则点P为AB的中点. 0A=号，0D=0, A(4,0),B(0,2), 2 .点P的坐标为(2,1). c(受a)将c(a)代人y 专题六一次函数的系数k、b的 四种作用 =6x,得a=X受6 1.B2.> 31 3.(1)m=2;(2)m4. 第2课时一次函数的图象与性质 4.乙5.D6.A7.D 1.C2.A 8.k≥0.9.B10.C 3.图略. 专题七一次函数与图形面积 (1)当x=0,则y=-2;当y=0, :1.(1)直线1的解析式为：y=-x十4； 则x=2;故A(2,0)、B(0,一2)， (2)当y=0时，x=4,.A(4,0), (2)由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA B0,40,S6m=号×0A·0B =OB=2,.SAA0B=2. 4.C5.C6.C7.B8.< 号×4X1=8. 9.(1)2;(2)<3; 2.(1)把(-23)代入y=ax-a+1 (3)因为它的图象与y轴的交点 在x轴的下方， 得-7a-a+1=3,解得a=-子； 可得：-2k+4<0,且3-k≠0， (2)由(1)知直线的解析式为：y= 解得：k>2,且k≠3. 4 10.D11.A12.C13.C 号x十子“直线与坐标轴的 14.(1)由题意，得m2-2=0,解得 交点为(0，号).（子0）： m=土√2. (2)由题意，得m2-2=6,解得 s×号×子器 m=±22， 3.y=x+2或y=-x+2. 55 4.(1)A(8,0),.OA=8, 130x(0x10) y2= 5=70A1301=号 1 ×8× 24x+60(x>10) (2)根据题意得：25.2x=24x十 (-xP+10)=-4xp+40, 60,解得x=50,即当购买数量 (0<xr<10); 为50时，购买两种奖品的费用 (2)当S=10时，则-4xp+40=10, 相同： 解得三5当三与时，y月 (3)购买数量为80时，购买水彩盒 需要花费为：25.2×80=2016（元）； +10- 购买钢笔需要花费为：24×80+ ∴.当△OPA的面积为10时，点 60=1980(元)； P的坐标为侣)。 2016-1980=36(元)， 答：当购买数量为80时，购买两 4.4一次函数的应用 种奖品的费用差距是36元. 第1课时确定一次函数的表达式 第2课时借助单个一次函数图 1.A2.A3.D4.1 象解决有关问题 5.4)y=-号x+2: 2 1.A2.D (2)由题意得0B=2.且△OBC3.x=-14.(-3,0) 的面积为6，△0BC中OB边5.(1)x=2时=3； 上的高为6.当x=一6时，y= (2)y=1时，x=1: 号×(6)+2=6；当x=6时， (3)方程2x一1=0的解为x= 2 6.C7.0.2 = 号×6+2=一2.点C的坐8.D10o0800:23050 标为(-6,6)或(6，-2). 9.A10.4 6.D 11.(1)x=2;(2)k+b=-1: 7.(1)y=1.8x+32; (3)x=-1. (2)当x=100时，y=1.8×100+12.设工厂每千度电产生利润y 32=212.摄氏温度100度时华氏 (元/千度)与电价x(元/千度) 温度为212F. 的函数关系式为y=kx十b.该 8.B9.D10.-8 函数图象过点(0,300)，(500， 11.Q=50-5t9 200),代入关系式，得b=300,k= 12.:△COD≌△AOB, ∴.OB=OD,OA=OC, -子所以y=-吉x+30(x≥ 又.A(1,0),B(0,3), 0).当电价x=600元/千度时， ∴.OA=1=OC, 该工厂消耗每千度电产生的利 OB=3=OD,C(0,1), 润y=-号×60+30=180 则AD=OA+OD=1+3=4. (元/千度). 又：E是AD的中点， ∴AE=2,.E(-1,0).设直线 13.(1)设y关于x的函数解析式是 b=6 EC的解析式为y=kx十b,则有 y=kx十b,则 1-k十b=0 k=1 15k+6=3,解得 解得 b=1 b=1’ k=- 5,即y=- ∴.直线EC的解析式为y=x十1. 5x+6 b=6 13.(1)根据题意得： (2)当h=0时，0= 3 y=28×0.9x=25.2x, x+6,解 56 得x=20,当y=0时，0= 2),y2=40(x-1)(1≤x≤2)； (2)图略； +6,解得x=30, (3)由图象可知，他们同时到达老家. 20<30,.甲先到达地面. 7.(1)904000100:(2)200天. 14.(1)由图象可知一箱天然气可供 8.(1)y=250x+3000,y2=500x+ 轿车行驶1000千米； 1000; (2)50X200 (2)对于y=250x+3000,当x= 1000 =10(升). 答：轿车每行驶200km消耗燃 0时，y1=3000;当x=4时，y1= 4000;过点(0,3000)，(4,4000)画 气10升； 直线（第一象限内）即为函数y= (3)y=-0.05x+50(0x 250x+3000的图象.用同样的方 1000). 第3课时借助两个一次函数图 法可以画出函数y2=500x十 1000的图象.图略； 象解决有关问题 (3)由250x+3000=500x+ 1.A2.D 1000,解得x=8,所以当x=8 3.20km/h 16km/h 时，两种方案花费一样；由图象知 4.(1)l2表示乙车离出发地的距离 当x>8时，y2>y,所以当x>8 y与追赶时间x之间的关系； 时，方案一省钱；当x<8时，y> (2)甲车的速度为60km/h,乙车 2,所以当x<8时，方案二省钱。 的速度为90km/h; 章未核心考点与素养提升 (3)甲车相对于出发地的距离y1,D2.B3.C4.A5.B6.B (km)与追赶时间x(h)之间的关 7.A 系式为y=60x+60;乙车相对于 出发地的距离y(km)与追赶时间 8.(1)行驶时间 剩余油量； (2)524; x(h)之间的关系式为y=90x; (3)够用，240÷40=6（小时）， (4)乙车不能在1.5h内追上甲 6×6=36(L),故够用. 车，乙车出发2h才能追上甲车. 9.B10.B11.C12.B13.-5 5.(1)①30； :14.(1)150; (2)设①收费方式中y与x之间 (2)设乙车行驶的路程y关于x 的函数关系式为y有=kx十30， 的函数解析式为y=kx十b(k≠ ②收费方式中y与x之间的函数 0),把(0,30)和(2.5,180)代入 关系式为y无=k2x,由题意，得 12.5k+b=18 500k1+30=80,解得k1=0.1, 解析式得： ,解得 b=30 500k2=100,解得2=0.2.故所 1k=60 求的关系式为y有=0.1x+30 ,乙车行驶的路程y关 b=30 y无=0.2x; 于x的函数解析式为y=60x十30； (3)由y有=y无，得0.1x+30= (3)②由图象可知，甲车速度为 0.2x,解得x=300.当x=300 时，y有=y无=60.故由图可知，当 180=90(km/h),.90x=60x+ 通话时间在300分钟内，选择通 30,解得x=1,.甲车行驶1h 话方式②实惠；当通话时间超过 追上乙车. 300分钟时，选择通话方式①实 :15.4 惠；当通话时间为300分钟时，选 第五章二元一次方程组 择通话方式①、②一样实惠. 5.1认识二元一次方程组 6.(1)由题意，得y=20x(0≤x≤1.D2.C 57 3.①③②③③4.1 解①得a=2,解②得a=9。 x+y=0 /4y+14=x 5. 6. x-y=4 5y-26=x 故小金的说法错误； |x+y=246 x+3y=4-a① 7. 小蝶： ,①-② y=2x-2 x-5y=3a② 8.(1)设购买甲种票x张，乙种票y 得：8y=4-4a,解得y=1a, 2 张，根据题意得r十y一40， 10x+8y=370 将y=1,代人①得x=a5 2 21 (2)设甲原来有书x本，乙原来有 x+3=5+1,2=3,即不论 x-10=y+10, 2 2 书y本，则{ x+10=2(y-10) a取什么实数，x十y的值始终不 9.2.10.x+y-5(答案不唯一) 变，故小蝶的说法正确。 5.2二元一次方程组的解法 专题八解二元一次方程组的 第1课时代入消元法 消元方法 1.B2.y-21x=3y+1 1. x=3, 2. x=2, 3 2 y=2. y=3. 3.x-3y=8x=8+3y 3 x=5, x=-5, 2x+4y=7 y x y=-2. 4. y=-6. 4.B 5.由①得2x+y=6,③ x=2, 将③代人②，得2x+音×6=8， 5.(1) x=2, 2 (2) y= 3 y=1. 解得x=4.把x=4代入③，得2× 6.A7.B8.-1 4十y=6,解得y=-2. r=2 x=4, 9.(1)原方程组的解是 所以原方程组的解为 y y=-2. 6.(2)设号-1=x,5+2=y 3 (2)原方程组的解是 3 y=2 /x+2y=4 方程组变形得 解得 第2课时加减消元法 2x+y=5 1.B2.B3.D4.C r=2 -1=2 3 a=9 5.①×5-②×3 ①×3+②×2 即 ,解得 y=1 b=-51 x=2, +2=1 5 6.(1) x=1, (2) y=1; y=-1; x= -1 (3) (3) x=1, y=4 y=2. 专题九二元一次方程组中的 7.C8.B9.33 参数问题 8 a=-4, x=3’(2) x=5, 1.D2.2、13. 10.(1) b=1. y=1: y=7. 15x+4y=m-2① 4. ,①十②得 11.-2. 4x+5y=m② 12A=B=C=-5 9(x十y)=2m-2,由题意，x十y =0,所以2m-2=0,解得m=1. 代人方程组中5，(1)将x=豆，y=一2代人方程 7 15-3=4-a① 7a-2=5, 1a=1, 得：5+5=3a@ 组，得 7+2b=13, 解得 b=3. 58 将x=3,y=一7代入方程组， (2)租45座客车：240÷45≈5.3 6a-7=5, （a=2, 得 (辆)，所以需租6辆，租金为220 解得{ 6+7b=13, b=1. ×6=1320(元)，租60座客车： 所以甲把a错看成1；乙把b错看 240÷60=4(辆)，所以需租4 成1； 辆，租金为300×4=1200（元）. (2)根据(1)得，正确的a=2,b=3. 答：租用4辆60座客车更合算。 4x+y=5, 原方程组为 解得 11.(1)设5元、8元的笔记本分别 12x-3y=13, 买了x本、y本，依题意，得 x=2, /x+y=40 y=-3. 5x+8y=300-68+13 5.3二元一次方程组的应用 第1课时和差倍分问题 解得/25 y=15 1.A2.B3.75 答：5元和8元的笔记本分别买了 4.设每只雀、燕的重量各为x两，y 25本和15本； 5x+6y=16 两，由题意得 ,解 (2)假设小明找回68元，设5元、8 4x+y=5y+x 元的笔记本分别买了m本、n本， x一 32 19 n+n=40 则 方程组得 y= 24 5m+8m=300-68,解得 19 88 m一3 答：每只雀、燕的重量各为号两， 因为m,n应为正整数， 32 n-= 3 酷两 所以不合题意.故不可能找回 5.C6.D 68元. 7.1)采摘的黄瓜30千克，采摘茄 第2课时百分率问题 子10千克； 1.B (2)采摘的黄瓜和茄子可赚84元. 2.设去年外来旅游的人数为x万 8.设索长为x尺，竿子长y尺， 人，外出旅游的人数为y万人，由 x-y=5 题意，得 2x=6解得 x=20 1 y=151 |x-y=20 (1+30%)x+(1+20%)y=226 答：索长20尺，竿子长15尺. x=100 9.设鸦有x只，树有y棵，则 解得 1y=80 所以(1+30%)x= x-5 3 -y (1+30%)×100=130(万人)， x=20 ,解得 =y-1 y=5 (1+20%)y=(1+20%)×80= 5 96(万人). 答：鸦有20只，树有5棵。 答：该市今年外来和外出旅游的 10.(1)设这批游客的人数共x人，原 人数分别是130万人和96万人. 计划租用45座客车y辆，根据题3.(1+15%)x(1-10%)y 45,y+15=x 今年的总产值为2300万元，总支 意，得 60(y-1)=x 出为1350万元 x=240 4.设上个月的萝卜和排骨的单价分 解这个方程组，得 y=5 别为x元/千克，y元/干克. 答：游客共240人，原计划租45 13x+2y=66 座客车5辆； 3(1+50%)x+2(1+20%)y=811 59 解得/2 6.设船在静水中的速度为xkm/h,水 y=30 ∴.(1+50%)x= 3 流的速度为ykm/h.根据题意，得 2=3,(1+20%)y= 号×30=36， :功-32解得7=10 4(x+y)=48 y=2 答：今天萝卜和排骨的单价分别 答：船在静水中的速度为10km/h, 为3元/千克和36元/千克. 水流的速度为2km/h. 1x+y=30000 5. 7.D8.B9.20020 10%x+11%y=3150 10.设平路有xm,下坡路有ym,根 6.2:3 7.调价前碳酸饮料每瓶的价格为3 +=10 6080 据题意，得 ,解得 元，果汁饮料每瓶的价格为4元. y 8.(1)0.8; 10.1%(a+b-1000)=0.4 x=300 (2) 0.1%(3a+2b)=3.4 y=4001 解得a=600,b=800, 答：小华家到学校的平路和下坡 三次提现共计4800元. 路分别为300m,400m. 9.(1)设甲公司的工作效率为m,乙 11.(1)设工厂从A地购买了x吨 公司的工作效率为n,则 原料，制成运往B地的产品y 1 吨，依题意得： 6(m+n)=1 m一10 ,解得 1.5(10x+20y)=1500 4m+9n=1 1 n15 1.2(120x+110y)=9720 故从节约时间的角度考虑应选择 解得/x40 y=30 甲公司； 答：工厂从A地购买了40吨原 (2)由(1)知甲、乙完成这次工程分 料，制成运往B地的产品30吨； 别需10周、15周.设需付甲公司每 (2)依题意得：30×800一40× 周装修费x万元，乙公司y万元， 100-1500-9720=8780(元)， /6.x+6y=5.2 x5 答：这批产品的销售款比原料费 4红+9=4.8~解得 则 与运输费的和多8780元. 4 y=1 5.4二元一次方程与一次函数 此时10x=6,15y=4.故从节约第1课时二元一次方程与一次函数 开支的角度考虑应选择乙公司. x=1 1.C2.B3.B4. 第3课时几何图形问题 y=1 1.B2.B 5.-6.4 -156.k的值为-2. 3.设长方形AEFG纸片的长为a,7.图略. 宽为b(a>b), (1)根据图象得到直线y=x十2和 .(a一b)2=9,即a-b=3, y=x一3平行； 大正方形ABCD的面积是49,4 (2)由于两直线平行，所以从图象 块相同的小长方形纸片的长为 中不能找出一组数作为方程组 2b,宽为b, x-y=-2 的解. ∴.(a+3b)2=49,即a+3b=7, x-y=3 a+36=7解得=4 /a-b=3 8.B9.A10.C11.-3 b=1' .S长方形EG=1X4=4. 12.1)2:(2)/=1 y=2 4.C5.D (3)直线l:y=nx+m经过点 60